Gradient potențial - Potential gradient

În fizică , chimie și biologie , un gradient de potențial este rata locală de modificare a potențialului cu privire la deplasare, adică derivată spațială sau gradient. Această cantitate apare frecvent în ecuațiile proceselor fizice, deoarece duce la o formă de flux .

Definiție

O singură dimensiune

Cea mai simplă definiție pentru un gradient potențial F într-o dimensiune este următoarea:

${\ displaystyle F = {\ frac {\ phi _ {2} - \ phi _ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} = {\ frac {\ Delta \ phi} {\ Delta x} } \, \!}$

unde ϕ ( x ) este un tip de potențial scalar și x este deplasarea (nu distanța ) în direcția x , indicii indică două poziții diferite x ₁ , x ₂ și potențiale în acele puncte, ϕ ₁ = ϕ ( x ₁ ) , ϕ ₂ = ϕ ( x ₂ ) . În limita deplasărilor infinitesimale , raportul diferențelor devine un raport de diferențiale :

${\ displaystyle F = {\ frac {{\ rm {d}} \ phi} {{\ rm {d}} x}}. \, \!}$

Direcția gradientului de potențial electric este de la până la . ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

Trei dimensiuni

În trei dimensiuni , coordonatele carteziene arată clar că gradientul potențial rezultat este suma gradienților potențiali în fiecare direcție:

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {e} _ {x} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x}} + \ mathbf {e} _ {y} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial y}} + \ mathbf {e} _ {z} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial z}} \, \!}$

unde e _x , e _y , e _z sunt vectori unitari în direcțiile x, y, z . Acest lucru poate fi scris compact în termeni de gradient operator ∇ ,

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla \ phi. \, \!}$

deși această formă finală se menține în orice sistem de coordonate curvilinee , nu doar cartezian.

Această expresie reprezintă o caracteristică semnificativă a oricărui câmp vector conservator F , și anume F are un potențial corespunzător ϕ .

Folosind teorema lui Stokes , aceasta este afirmată în mod echivalent cu

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F} = {\ boldsymbol {0}} \, \!}$

adică bucla , notată ∇ ×, a câmpului vector dispare.

Fizică

Gravitația newtoniană

În cazul câmpului gravitațional g , care se poate dovedi a fi conservator, este egal cu gradientul potențialului gravitațional Φ :

${\ displaystyle \ mathbf {g} = - \ nabla \ Phi. \, \!}$

Există semne opuse între câmpul gravitațional și potențial, deoarece gradientul potențial și câmpul sunt opuse în direcție: pe măsură ce potențialul crește, forța câmpului gravitațional scade și invers.

Electromagnetismul

În Electrostatica , câmpului electric E este independentă de timp t , astfel încât nu există nici o inducere a unui dependent de timp câmp magnetic B prin legea lui Faraday de inducție :

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = {\ boldsymbol {0}} \ ,,}$

ceea ce implică E este gradientul potențialului electric V , identic cu câmpul gravitațional clasic:

${\ displaystyle - \ mathbf {E} = \ nabla V. \, \!}$

În electrodinamică , câmpul E este dependent de timp și induce și un câmp B dependent de timp (din nou prin legea lui Faraday), deci bucla lui E nu este zero ca înainte, ceea ce înseamnă că câmpul electric nu mai este gradientul potențialului electric. Trebuie adăugat un termen dependent de timp:

${\ displaystyle - \ mathbf {E} = \ nabla V + {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \, \!}$

unde A este potențialul vectorului electromagnetic . Această ultimă expresie potențială reduce de fapt legea lui Faraday la o identitate.

Mecanica fluidelor

În mecanica fluidelor , câmpul de viteză v descrie mișcarea fluidului. Un flux irotațional înseamnă că câmpul de viteză este conservator sau, în mod echivalent, câmpul pseudovector de vorticitate ω este zero:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ nabla \ times \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {0}}.}$

Aceasta permite ca potențialul de viteză să fie definit pur și simplu ca:

${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla \ phi}$

Chimie

Într-o jumătate de celulă electrochimică , la interfața dintre electrolit (o soluție ionică ) și electrodul metalic , diferența de potențial electrică standard este:

${\ displaystyle \ Delta \ phi _ {(M, M ^ {+ z})} = \ Delta \ phi _ {(M, M ^ {+ z})} ^ {\ ominus} + {\ frac {RT} {zeN _ {\ text {A}}}} \ ln a_ {M ^ {+ z}} \, \!}$

unde R = constanta gazului , T = temperatura soluției, z = valența metalului, e = sarcina elementară , N _A = constanta Avogadro , iar un _{M ^{+ z}} este activitatea ionilor în soluție. Cantitățile cu supercript ⊖ indică măsurarea luată în condiții standard . Gradientul potențial este relativ brusc, deoarece există o limită aproape definită între metal și soluție, de unde și termenul de interfață.

Biologie

În biologie , un gradient de potențial este diferența netă de sarcină electrică pe o membrană celulară .

Non-unicitatea potențialelor

Deoarece gradienții în potențiale corespund câmpurilor fizice , nu are nicio diferență dacă se adaugă o constantă (este ștearsă de operatorul de gradient ∇ care include diferențierea parțială ). Aceasta înseamnă că nu există nicio modalitate de a spune care este „valoarea absolută” a potențialului „este” - valoarea zero a potențialului este complet arbitrară și poate fi aleasă oriunde prin comoditate (chiar „la infinit”). Această idee se aplică și potențialelor vectoriale și este exploatată în teoria câmpului clasic și, de asemenea , în teoria câmpului gabarit .

Valorile absolute ale potențialelor nu sunt observabile fizic, doar gradienții și diferențele de potențial dependente de cale sunt. Cu toate acestea, efectul Aharonov – Bohm este un efect mecanic cuantic care ilustrează faptul că potențialele electromagnetice diferite de zero de-a lungul unei bucle închise (chiar și atunci când câmpurile E și B sunt zero peste tot în regiune) duc la modificări în faza funcției de undă a o particulă încărcată electric în regiune, astfel încât potențialele par să aibă o semnificație măsurabilă.

Teoria potențială

Ecuațiile de câmp , cum ar fi legile lui Gauss pentru electricitate , magnetism și gravitație , pot fi scrise sub forma:

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = X \ rho}$

unde ρ este electric densitatea de sarcină , monopole densitatea (ar exista) sau densitatea masei și X este o constantă (în termeni de constante fizice G , £ ₀ , p ₀ și alți factori numerici).

Gradienții potențiali scalari conduc la ecuația lui Poisson :

${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ phi) = X \ rho \ quad \ Rightarrow \ quad \ nabla ^ {2} \ phi = X \ rho}$

O teorie generală a potențialelor a fost dezvoltată pentru a rezolva această ecuație pentru potențial. Gradientul acelei soluții dă câmpului fizic, rezolvând ecuația câmpului.

Vezi si

• Tensori în coordonate curbilinee

Referințe