Gradient potencjału - Potential gradient

W fizyki , chemii i biologii , A gradient potencjału jest lokalną prędkość zmian w potencjale w odniesieniu do przesunięcia, to znaczy pochodna przestrzenne lub gradientowe. Wielkość ta często występuje w równaniach procesów fizycznych, ponieważ prowadzi do jakiejś formy strumienia .

Definicja

Jeden wymiar

Najprostsza definicja gradientu potencjału F w jednym wymiarze jest następująca:

${\ Displaystyle F = {\ Frac {\ phi _ {2} - \ phi _ {1}} {x_ {2}-x_ {1}}} = {\ Frac {\ Delta \ phi} {\ Delta x} }\,\!}$

gdzie ϕ ( x ) to pewien rodzaj potencjału skalarnego, a x to przemieszczenie (nie odległość ) w kierunku x , indeksy dolne oznaczają dwie różne pozycje x ₁ , x ₂ , i potencjały w tych punktach, ϕ ₁ = ϕ ( x ₁ ) , φ ₂ = φ ( x ₂ ) . W granicy nieskończenie małych przemieszczeń stosunek różnic staje się stosunkiem różniczek :

${\ Displaystyle F = {\ Frac {{\ rm {d}} \ phi {{\ rm {d}} x}}. \ \!}$

Kierunek gradientu potencjału elektrycznego jest od do . ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

Trzy wymiary

W trzech wymiarach , współrzędne kartezjańskie jasno, że otrzymaną gradient potencjału jest sumą ewentualnych gradientów w każdym kierunku:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {e} _ {x} \ Frac {\ częściowy \ phi} {\ częściowy x}} + \ mathbf {e} _ {y} {\ Frac {\ częściowy \ phi }{\częściowy y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\częściowy \phi }{\częściowy z}}\,\!}$

gdzie e _x , e _y , e _z są wektorami jednostkowymi w kierunkach x, y, z . Można to zwięźle zapisać w postaci operatora gradientu ∇ ,

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla \ phi \ \, \!}$

chociaż ta ostateczna forma obowiązuje w każdym krzywoliniowym układzie współrzędnych , nie tylko kartezjańskim.

To wyrażenie reprezentuje istotną cechę każdego konserwatywnego pola wektorowego F , mianowicie F ma odpowiedni potencjał ϕ .

Używając twierdzenia Stokesa , jest to równoważne jako

${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {F} = {\ pogrubienie {0}} \ \!}$

co oznacza, że rotacja , oznaczona ∇×, pola wektorowego znika.

Fizyka

grawitacja newtonowska

W przypadku pola grawitacyjnego g , które można wykazać jako zachowawcze, jest ono równe gradientowi potencjału grawitacyjnego Φ :

${\ Displaystyle \ mathbf {g} = - \ nabla \ Phi. \ \!}$

Pomiędzy polem grawitacyjnym a potencjałem występują przeciwne znaki, ponieważ gradient potencjału i pole mają przeciwny kierunek: wraz ze wzrostem potencjału siła pola grawitacyjnego maleje i odwrotnie.

Elektromagnetyzm

W elektrostatyki The pola elektrycznego E jest niezależna od czasu t , więc nie ma indukcja zależny od czasu pola magnetycznego B przez Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya :

${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {E} = - {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {B}} {\ częściowy t}} = {\ pogrubiony symbol {0}} \,,}$

co implikuje E jest gradientem potencjału elektrycznego V , identycznym z klasycznym polem grawitacyjnym:

${\ Displaystyle - \ mathbf {E} = \ nabla V. \ \!}$

W elektrodynamiki The E pole jest zależne od czasu i wywołuje zależne od czasu B pola również (ponownie przez prawo Faradaya), więc zwijanie E nie zerowe jak to wcześniej, co oznacza pole elektryczne nie jest gradient potencjału elektrycznego. Należy dodać termin zależny od czasu:

${\ Displaystyle - \ mathbf {E} = \ nabla V + {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {A}} {\ częściowy t}} \ \!}$

gdzie A jest potencjałem wektora elektromagnetycznego . To ostatnie potencjalne wyrażenie w rzeczywistości redukuje prawo Faradaya do tożsamości.

Mechanika płynów

W mechanice płynów The pole prędkości V opisuje ruch płynu. Bezwirowy przepływu oznacza pole prędkość jest konserwatywna lub równoważnie wirowość pseudowektor pole ω wynosi zero:

${\ Displaystyle {\ pogrubienie {\ omega}} = \ nabla \ razy \ mathbf {v} = {\ pogrubienie {0}}.}$

Pozwala to na proste zdefiniowanie potencjału prędkości jako:

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla \ phi}$

Chemia

W elektrochemicznym półogniwu , na granicy elektrolitu ( roztwór jonowy ) i metalowej elektrody , standardowa różnica potencjałów elektrycznych wynosi:

${\ Displaystyle \ Delta \ phi _ {(M, M ^ {+ Z})} = \ Delta \ phi _ {(M, M ^ {+ Z})} ^ {\ Ominus} + {\ Frac {RT} {zeN_{\text{A}}}}\n a_{M^{+z}}\,\!}$

gdzie R = stała gazowa , T = temperatura roztworu, z = wartościowości metalu, e = ładunek elementarny , N = Avogadro stałe i _{M ^{+ z}} jest aktywność jonów w roztworze. Wielkości z indeksem górnym ⊖ oznaczają pomiar wykonany w warunkach standardowych . Gradient potencjału jest stosunkowo gwałtowny, ponieważ istnieje prawie określona granica między metalem a roztworem, stąd termin graniczny.

Biologia

W biologii gradient potencjału jest różnicą netto ładunku elektrycznego w błonie komórkowej .

Nieunikalność potencjałów

Ponieważ gradienty w potencjałach odpowiadają polom fizycznym , nie ma znaczenia, czy dodawana jest stała (jest ona usuwana przez operator gradientu ∇, który zawiera częściowe różniczkowanie ). Oznacza to, że nie ma sposobu, aby powiedzieć, jaka jest „wartość bezwzględna” potencjału „jest” – zerowa wartość potencjału jest całkowicie arbitralna i może być wybrana w dowolnym miejscu dla wygody (nawet „w nieskończoności”). Pomysł ten dotyczy również potencjałów wektorowych i jest wykorzystywany w klasycznej teorii pola, a także w teorii pola z cechowaniem .

Bezwzględne wartości potencjałów nie są fizycznie obserwowalne, są tylko gradienty i różnice potencjałów zależne od ścieżki. Jednakże Efekt Aharonova-Bohma jest kwantowa mechaniczne działanie, które pokazuje, że nie-zerowy potencjał elektromagnetycznych wzdłuż zamkniętej pętli (nawet gdy E i B pola są zerami wszędzie region) nie prowadzą do zmian w fazie funkcji fali z cząsteczka naładowana elektrycznie w regionie, więc potencjały wydają się mieć wymierne znaczenie.

Teoria potencjału

Równania pola , takie jak prawa Gaussa dla elektryczności , dla magnetyzmu i dla grawitacji , można zapisać w postaci:

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = X \ rho}$

gdzie ρ jest elektryczny gęstość ładunku , jednobiegunowej gęstości (powinny istnieć), lub o masie i X jest stała (w zakresie stałych fizycznych G , ε ₀ , jj ₀ i inne czynniki numeryczne).

Skalarne gradienty potencjału prowadzą do równania Poissona :

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ phi ) = X \ rho \ quad \ Rightarrow \ quad \ nabla ^ {2} \ phi = X \ rho}$

Opracowano ogólną teorię potencjałów w celu rozwiązania tego równania potencjału. Gradient tego rozwiązania daje pole fizyczne, rozwiązując równanie pola.

Zobacz też

• Tensory we współrzędnych krzywoliniowych

Bibliografia