Potenciální gradient - Potential gradient

V fyziky , chemie a biologie , je potenciální spád je místní rychlost změny na potenciálu vzhledem k posunu, tedy prostorové derivát, nebo přechod. Toto množství se často vyskytuje v rovnicích fyzikálních procesů, protože vede k určité formě toku .

Definice

Jedna dimenze

Nejjednodušší definice potenciálního přechodu F v jedné dimenzi je následující:

${\ displaystyle F = {\ frac {\ phi _ {2} - \ phi _ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} = {\ frac {\ Delta \ phi} {\ Delta x} } \, \!}$

kde ϕ ( x ) je nějaký typ skalárního potenciálu a x je posunutí (ne vzdálenost ) ve směru x , dolní indexy označují dvě různé polohy x ₁ , x ₂ a potenciály v těchto bodech, ϕ ₁ = ϕ ( x ₁ ) , ϕ ₂ = ϕ ( x ₂ ) . V limitu nekonečně malých posunů se poměr rozdílů stává poměrem rozdílů :

${\ displaystyle F = {\ frac {{\ rm {d}} \ phi} {{\ rm {d}} x}}. \, \!}$

Směr gradientu elektrického potenciálu je od do . ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

Tři rozměry

Ve třech rozměrech , kartézské souřadnice , aby bylo zřejmé, že výsledný gradient potenciálu je součet potenciálních gradientů v každém směru:

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {e} _ {x} {\ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné x}} + \ mathbf {e} _ {y} {\ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné y}} + \ mathbf {e} _ {z} {\ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné z}} \, \!}$

kde e _x , e _y , e _z jsou jednotkové vektory ve směrech x, y, z . To lze kompaktně napsat pomocí operátoru přechodu ∇ ,

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla \ phi. \, \!}$

i když tato konečná podoba platí v jakémkoli křivočarém souřadnicovém systému , nejen v kartézském.

Tento výraz představuje významný rys jakéhokoli konzervativního vektorového pole F , konkrétně F má odpovídající potenciál ϕ .

Pomocí Stokesovy věty je to ekvivalentně uvedeno jako

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F} = {\ boldsymbol {0}} \, \!}$

což znamená, že zvlnění vektorového pole zmizí.

Fyzika

Newtonova gravitace

V případě gravitačního pole g , které lze prokázat jako konzervativní, se rovná gradientu gravitačního potenciálu Φ :

${\ displaystyle \ mathbf {g} = - \ nabla \ Phi. \, \!}$

Mezi gravitačním polem a potenciálem existují opačné znaky, protože gradient potenciálu a pole jsou opačné ve směru: jak se potenciál zvyšuje, síla gravitačního pole klesá a naopak.

Elektromagnetismus

V elektrostatiky je elektrické pole E je nezávislá na čase t , takže není indukce závislosti na čase magnetického pole B o Faradayova indukčního zákona :

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ částečné \ mathbf {B}} {\ částečné t}} = {\ boldsymbol {0}} \ ,,}$

což znamená, že E je gradient elektrického potenciálu V , identický s klasickým gravitačním polem:

${\ displaystyle - \ mathbf {E} = \ nabla V. \, \!}$

V elektrodynamice je pole E závislé na čase a indukuje také pole B závislé na čase (opět podle Faradayova zákona), takže zvlnění E není nulové jako dříve, což znamená, že elektrické pole již není gradientem elektrického potenciálu. Je třeba přidat termínově závislý termín:

${\ displaystyle - \ mathbf {E} = \ nabla V + {\ frac {\ částečné \ mathbf {A}} {\ částečné t}} \, \!}$

kde A je elektromagnetický vektorový potenciál . Tento poslední potenciální výraz ve skutečnosti redukuje Faradayův zákon na identitu.

Mechanika tekutin

V mechaniky tekutin je rychlostní pole v popisuje pohyb tekutiny. Irrotational průtok znamená, že rychlostní pole je konzervativní, nebo ekvivalentně vorticity pseudovector pole ω je nulový:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ nabla \ times \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {0}}.}$

To umožňuje definovat potenciál rychlosti jednoduše jako:

${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla \ phi}$

Chemie

V elektrochemickém poločlánku na rozhraní mezi elektrolytem ( iontový roztok ) a kovovou elektrodou je standardní rozdíl elektrického potenciálu :

${\ displaystyle \ Delta \ phi _ {(M, M ^ {+ z})} = \ Delta \ phi _ {(M, M ^ {+ z})} ^ {\ ominus} + {\ frac {RT} {zeN _ {\ text {A}}}} \ ln a_ {M ^ {+ z}} \, \!}$

kde R = plynová konstanta , T = teplota roztoku, z = valence kovu, e = elementární náboj , N = Avogadrova konstanta , a _{M ^{+ z}} je aktivita iontů v roztoku. Veličiny s horním indexem ⊖ označují, že měření se provádí za standardních podmínek . Gradient potenciálu je relativně náhlý, protože mezi kovem a roztokem existuje téměř určitá hranice, proto termín rozhraní.

Biologie

V biologii je potenciální gradient čistý rozdíl v elektrickém náboji přes buněčnou membránu .

Nejedinečnost potenciálů

Protože přechody v potenciálech odpovídají fyzickým polím , nezáleží na tom, jestli je přidána konstanta (je vymazána operátorem přechodu ∇, který zahrnuje částečnou diferenciaci ). To znamená, že neexistuje způsob, jak zjistit, co je „absolutní hodnota“ potenciálu „- nulová hodnota potenciálu je zcela libovolná a lze ji libovolně zvolit libovolně (i„ v nekonečnu “). Tato myšlenka platí také pro vektorové potenciály a je využívána v klasické teorii pole a také v teorii měřicího pole .

Absolutní hodnoty potenciálů nejsou fyzicky pozorovatelné, pouze gradienty a rozdíly potenciálu závislé na dráze. Nicméně, Aharonov-Bohm účinek je quantum mechanický účinek, který znázorňuje, že nenulové elektromagnetické potenciály podél uzavřené smyčky (i když E a B pole jsou nulové všude v oblasti) vedou ke změnám ve fázi vlnové funkce z elektricky nabitá částice v oblasti, takže se zdá, že potenciály mají měřitelný význam.

Teorie potenciálu

Polní rovnice , jako jsou Gaussovy zákony pro elektřinu , magnetismus a gravitaci , lze napsat ve tvaru:

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = X \ rho}$

kde ρ je elektrický hustota náboje , monopól hustota (měla by existovat) nebo hustota hmotnostního a X je konstanta (z hlediska fyzikálních konstant G , £ ₀ , u Stabilizátory ₀ a jiné číselné faktory).

Skalární gradienty potenciálu vedou k Poissonově rovnici :

${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ phi) = X \ rho \ quad \ Rightarrow \ quad \ nabla ^ {2} \ phi = X \ rho}$

K vyřešení této rovnice potenciálu byla vyvinuta obecná teorie potenciálů. Gradient tohoto řešení dává fyzikálnímu poli řešení rovnice pole.

Viz také

• Tenzory v křivočarých souřadnicích

Reference