Potentiel gradient - Potential gradient

I fysik , kemi og biologi er en potentiel gradient den lokale ændringshastighed for potentialet med hensyn til forskydning, dvs. rumlig derivat eller gradient. Denne mængde forekommer ofte i ligninger af fysiske processer, fordi den fører til en eller anden form for strømning .

Definition

Én dimension

Den enkleste definition for en potentiel gradient F i en dimension er følgende:

${\ displaystyle F = {\ frac {\ phi _ {2} - \ phi _ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} = {\ frac {\ Delta \ phi} {\ Delta x} } \, \!}$

hvor ϕ ( x ) er en eller anden form for skalarpotentiale og x er forskydning (ikke afstand ) i x- retningen, tegner abonnenterne to forskellige positioner x ₁ , x ₂ og potentialer på disse punkter, ϕ ₁ = ϕ ( x ₁ ) , ϕ ₂ = ϕ ( x ₂ ) . I grænsen for uendelige minimale forskydninger bliver forholdet mellem forskelle et forhold mellem forskelle :

${\ displaystyle F = {\ frac {{\ rm {d}} \ phi} {{\ rm {d}} x}}. \, \!}$

Retningen af ​​den elektriske potentialgradient er fra til . ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

Tre dimensioner

I tre dimensioner gør kartesiske koordinater det klart, at den resulterende potentielle gradient er summen af ​​de potentielle gradienter i hver retning:

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {e} _ {x} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x}} + \ mathbf {e} _ {y} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial y}} + \ mathbf {e} _ {z} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial z}} \, \!}$

hvor e _x , e _y , e _z er enhedsvektorer i retningerne x, y, z . Dette kan kompakt skrives i form af gradienten operatør ∇ ,

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla \ phi. \, \!}$

skønt denne endelige form har ethvert krumlinjært koordinatsystem , ikke kun kartesisk.

Dette udtryk repræsenterer et signifikant træk ved ethvert konservativt vektorfelt F , nemlig F har et tilsvarende potentiale ϕ .

Ved hjælp af Stokes 'sætning er dette ligestillet angivet som

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F} = {\ boldsymbol {0}} \, \!}$

hvilket betyder krøllen , betegnet ∇ ×, for vektorfeltet forsvinder.

Fysik

Newtonsk gravitation

I tilfælde af tyngdefeltet g , som kan vises at være konservativ, er det lig med gradienten i tyngdepotentialet Φ :

${\ displaystyle \ mathbf {g} = - \ nabla \ Phi. \, \!}$

Der er modsatte tegn mellem tyngdefelt og potentiale, fordi potentialgradienten og feltet er modsat i retning: når potentialet øges, falder tyngdefeltets styrke og omvendt.

Elektromagnetisme

I elektrostatik er det elektriske felt E uafhængigt af tid t , så der er ingen induktion af et tidsafhængigt magnetfelt B ved Faradays lov om induktion :

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = {\ boldsymbol {0}} \ ,,}$

hvilket antyder, at E er gradienten af ​​det elektriske potentiale V , identisk med det klassiske tyngdefelt:

${\ displaystyle - \ mathbf {E} = \ nabla V. \, \!}$

I elektrodynamik er E- feltet tidsafhængigt og inducerer også et tidsafhængigt B- felt (igen ved Faradays lov), så krøllen af E ikke er nul som før, hvilket indebærer, at det elektriske felt ikke længere er gradienten af ​​det elektriske potentiale. Et tidsafhængigt udtryk skal tilføjes:

${\ displaystyle - \ mathbf {E} = \ nabla V + {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \, \!}$

hvor A er det elektromagnetiske vektorpotentiale . Dette sidste potentielle udtryk reducerer faktisk Faradays lov til en identitet.

Væskemekanik

I fluid mekanik , den hastighedsfeltet v beskriver flydende bevægelse. En hvirvelfri strømning betyder hastighedsfeltet er konservativ eller tilsvarende den vorticity pseudovector felt ω er nul:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ nabla \ times \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {0}}.}$

Dette gør det muligt at definere hastighedspotentialet simpelthen som:

${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla \ phi}$

Kemi

I en elektrokemisk halvcelle , ved grænsefladen mellem elektrolytten (en ionisk opløsning ) og metal elektrode , standard elektrisk spændingsforskel er:

${\ displaystyle \ Delta \ phi _ {(M, M ^ {+ z})} = \ Delta \ phi _ {(M, M ^ {+ z})} ^ {\ ominus} + {\ frac {RT} {zeN _ {\ text {A}}}} \ ln a_ {M ^ {+ z}} \, \!}$

hvor R = gaskonstanten , T = temperatur af opløsning, z = valens af metallet, e = elementarladningen , N _A = Avogadros konstant , og en _{M ^{+ z}} er aktiviteten af ionerne i opløsning. Mængder med overskrift ⊖ angiver målingen tages under standardbetingelser . Den potentielle gradient er relativt brat, da der er en næsten bestemt grænse mellem metallet og opløsningen, deraf grænsefladeudtrykket.

Biologi

I biologi er en potentiel gradient nettoforskellen i elektrisk ladning over en cellemembran .

Ikke-unikhed af potentialer

Da gradienter i potentialer svarer til fysiske felter , gør det ingen forskel, hvis der tilføjes en konstant (den slettes af gradientoperatoren ∇, som inkluderer delvis differentiering ). Dette betyder, at der ikke er nogen måde at fortælle, hvad den "absolutte værdi" af potentialet "er" - nulværdien af ​​potentialet er fuldstændig vilkårlig og kan vælges hvor som helst ved bekvemmelighed (selv "ved uendelig"). Denne idé gælder også for vektorpotentialer og udnyttes i klassisk feltteori og også målefeltteori .

Absolutte værdier af potentialer er ikke fysisk observerbare, kun gradienter og stiafhængige potentielle forskelle er. Imidlertid Aharonov-Bohm virkning er en kvantemekanisk virkning som illustrerer, at ikke-nul elektromagnetiske potentialer langs en lukket sløjfe (selv når E og B felter er nul overalt i regionen) fører til ændringer i fasen af bølge funktion af en elektrisk ladet partikel i regionen, så potentialerne synes at have målbar betydning.

Potentiel teori

Feltligninger , såsom Gauss 'love for elektricitet , magnetisme og tyngdekraft , kan skrives i form:

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = X \ rho}$

hvor ρ er den elektriske ladningstæthed , monopoldensitet (hvis de findes) eller massetæthed, og X er en konstant (i form af fysiske konstanter G , ε ₀ , μ ₀ og andre numeriske faktorer).

Skalarpotentiale gradienter fører til Poissons ligning :

${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ phi) = X \ rho \ quad \ Rightarrow \ quad \ nabla ^ {2} \ phi = X \ rho}$

En generel teori om potentialer er blevet udviklet for at løse denne ligning for potentialet. Gradienten af ​​den løsning giver det fysiske felt og løser feltligningen.

Se også

• Tensorer i krumme koordinater

Referencer