Urmări parțiale - Partial trace

Partea din stânga arată o matrice de densitate completă a unui sistem de chbit bipartit. Urmarea parțială este realizată pe un subsistem cu dimensiunea 2 cu 2 (matrice de densitate unică de qubit). Partea dreaptă arată matricea cu densitate redusă 2 cu 2 rezultate .${\ displaystyle \ rho _ {AB}}$${\ displaystyle \ rho _ {A}}$

În algebră liniară și analiză funcțională , urmele parțiale reprezintă o generalizare a urmelor . În timp ce urmele sunt o funcție evaluată scalar pentru operatori, urmă parțială este o funcție evaluată de operator . Urmarea parțială are aplicații în informații cuantice și în condiții de decernare, care este relevantă pentru măsurarea cuantică și, prin urmare, pentru abordările decente ale interpretărilor mecanicii cuantice , incluzând istoriile consistente și interpretarea relativă a stării .

Detalii

Să presupunem , sunt spații vectoriale finit dimensionale peste un câmp , cu dimensiuni și , respectiv. Pentru orice spațiu lăsată reprezintă spațiul operatorilor liniari pe . Parțială urmă over , este o cartografiere ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle L (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W}: \ operatorname {L} (V \ otimes W) \ to \ operatorname {L} (V)}$

${\ displaystyle T \ in \ operatorname {L} (V \ otimes W) \ mapsto \ operatorname {Tr} _ {W} (T) \ in \ operatorname {L} (V)}$

Este definit după cum urmează: să fie și , să fie baze pentru V și respectiv W ; atunci T are o reprezentare matricială ${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {m}}$${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n}}$

${\ displaystyle \ {a_ {k \ ell, ij} \} \ quad 1 \ leq k, i \ leq m, \ quad 1 \ leq \ ell, j \ leq n}$

relativ la baza lui . ${\ displaystyle e_ {k} \ otimes f _ {\ ell}}$${\ displaystyle V \ otimes W}$

Acum pentru indicii k , i în intervalul 1, ..., m , consider suma

${\ displaystyle b_ {k, i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {kj, ij}.}$

Aceasta dă o matrice b _{k , i} . Operatorul liniar asociat pe V este independent de alegerea bazelor și este prin definiție urmele parțiale .

În rândul fizicienilor, acest lucru este adesea numit „urmărire” sau „urmărire” W pentru a lăsa doar un operator pe V în contextul în care W și V sunt spații Hilbert asociate cu sistemele cuantice (vezi mai jos).

Definiție invariabilă

Operatorul de urmărire parțială poate fi definit invariabil (adică, fără referire la o bază) după cum urmează: este operatorul liniar unic

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W}: \ operatorname {L} (V \ otimes W) \ rightarrow \ operatorname {L} (V)}$

astfel încât

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W} (R \ otimes S) = R \, \ operatorname {Tr} (S) \ quad \ forall R \ in \ operatorname {L} (V) \ quad \ forall S \ in \ operatorname {L} (W).}$

Pentru a vedea că condițiile de mai sus determină urmele parțiale în mod unic, lasă să formeze o bază pentru , lasă să formeze o bază pentru , să fie harta care trimite către (și toate celelalte elemente de bază la zero) și să fie harta care trimite la . Deoarece vectorii formează o bază pentru , hărțile formează o bază pentru . ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {m}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle w_ {1}, \ ldots, w_ {n}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle E_ {ij} \ colon V \ to V}$${\ displaystyle v_ {i}}$${\ displaystyle v_ {j}}$${\ displaystyle F_ {kl} \ colon W \ to W}$${\ displaystyle w_ {k}}$${\ displaystyle w_ {l}}$${\ displaystyle v_ {i} \ otimes w_ {k}}$${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle E_ {ij} \ otimes F_ {kl}}$${\ displaystyle \ operatorname {L} (V \ otimes W)}$

Din această definiție abstractă, urmează următoarele proprietăți:

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W} (I_ {V \ otimes W}) = \ dim W \ I_ {V}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W} (T (I_ {V} \ otimes S)) = \ operatorname {Tr} _ {W} ((I_ {V} \ otimes S) T) \ quad \ forall S \ in \ operatorname {L} (W) \ quad \ forall T \ in \ operatorname {L} (V \ otimes W).}$

Noțiune teoretică de categorie

Este urmărea parțială a transformărilor liniare care este subiectul noțiunii categoriei monoide a lui Joyal, Street și Verity . O categorie monoidă urmărită este o categorie monoidă împreună cu, pentru obiectele X, Y, U din categorie, o funcție a seturilor Hom, ${\ displaystyle (C, \ otimes, I)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {X, Y} ^ {U} \ colon \ operatorname {Hom} _ {C} (X \ otimes U, Y \ otimes U) \ to \ operatorname {Hom} _ {C }(X Y)}$

satisfacerea anumitor axiome.

Un alt caz al acestei noțiuni abstracte de urmări parțiale are loc în categoria seturilor finite și bijectiilor dintre ele, în care produsul monoid este uniunea disociată. Se poate arăta că pentru orice seturi finite, X, Y, U și bijectie există o bijecție „parțial” urmărită . ${\ displaystyle X + U \ cong Y + U}$${\ displaystyle X \ cong Y}$

Urmări parțiale pentru operatorii din spațiile Hilbert

Urmarea parțială se generalizează operatorilor pe spații Hilbert dimensionale infinite. Să presupunem că V , W sunt spații Hilbert și let

${\ displaystyle \ {f_ {i} \} _ {i \ in I}}$

să fie o bază ortonormală pentru W . Acum există un izomorfism izometric

${\ displaystyle \ bigoplus _ {\ ell \ in I} (V \ otimes \ mathbb {C} f _ {\ ell}) \ rightarrow V \ otimes W}$

În cadrul acestei descompuneri, orice operator poate fi considerat ca o matrice infinită de operatori pe V${\ displaystyle T \ in \ operatorname {L} (V \ otimes W)}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} & \ ldots & T_ {1j} & \ ldots \\ T_ {21} & T_ {22} & \ ldots & T_ {2j} & \ ldots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ T_ {k1} & T_ {k2} & \ ldots & T_ {kj} & \ ldots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \ end {bmatrix}},}$

unde . ${\ displaystyle T_ {k \ ell} \ in \ operatorname {L} (V)}$

Mai întâi să presupunem că T este un operator non-negativ. În acest caz, toate intrările diagonale ale matricei de mai sus sunt operatori non-negative V . Dacă suma

${\ displaystyle \ sum _ {\ ell} T _ {\ ell \ ell}}$

converge în topologia operatorului puternic de L ( V ), este independentă de baza aleasă W . Urma parțială Tr _W ( T ) este definită a fi acest operator. Urmarea parțială a unui operator auto-adiacent este definită dacă și numai dacă sunt definite urmele parțiale ale părților pozitive și negative.

Calcularea urmelor parțiale

Presupunem că W are o bază ortonormală, pe care îl notăm cu ket notație vector ca . Apoi ${\ displaystyle \ {| \ ell \ rangle \} _ {\ ell}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W} \ left (\ sum _ {k, \ ell} T ^ {(k \ ell)} \, \ otimes \, | k \ rangle \ langle \ ell | \ right ) = \ sumă {{j} T ^ {(jj)}.}$

Superscripturile din paranteze nu reprezintă componente matrice, ci etichetează matricea însăși.

Urmare parțială și integrare invariabilă

In cazul spatiilor finit dimensionale Hilbert, există un mod util de a privi urme parțiale care implică integrarea în ceea ce privește o măsură Haar μ normalizat adecvat asupra grupului unitar U ( W ) de W . În mod corespunzător normalizat înseamnă că μ este luată ca o măsură cu masă totală dim ( W ).

Teorema . Să presupunem că V , W sunt spații Hilbert cu dimensiuni finite. Apoi

${\ displaystyle \ int _ {\ operatorname {U} (W)} (I_ {V} \ otimes U ^ {*}) T (I_ {V} \ otimes U) \ d \ mu (U)}$

face naveta cu toți operatorii formularului și, prin urmare, este unic al formularului . Operatorul R este urma parțială a T . ${\ displaystyle I_ {V} \ otimes S}$${\ displaystyle R \ otimes I_ {W}}$

Urme parțiale ca operație cuantică

Urmarea parțială poate fi privită ca o operație cuantică . Luați în considerare un sistem mecanic cuantic al cărui spațiu de stare este produsul tensor al spațiilor Hilbert. O stare mixtă este descrisă printr-o matrice de densitate ρ, adică un operator de clasă de tracțiune non-negativ al urmelor 1 pe produsul tensor Urma parțială a ρ în raport cu sistemul B , notată cu , este denumită stare redusă de ρ pe sistemul A . În simboluri, ${\ displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {B}}$${\ displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {B}.}$${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$

${\ displaystyle \ rho ^ {A} = \ operatorname {Tr} _ {B} \ rho.}$

Pentru a arăta că acesta este într-adevăr un mod sensibil de a atribui o stare pe subsistemul A ρ, oferim următoarea justificare. Fie M un observabil pe subsistemul A , atunci observabilul corespunzător pe sistemul compozit este . Cu toate că se alege să definească o stare redusă , ar trebui să existe coerența statisticilor de măsurare. Valoarea de așteptare a lui M după ce este pregătit subsistemul A și cea a momentului în care sistemul compozit este pregătit în ρ trebuie să fie aceeași, adică trebuie să mențină următoarea egalitate: ${\ displaystyle M \ otimes I}$${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$${\ displaystyle M \ otimes I}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (M \ cdot \ rho ^ {A}) = \ operatorname {Tr} (M \ otimes I \ cdot \ rho).}$

Vedem că acest lucru este satisfăcut dacă este definit ca mai sus prin urmă parțială. Mai mult, o astfel de operație este unică. ${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$

Să T (H) să fie spațiul Banach operatorilor urme de clasă pe Hilbert spațiu H . Se poate verifica cu ușurință dacă urmele parțiale, vizualizate ca o hartă

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B}: T (H_ {A} \ otimes H_ {B}) \ rightarrow T (H_ {A})}$

este complet pozitiv și urmărește conservarea.

Harta parțială parțială, așa cum este dată mai sus, induce o hartă duală între valorile C * ale operatorilor delimitați și dată de ${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B} ^ {*}}$${\ displaystyle \; H_ {A}}$${\ displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {B}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B} ^ {*} (A) = A \ otimes I.}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B} ^ {*}}$mapează observabilele către observabili și este reprezentarea imaginii Heisenberg . ${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B}}$

Comparație cu cazul clasic

Să presupunem că în loc de sisteme mecanice cuantice, cele două sisteme A și B sunt clasice. Spațiul observabililor pentru fiecare sistem este apoi abelian C * -algebras. Acestea sunt de forma C ( X ) și C ( Y ) , respectiv pentru spații compacte X , Y . Spațiul de stare al sistemului compozit este pur și simplu

${\ displaystyle C (X) \ otimes C (Y) = C (X \ times Y).}$

Un stat asupra sistemului compozit este un element ρ pozitiv al dualul C ( X x Y ), care prin Riesz-Markov teorema corespunde unei măsuri regulate Borel pe X × Y . Statul redusă corespunzător se obține prin proiectarea măsurii pentru care p X . Astfel, urmă parțială este echivalentul mecanic cuantic al acestei operații.