Osittainen jälki - Partial trace

Vasemmalla puolella on kaksiosaisen qubit-järjestelmän täyden tiheyden matriisi . Osittainen jäljitys suoritetaan 2: 2-ulotteisen alijärjestelmän kautta (yhden kvbitin tiheysmatriisi). Oikealla puolella on tuloksena saatu kaksinkertainen tiheysmatriisi .${\ displaystyle \ rho _ {AB}}$${\ displaystyle \ rho _ {A}}$

In lineaarialgebraa ja toiminnallista analyysiä , osittainen jälki on yleistys jäljittää . Kun jäljitys on operaattoreiden skalaariarvoinen funktio, osittainen jäljitys on operaattorin arvioima funktio. Osittaisella jäljityksellä on sovelluksia kvantti-informaatioon ja dekoorenssiin, mikä on merkityksellistä kvanttimittauksille ja siten kvantimekaniikan tulkintojen dekooderille lähestymistavalle , mukaan lukien yhdenmukaiset historiat ja suhteellisen tilan tulkinta .

Yksityiskohdat

Oletetaan , että kentän päällä ovat äärelliset ulottuvuudet vektoritilat , joiden mitat ja vastaavasti. Mistään tilaa anna kuvaamaan tilaa lineaarisen toimijoiden päällä . Osittainen jäljittää yli , on kartoitus ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle L (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {Tr} _ {W}: \ operaattorinimi {L} (V \ otimes W) \ - \ operatorname {L} (V)}$

${\ displaystyle T \ in \ käyttäjänimi {L} (V \ otimes W) \ mapsto \ operaattorinimi {Tr} _ {W} (T) \ sisään \ operaattorinimi {L} (V)}$

Se on määritelty seuraavasti: Olkoon , ja , olla emäksiä V: lle ja W: lle, vastaavasti; sitten T: llä on matriisiesitys ${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {m}}$${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n}}$

${\ displaystyle \ {a_ {k \ ell, ij} \} \ quad 1 \ leq k, i \ leq m, \ quad 1 \ leq \ ell, j \ leq n}$

suhteen perusteella on . ${\ displaystyle e_ {k} \ otimes f _ {\ ell}}$${\ displaystyle V \ otimes W}$

Nyt laske indeksien k , i välillä 1, ..., m , summa

${\ displaystyle b_ {k, i} = \ summa _ {j = 1} ^ {n} a_ {kj, ij}.}$

Tämä antaa matriisin b _{k , eli} . Liittyvä lineaarinen operaattori V: llä on riippumaton emästen valinnasta ja on määritelmänsä mukaan osittainen jäljitys .

Fyysikkojen joukossa tätä kutsutaan usein "jäljittämiseksi" tai "jäljittämiseksi" W: n suhteen, jotta vain operaattori jätetään V : hen tilanteessa, jossa W ja V ovat Hilbert-avaruus, joka liittyy kvanttijärjestelmiin (katso alla).

Epävarma määritelmä

Osittainen jäljitysoperaattori voidaan määritellä muuttumattomasti (ts. Ilman viittausta perustaan) seuraavasti: se on ainutlaatuinen lineaarinen operaattori

${\ displaystyle \ operaattorinimi {Tr} _ {W}: \ operaattorinimi {L} (V \ otimes W) \ oikea nuoli \ operaattorinimi {L} (V)}$

sellainen, että

${\ displaystyle \ operaattorinimi {Tr} _ {W} (R \ otimes S) = R \, \ operatorname {Tr} (S) \ quad \ forall R \ in \ operatorname {L} (V) \ quad \ forall S \ sisään \ käyttäjänimi {L} (W).}$

Nähdä, että edellä mainitut ehdot määrittävät osittaisen jäljittää yksilöllisesti, anna muodostaa perustan , anna muodostaa perustan , anna olla kartta, joka lähettää on (ja kaikki muut perusteella elementtiä nollaksi), ja anna olla kartalla, joka lähettää ja . Koska vektorit muodostavat perustan , kartat muodostavat perustan . ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {m}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle w_ {1}, \ ldots, w_ {n}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle E_ {ij} \ kaksoispiste V \ - V}$${\ displaystyle v_ {i}}$${\ displaystyle v_ {j}}$${\ displaystyle F_ {kl} \ kaksoispiste W \ to W}$${\ displaystyle w_ {k}}$${\ displaystyle w_ {l}}$${\ displaystyle v_ {i} \ otimes w_ {k}}$${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle E_ {ij} \ otimes F_ {kl}}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {L} (V \ otimes W)}$

Tästä abstraktista määritelmästä seuraavat seuraavat ominaisuudet:

${\ displaystyle \ operaattorinimi {Tr} _ {W} (I_ {V \ otimes W}) = \ dim W \ I_ {V}}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {Tr} _ {W} (T (I_ {V} \ otimes S)) = \ operaattorin nimi {Tr} _ {W} ((I_ {V} \ otimes S) T) \ quad \ forall S \ in \ operaattorinimi {L} (W) \ quad \ forall T \ in \ operatorname {L} (V \ otimes W).}$

Luokkateoreettinen käsite

Se on lineaaristen muutosten osittainen jälki, jotka ovat Joyalin, Streetin ja Verityn käsitteen jäljitetyn monoidikategorian kohteena . Jäljitetty monoidaalinen luokka on yksimuotoinen luokka yhdessä luokan objektien X, Y, U kanssa Hom-joukkojen funktion kanssa, ${\ displaystyle (C, \ otimes, I)}$

${\ displaystyle \ käyttäjänimi {Tr} _ {X, Y} ^ {U} \ kaksoispiste \ operaattorinimi {Hom} _ {C} (X \ otimes U, Y \ otimes U) \ to \ operatorname {Hom} _ {C } (X, Y)}$

tiettyjen aksioomien tyydyttäminen.

Toinen tapaus tästä abstraktista osittaisen jäljityksen käsitteestä tapahtuu äärellisten joukkojen ja niiden välisten jalokivien luokassa, joissa monoidituote on jakautumaton. Voidaan osoittaa, että kaikille äärellisille joukkoille, X, Y, U ja jalokivi, on olemassa vastaava "osittain jäljitettävä" jalokivi . ${\ displaystyle X + U \ cong Y + U}$${\ displaystyle X \ cong Y}$

Osittainen jäljitys operaattoreille Hilbert-tiloissa

Osittainen jäljitys yleistyy operaattoreille äärettömän ulottuvilla Hilbert-tiloilla. Oletetaan , että V , W ovat Hilbert-välilyöntejä ja anna

${\ displaystyle \ {f_ {i} \} _ {i \ in I}}$

olla ortonormaali kanta varten W . Nyt on isometrinen isomorfismi

${\ displaystyle \ bigoplus _ {\ ell \ in I} (V \ otimes \ mathbb {C} f _ {\ ell}) \ rightarrow V \ otimes W}$

Tämän hajoamisen yhteydessä mitä tahansa operaattoria voidaan pitää V: n operaattoreiden äärettömänä matriisina${\ displaystyle T \ in \ käyttäjänimi {L} (V \ otimes W)}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} & \ ldots & T_ {1j} & \ ldots \\ T_ {21} & T_ {22} & \ ldots & T_ {2j} & \ ldots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ T_ {k1} & T_ {k2} & \ ldots & T_ {kj} & \ ldots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \ end {bmatrix}},}$

missä . ${\ displaystyle T_ {k \ ell} \ in \ käyttäjänimi {L} (V)}$

Oletetaan ensin, että T on ei-negatiivinen operaattori. Tässä tapauksessa kaikki yllä olevan matriisin diagonaalimerkinnät ovat ei-negatiivisia operaattoreita V: llä . Jos summa

${\ displaystyle \ summa _ {\ ell} T _ {\ ell \ ell}}$

lähenee L ( V ) : n vahvassa operaattoritopologiassa , se on riippumaton valitusta W: n perustasta . Osittainen jäljitys Tr _W ( T ) on määritelty tämän operaattoriksi. Itsesyvän operaattorin osittainen jälki määritetään vain silloin, kun positiivisten ja negatiivisten osien osittaiset jäljet ​​on määritelty.

Lasketaan osittainen jäljitys

Oletetaan, että W: llä on ortonormaali emäs, jota merkitsemme ket- vektorimerkinnällä nimellä . Sitten ${\ displaystyle \ {| | ell \ rangle \} _ {\ ell}}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {Tr} _ {W} \ vasen (\ summa _ {k, \ ell} T ^ {(k \ ell)} \, \ otimes \, | k \ rangle \ langle \ ell | \ oikea ) = \ summa _ {j} T ^ {(jj)}.}$

Suluissa olevat ylimmät tekstit eivät edusta matriisin komponentteja, vaan merkitsevät sen itse matriisia.

Osittainen jälki ja invariantti integraatio

Tapauksessa rajallinen kolmiulotteinen Hilbert tilat, on hyödyllinen tapa tarkastella osittain jäljittää integrointi suhteen sopivasti normalisoitu Haar toimenpide μ yli yhtenäinen ryhmä U ( W ) ja W . Sopivasti normalisoitu tarkoittaa, että μ: n pidetään mittauksena, jonka kokonaismassa on himmeä ( W ).

Lause . Oletetaan , että V , W ovat äärelliset ulotteiset Hilbert-tilat. Sitten

${\ displaystyle \ int _ {\ operaattorinimi {U} (W)} (I_ {V} \ otimes U ^ {*}) T (I_ {V} \ otimes U) \ d \ mu (U)}$

liikkuu lomakkeen kaikkien operaattoreiden kanssa ja on siten yksilöllisesti lomakasta . Operaattori R on osittainen jälkeäkään T . ${\ displaystyle I_ {V} \ otimes S}$${\ displaystyle R \ otimes I_ {W}}$

Osittainen jäljitys kvanttitoimenpiteenä

Osittaista jäljitystä voidaan pitää kvantitoimenpiteenä . Tarkastellaan kvantmekaanista järjestelmää, jonka tilatila on Hilbert- avaruusten tenorituote . Sekatilaa kuvataan tiheysmatriisilla ρ, joka on jäännöstuotteen jäljen 1 ei-negatiivinen jälkiluokkaoperaattori . Ρ: n osittaista jälkeä suhteessa järjestelmään B , jota merkitään , kutsutaan ρ: n pelkistetyksi tilaksi järjestelmän . Symboleissa, ${\ displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {B}}$${\ displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {B}.}$${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$

${\ displaystyle \ rho ^ {A} = \ käyttäjänimi {Tr} _ {B} \ rho.}$

Osoitamme seuraavaa perustelua osoittaaksesi, että tämä on todella järkevä tapa antaa tila A- osajärjestelmälle ρ: lle. Olkoon M havaittavissa alajärjestelmässä A , niin vastaava havaittavissa yhdistelmäjärjestelmässä on . Kuitenkin halutaan määritellä pelkistetty tila , mittaustilastojen tulisi olla johdonmukaisia. M: n odotusarvon, kun osajärjestelmä A on valmisteltu, ja sen, kun yhdistelmäjärjestelmä valmistellaan ρ: n, tulisi olla sama, ts. Seuraavan tasa-arvon tulisi olla voimassa: ${\ displaystyle M \ otimes I}$${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$${\ displaystyle M \ otimes I}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {Tr} (M \ cdot \ rho ^ {A}) = \ operaattorinimi {Tr} (M \ otimes I \ cdot \ rho).}$

Me näemme sen olevan tyytyväinen, jos se on kuten edellä on määritelty osittaisen jäljityksen kautta. Lisäksi tällainen toiminta on ainutlaatuinen. ${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$

Olkoon T (H) on Banachin tila juovan-luokan toimijoiden Hilbert-avaruus H . On helppo tarkistaa, että osittainen jäljitys katsotaan kartalta

${\ displaystyle \ operaattorinimi {Tr} _ {B}: T (H_ {A} \ otimes H_ {B}) \ oikea nuoli T (H_ {A})}$

on täysin positiivinen ja jäljittävää.

Osittainen jälki kartta kuin edellä indusoi kaksinkertaisen kartta välillä C * -algebras ja rajoittuu toimijoiden ja antaa ${\ displaystyle \ operaattorinimi {Tr} _ {B} ^ {*}}$${\ displaystyle \; H_ {A}}$${\ displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {B}}$

${\ displaystyle \ käyttäjänimi {Tr} _ {B} ^ {*} (A) = A \ otimes I.}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {Tr} _ {B} ^ {*}}$kartat havaittavuutta ja havaittavuutta ja on heisenbergin kuva edustus . ${\ displaystyle \ käyttäjänimi {Tr} _ {B}}$

Vertailu klassiseen tapaukseen

Oletetaan, että kvantmekaanisten järjestelmien sijaan kaksi järjestelmää A ja B ovat klassisia. Kunkin järjestelmän havainnoitavissa oleva tila on sitten abelialainen C * -algebra. Nämä ovat muotoa C ( X ) ja C ( Y ) vastaavasti pieniin tiloihin X , Y . Yhdistelmäjärjestelmän tilatila on yksinkertaisesti

${\ näyttötyyli C (X) \ otimes C (Y) = C (X \ kertaa Y).}$

Yhdistelmäjärjestelmän tila on C: n ( X × Y ) dualin positiivinen elementti ρ , joka Riesz-Markov-lauseen mukaan vastaa säännöllistä Borel-mittaa X × Y: llä . Vastaava pelkistetty tila saadaan projisoimalla mitta ρ X: ään . Siksi osittainen jälki on tämän operaation kvanttimekaaninen vastine.