Traza parcial - Partial trace

El lado izquierdo muestra una matriz de densidad completa de un sistema de qubit bipartito. El rastreo parcial se realiza sobre un subsistema de 2 por 2 dimensiones (matriz de densidad de un solo qubit). El lado derecho muestra la matriz de densidad reducida 2 por 2 resultante .${\ Displaystyle \ rho _ {AB}}$${\ Displaystyle \ rho _ {A}}$

En álgebra lineal y análisis funcional , la traza parcial es una generalización de la traza . Considerando que la traza es un escalar función de valor a los operadores, la traza parcial es un operador de la función -valued. La traza parcial tiene aplicaciones en información cuántica y decoherencia que es relevante para la medición cuántica y, por lo tanto, para los enfoques decoherentes de las interpretaciones de la mecánica cuántica , incluidas las historias consistentes y la interpretación del estado relativo .

Detalles

Supongamos , son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo , con dimensiones y , respectivamente. Para cualquier espacio , denotemos el espacio de los operadores lineales en . El seguimiento parcial se escribe como . ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle W}$ ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle L (A)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W}: \ operatorname {L} (V \ otimes W) \ to \ operatorname {L} (V)}$

Se define de la siguiente manera: Para , sean y , bases para V y W respectivamente; entonces T tiene una representación matricial ${\ Displaystyle T \ in \ operatorname {L} (V \ otimes W)}$${\ Displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {m}}$${\ Displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n}}$

${\ Displaystyle \ {a_ {k \ ell, ij} \} \ quad 1 \ leq k, i \ leq m, \ quad 1 \ leq \ ell, j \ leq n}$

relativo a la base de . ${\ Displaystyle e_ {k} \ otimes f _ {\ ell}}$${\ Displaystyle V \ otimes W}$

Ahora, para los índices k , i en el rango 1, ..., m , considere la suma

${\ Displaystyle b_ {k, i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {kj, ij}.}$

Esto da una matriz b _{k , i} . El operador lineal asociado en V es independiente de la elección de las bases y, por definición, es la traza parcial .

Entre los físicos, esto a menudo se llama "rastrear" o "rastrear" W para dejar solo un operador en V en el contexto donde W y V son espacios de Hilbert asociados con sistemas cuánticos (ver más abajo).

Definición invariante

El operador de traza parcial se puede definir invariablemente (es decir, sin referencia a una base) de la siguiente manera: es el operador lineal único

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W}: \ operatorname {L} (V \ otimes W) \ rightarrow \ operatorname {L} (V)}$

tal que

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W} (R \ otimes S) = \ operatorname {Tr} (S) \, R \ quad \ forall R \ in \ operatorname {L} (V) \ quad \ forall S \ in \ operatorname {L} (W).}$

Para ver que las condiciones anteriores determinan la traza parcial de forma única, formemos una base para , formemos una base para , sea ​​el mapa que envía a (y todos los demás elementos de base a cero) y sea ​​el mapa que envía a . Dado que los vectores forman una base para , los mapas forman una base para . ${\ Displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {m}}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle w_ {1}, \ ldots, w_ {n}}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle E_ {ij} \ colon V \ to V}$${\ Displaystyle v_ {i}}$${\ Displaystyle v_ {j}}$${\ Displaystyle F_ {kl} \ dos puntos W \ a W}$${\ Displaystyle w_ {k}}$${\ Displaystyle w_ {l}}$${\ Displaystyle v_ {i} \ otimes w_ {k}}$${\ Displaystyle V \ otimes W}$${\ Displaystyle E_ {ij} \ otimes F_ {kl}}$${\ Displaystyle \ operatorname {L} (V \ otimes W)}$

De esta definición abstracta, se siguen las siguientes propiedades:

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W} (I_ {V \ otimes W}) = \ dim W \ I_ {V}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W} (T (I_ {V} \ otimes S)) = \ operatorname {Tr} _ {W} ((I_ {V} \ otimes S) T) \ quad \ forall S \ in \ operatorname {L} (W) \ quad \ forall T \ in \ operatorname {L} (V \ otimes W).}$

Noción de teoría de categorías

Es el rastro parcial de las transformaciones lineales el tema de la noción de Joyal, Street y Verity de categoría monoidal trazada . Una categoría monoidal trazada es una categoría monoidal junto con, para los objetos X, Y, U en la categoría, una función de Hom-sets, ${\ Displaystyle (C, \ otimes, I)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {X, Y} ^ {U} \ colon \ operatorname {Hom} _ {C} (X \ otimes U, Y \ otimes U) \ to \ operatorname {Hom} _ {C } (X, Y)}$

satisfaciendo ciertos axiomas.

Otro caso de esta noción abstracta de traza parcial tiene lugar en la categoría de conjuntos finitos y biyecciones entre ellos, en los que el producto monoidal es la unión disjunta. Se puede demostrar que para cualquier conjunto finito, X, Y, U y biyección existe una biyección "parcialmente trazada" correspondiente . ${\ Displaystyle X + U \ cong Y + U}$${\ Displaystyle X \ cong Y}$

Seguimiento parcial para operadores en espacios de Hilbert

La traza parcial se generaliza a operadores en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Suponga que V , W son espacios de Hilbert y sea

${\ Displaystyle \ {f_ {i} \} _ {i \ in I}}$

ser una base ortonormal de W . Ahora hay un isomorfismo isométrico

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {\ ell \ in I} (V \ otimes \ mathbb {C} f _ {\ ell}) \ rightarrow V \ otimes W}$

Bajo esta descomposición, cualquier operador puede considerarse como una matriz infinita de operadores en V${\ Displaystyle T \ in \ operatorname {L} (V \ otimes W)}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} & \ ldots & T_ {1j} & \ ldots \\ T_ {21} & T_ {22} & \ ldots & T_ {2j} & \ ldots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ T_ {k1} & T_ {k2} & \ ldots & T_ {kj} & \ ldots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \ end {bmatrix}},}$

donde . ${\ Displaystyle T_ {k \ ell} \ in \ operatorname {L} (V)}$

Primero suponga que T es un operador no negativo. En este caso, todas las entradas diagonales de la matriz anteriormente son los operadores no negativos en V . Si la suma

${\ Displaystyle \ sum _ {\ ell} T _ {\ ell \ ell}}$

converge en la topología fuerte operador de L ( V ), que es independiente de la base elegida de W . La traza parcial Tr _W ( T ) se define como este operador. La traza parcial de un operador autoadjunto se define si y solo si se definen las trazas parciales de las partes positiva y negativa.

Calcular la traza parcial

Suponga que W tiene una base ortonormal, que denotamos mediante la notación de vector ket como . Luego ${\ Displaystyle \ {| \ ell \ rangle \} _ {\ ell}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W} \ left (\ sum _ {k, \ ell} T ^ {(k \ ell)} \, \ otimes \, | k \ rangle \ langle \ ell | \ right ) = \ sum _ {j} T ^ {(jj)}.}$

Los superíndices entre paréntesis no representan componentes de la matriz, sino que etiquetan la matriz en sí.

Traza parcial e integración invariante

En el caso de espacios de Hilbert de dimensión finita, no es una forma útil de ver la traza parcial implica la integración con respecto a una medida de Haar μ adecuadamente normalizado sobre el grupo unitario U ( W ) de W . Adecuadamente normalizado significa que μ se toma como una medida con la masa total dim ( W ).

Teorema . Suponga que V , W son espacios de Hilbert de dimensión finita. Luego

${\ Displaystyle \ int _ {\ operatorname {U} (W)} (I_ {V} \ otimes U ^ {*}) T (I_ {V} \ otimes U) \ d \ mu (U)}$

conmuta con todos los operadores del formulario y, por tanto, es únicamente del formulario . El operador R es la traza parcial de T . ${\ Displaystyle I_ {V} \ otimes S}$${\ Displaystyle R \ otimes I_ {W}}$

Traza parcial como operación cuántica

La traza parcial puede verse como una operación cuántica . Considere un sistema de mecánica cuántica cuyo espacio de estados es el producto tensorial de los espacios de Hilbert. Un estado mixto se describe mediante una matriz de densidad ρ, que es un operador de clase de traza no negativo de la traza 1 en el producto tensorial La traza parcial de ρ con respecto al sistema B , denotado por , se denomina estado reducido de ρ en el sistema a . En símbolos, ${\ Displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {B}}$${\ Displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {B}.}$${\ Displaystyle \ rho ^ {A}}$

${\ Displaystyle \ rho ^ {A} = \ operatorname {Tr} _ {B} \ rho.}$

Para mostrar que esta es una forma sensata de asignar un estado en el subsistema A a ρ, ofrecemos la siguiente justificación. Sea M un observable en el subsistema A , entonces el observable correspondiente en el sistema compuesto es . Independientemente de cómo se elija definir un estado reducido , debe haber coherencia en las estadísticas de medición. El valor esperado de M después de que se prepara el subsistema A y el de cuando el sistema compuesto se prepara en ρ debería ser el mismo, es decir, debería cumplirse la siguiente igualdad: ${\ Displaystyle M \ otimes I}$${\ Displaystyle \ rho ^ {A}}$${\ Displaystyle \ rho ^ {A}}$${\ Displaystyle M \ otimes I}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} (M \ cdot \ rho ^ {A}) = \ operatorname {Tr} (M \ otimes I \ cdot \ rho).}$

Vemos que esto se cumple si es como se definió anteriormente a través del seguimiento parcial. Además, dicha operación es única. ${\ Displaystyle \ rho ^ {A}}$

Deje T (H) sea el espacio de Banach de los operadores de clase rastro en el espacio de Hilbert H . Se puede comprobar fácilmente que el trazo parcial, visto como un mapa

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B}: T (H_ {A} \ otimes H_ {B}) \ rightarrow T (H_ {A})}$

es completamente positivo y conserva los rastros.

El mapa de trazas parciales como se indica arriba induce un mapa dual entre las C * -álgebras de operadores acotados en y dado por ${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B} ^ {*}}$${\ Displaystyle \; H_ {A}}$${\ Displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {B}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B} ^ {*} (A) = A \ otimes I.}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B} ^ {*}}$asigna observables a observables y es la representación de imágenes de Heisenberg . ${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B}}$

Comparación con el caso clásico

Suponga que en lugar de sistemas de mecánica cuántica, los dos sistemas A y B son clásicos. El espacio de observables para cada sistema son entonces abelianas C * -álgebras. Estos son de la forma C ( X ) y C ( Y ), respectivamente, para espacios compactos X , Y . El espacio de estado del sistema compuesto es simplemente

${\ Displaystyle C (X) \ otimes C (Y) = C (X \ times Y).}$

Un estado en el sistema compuesto es un ρ elemento positivo del doble de C ( X × Y ), que por el Riesz-Markov teorema corresponde a una medida regular de Borel en X × Y . El estado reducido correspondiente se obtiene mediante la proyección de la ρ medida para X . Por tanto, la traza parcial es el equivalente mecánico cuántico de esta operación.