Částečná stopa - Partial trace

Levá strana ukazuje matici plné hustoty bipartitního qubitového systému. Částečná stopa se provádí přes subsystém o rozměru 2 x 2 (matice hustoty jedné qubit). Na pravé straně je výsledná matice se sníženou hustotou 2 x 2 .${\ displaystyle \ rho _ {AB}}$${\ displaystyle \ rho _ {A}}$

V lineární algebře a funkční analýze je částečná stopa zobecněním stopy . Zatímco trasování je na operátorech skalární funkcí, částečné trasování je funkcí s operátorem . Částečná stopa má aplikace v kvantových informacích a dekoherenci, které jsou relevantní pro kvantové měření, a tím i pro dekoherentní přístupy k interpretacím kvantové mechaniky , včetně konzistentních historií a interpretace relativního stavu .

Detaily

Předpokládejme , že jsou to konečně-rozměrné vektorové prostory nad polem , s rozměry a . U každého prostoru pustíte označují prostor lineárních operátorů na . Částečný stopa po , , je mapování ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle L (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W}: \ operatorname {L} (V \ otimes W) \ to \ operatorname {L} (V)}$

${\ displaystyle T \ in \ operatorname {L} (V \ otimes W) \ mapsto \ operatorname {Tr} _ {W} (T) \ in \ operatorname {L} (V)}$

Je definován následovně: let , a , jsou základy pro V a W ; pak T má maticové vyjádření ${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {m}}$${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n}}$

${\ displaystyle \ {a_ {k \ ell, ij} \} \ quad 1 \ leq k, i \ leq m, \ quad 1 \ leq \ ell, j \ leq n}$

vzhledem k základu dne . ${\ displaystyle e_ {k} \ mnohokrát f _ {\ ell}}$${\ displaystyle V \ otimes W}$

Nyní pro indexy k , i v rozsahu 1, ..., m zvažte součet

${\ displaystyle b_ {k, i} = \ součet _ {j = 1} ^ {n} a_ {kj, ij}.}$

To dává matici b _{k , tj} . Přidružený lineární operátor na V je nezávislý na volbě bází a je podle definice částečnou stopou .

U fyziků se tomu často říká „trasování ven“ nebo „trasování přes“ W, aby ponechal pouze operátor na V v kontextu, kde W a V jsou Hilbertovy prostory spojené s kvantovými systémy (viz níže).

Invariantní definice

Operátor částečného trasování lze definovat invariantně (tj. Bez odkazu na základ) takto: jedná se o jedinečný lineární operátor

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W}: \ operatorname {L} (V \ otimes W) \ rightarrow \ operatorname {L} (V)}$

takhle

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W} (R \ otimes S) = R \, \ operatorname {Tr} (S) \ quad \ forall R \ in \ operatorname {L} (V) \ quad \ forall S \ in \ operatorname {L} (W).}$

Vidět, že výše uvedené podmínky stanovení částečné stopu jedinečně, ať tvoří základ pro , ať tvoří základ pro , ať se mapy, který odesílá k (a všechny ostatní plošné prvky na nulu), a nechat je mapa, která posílá na . Protože vektory tvoří základ pro , tvoří mapy základ pro . ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {m}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle w_ {1}, \ ldots, w_ {n}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle E_ {ij} \ dvojtečka V \ až V}$${\ displaystyle v_ {i}}$${\ displaystyle v_ {j}}$${\ displaystyle F_ {kl} \ dvojtečka W \ to W}$${\ displaystyle w_ {k}}$${\ displaystyle w_ {l}}$${\ displaystyle v_ {i} \ krát w_ {k}}$${\ displaystyle V \ otimes W}$${\ displaystyle E_ {ij} \ další F_ {kl}}$${\ displaystyle \ operatorname {L} (V \ otimes W)}$

Z této abstraktní definice vyplývají následující vlastnosti:

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W} (I_ {V \ otimes W}) = \ dim W \ I_ {V}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W} (T (I_ {V} \ otimes S)) = \ operatorname {Tr} _ {W} ((I_ {V} \ otimes S) T) \ quad \ forall S \ in \ operatorname {L} (W) \ quad \ forall T \ in \ operatorname {L} (V \ otimes W).}$

Teoretický pojem kategorie

Je to částečná stopa lineárních transformací, která je předmětem pojmu Joyal, Street a Verity o sledované monoidní kategorii . Sledovaná monoidní kategorie je monoidní kategorie společně s pro objekty X, Y, U v kategorii funkcí Hom-množin, ${\ displaystyle (C, \ otimes, I)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {X, Y} ^ {U} \ colon \ operatorname {Hom} _ {C} (X \ otimes U, Y \ otimes U) \ to \ operatorname {Hom} _ {C } (X, Y)}$

splňující určité axiomy.

Další případ této abstraktní představy o částečné stopě se odehrává v kategorii konečných množin a bijekcí mezi nimi, ve kterých je monoidální součin disjunktní unie. Lze ukázat, že pro jakékoli konečné množiny, X, Y, U a bijekce existuje odpovídající „částečně vysledovaná“ bijekce . ${\ displaystyle X + U \ cong Y + U}$${\ displaystyle X \ cong Y}$

Částečné trasování pro operátory v Hilbertových prostorech

Částečná stopa se zobecňuje na operátory v nekonečných dimenzionálních Hilbertových prostorech. Předpokládejme , že V , W jsou Hilbertovy prostory, a nechť

${\ displaystyle \ {f_ {i} \} _ {i \ v I}}$

být ortonormální báze pro W . Nyní existuje izometrický izomorfismus

${\ displaystyle \ bigoplus _ {\ ell \ in I} (V \ otimes \ mathbb {C} f _ {\ ell}) \ rightarrow V \ otimes W}$

Pod tímto rozkladem lze libovolný operátor považovat za nekonečnou matici operátorů na V${\ displaystyle T \ in \ operatorname {L} (V \ otimes W)}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} T_ {11} & T_ {12} & \ ldots & T_ {1j} & \ ldots \\ T_ {21} & T_ {22} & \ ldots & T_ {2j} & \ ldots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \\ T_ {k1} & T_ {k2} & \ ldots & T_ {kj} & \ ldots \\\ vdots & \ vdots && \ vdots \ end {bmatrix}},}$

kde . ${\ displaystyle T_ {k \ ell} \ v \ operatorname {L} (V)}$

Nejprve předpokládejme, že T je nezáporný operátor. V tomto případě jsou všechny diagonální vstupy z výše uvedené matice jsou non-negativní operátory V . Pokud je součet

${\ displaystyle \ sum _ {\ ell} T _ {\ ell \ ell}}$

konverguje v silném topologii operátor L ( V ), je nezávislý na zvoleném základě W . Částečná stopa Tr _W ( T ) je definována jako tento operátor. Částečná stopa samoadjungujícího operátoru je definována právě tehdy, jsou-li definovány částečné stopy kladné a záporné části.

Výpočet částečné stopy

Předpokládejme, že W má ortonormální základnu, kterou označujeme zápisem vektoru ket jako . Pak ${\ displaystyle \ {| \ ell \ rangle \} _ {\ ell}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {W} \ left (\ sum _ {k, \ ell} T ^ {(k \ ell)} \, \ otimes \, | k \ rangle \ langle \ ell | \ right ) = \ sum _ {j} T ^ {(jj)}.}$

Horní indexy v závorkách nepředstavují maticové komponenty, nýbrž označují samotnou matici.

Částečné trasování a invariantní integrace

V případě konečné dimenze Hilbertových prostorech, je užitečný způsob pohledu na dílčí stopa zahrnující integraci s ohledem na vhodně normalizovaný Haar opatření u Stabilizátory nad jednotným skupiny U ( W ) z W . Vhodně normalizovaná znamená, že μ se považuje za míru s celkovou hmotností dim ( W ).

Věta . Předpokládejme , že V , W jsou konečné trojrozměrné Hilbertovy prostory. Pak

${\ displaystyle \ int _ {\ operatorname {U} (W)} (I_ {V} \ otimes U ^ {*}) T (I_ {V} \ otimes U) \ d \ mu (U)}$

dojíždí se všemi operátory formuláře, a proto je jednoznačně formuláře . Operátor R je dílčí stopa T . ${\ displaystyle I_ {V} \ krát S}$${\ displaystyle R \ otimes I_ {W}}$

Částečná stopa jako kvantová operace

Částečnou stopu lze považovat za kvantovou operaci . Uvažujme kvantově mechanický systém, jehož stavový prostor je tenzorovým součinem Hilbertových prostorů. Smíšený stav je popsán maticí hustoty ρ, což je nezáporný operátor třídy stopy stopy 1 na tenzorovém produktu . Částečná stopa ρ vzhledem k systému B , označená jako , se nazývá redukovaný stav ρ na systémové A . V symbolech, ${\ displaystyle H_ {A} \ krát H_ {B}}$${\ displaystyle H_ {A} \ další H_ {B}.}$${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$

${\ displaystyle \ rho ^ {A} = \ operatorname {Tr} _ {B} \ rho.}$

Abychom ukázali, že je to skutečně rozumný způsob, jak přiřadit stav v subsystému A ρ, nabízíme následující odůvodnění. Nechť M je pozorovatelný na subsystému A , pak odpovídající pozorovatelný na kompozitním systému je . Nicméně jeden se rozhodne definovat omezený stav , měla by existovat konzistence statistik měření. Očekávaná hodnota M po přípravě subsystému A a očekávání , kdy je složený systém připraven v ρ, by měla být stejná, tj. Měla by platit následující rovnost: ${\ displaystyle M \ otimes I}$${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$${\ displaystyle M \ otimes I}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (M \ cdot \ rho ^ {A}) = \ operatorname {Tr} (M \ otimes I \ cdot \ rho).}$

Vidíme, že je to splněno, pokud je definováno výše prostřednictvím částečné stopy. Taková operace je navíc jedinečná. ${\ displaystyle \ rho ^ {A}}$

Nechť T (H) je Banachův prostor provozovatelů stopové prvky na Hilbertově prostoru H . Lze snadno zkontrolovat, zda je částečná stopa zobrazena jako mapa

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B}: T (H_ {A} \ otimes H_ {B}) \ rightarrow T (H_ {A})}$

je zcela pozitivní a chrání stopy.

Částečná trasovací mapa, jak je uvedena výše, indukuje duální mapu mezi C * -algebrami omezených operátorů na a danou ${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B} ^ {*}}$${\ displaystyle \; H_ {A}}$${\ displaystyle H_ {A} \ krát H_ {B}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B} ^ {*} (A) = A \ otimes I.}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B} ^ {*}}$mapuje pozorovatelné objekty na pozorovatelné a je Heisenbergovým obrazovým znázorněním . ${\ displaystyle \ operatorname {Tr} _ {B}}$

Srovnání s klasickým případem

Předpokládejme, že místo kvantově mechanických systémů jsou dva systémy A a B klasické. Prostor pozorovatelnosti pro každý systém jsou pak abelianské C * -algebry. Ty jsou ve tvaru C ( X ) a C ( Y ), v tomto pořadí na malém prostoru X , Y . Stavový prostor kompozitního systému je jednoduše

${\ displaystyle C (X) \ mnohokrát C (Y) = C (X \ krát Y).}$

Stát na kompozitního systému je pozitivní prvek ρ z dvojí C ( X x Y ), který podle Riesz-Markov teorém odpovídá pravidelné opatření Borel o X x Y . Odpovídající Stav snížené se získá promítnutím měr p na X . Částečná stopa je tedy kvantově mechanickým ekvivalentem této operace.