Modul injectiv - Injective module

În matematică , în special în zona de algebra abstractă cunoscut sub numele de teoria modulelor , un modul injectiv este un modul Q , care conține anumite proprietăți dorite cu Z -modul Q tuturor numerelor raționale . Mai exact, dacă Q este un submodul al altui modul, atunci este deja un sumand direct al acelui modul; De asemenea, având în vedere un submodul al unui modul Y , atunci orice homomorfism modulul din acest submodul la Q poate fi extins la un homomorfism din toate Y la Q . Acest concept este dual cu cel al modulelor proiective . Modulele injective au fost introduse în ( Baer 1940 ) și sunt discutate în detaliu în manual ( Lam 1999 , §3).

Modulele injective au fost studiate intens și o varietate de noțiuni suplimentare sunt definite în funcție de ele: cogeneratorii injectivi sunt module injective care reprezintă fidel întreaga categorie de module. Rezoluțiile injective măsoară cât de departe de modul injectiv este un modul în ceea ce privește dimensiunea injectivă și reprezintă module din categoria derivată . Corpurile injective sunt extensii esențiale maxime și se dovedesc a fi extensii injectabile minime. Peste un inel Noetherian , fiecare modul injectiv este în mod unic o sumă directă de module indecompozibile , iar structura lor este bine înțeleasă. Un modul injectiv peste un inel, poate să nu fie injectiv peste altul, dar există metode bine înțelese de schimbare a inelelor care se ocupă de cazuri speciale. Inelele care sunt ele însele module injective au o serie de proprietăți interesante și includ inele, cum ar fi inele de grup de grupuri finite peste câmpuri . Modulele injective includ grupuri divizibile și sunt generalizate prin noțiunea de obiecte injective din teoria categoriilor .

Definiție

Un modul stâng Q peste inelul R este injectiv dacă îndeplinește una (și, prin urmare, toate) dintre următoarele condiții echivalente:

Dacă Q este un submodul al altui R -modul M stâng , atunci există un alt submodul K al lui M astfel încât M este suma internă directă a lui Q și K , adică Q + K = M și Q ∩ K = {0}.
Orice secvență exactă scurtă 0 → Q → M → K → 0 a modulelor R stânga se împarte .
Dacă X și Y rămân module R , f : X → Y este un omomorfism modul injectiv și g : X → Q este un omomorfism modul arbitrar, atunci există un omomorfism modul h : Y → Q astfel încât hf = g , adică astfel încât următoarea diagramă să comute :

Contravariant Hom functorului Hom (-, Q ) din categoria de stânga R -modulelor la categoria grupurilor abeliene este exact .

Modulele R injectabile drept sunt definite în analogie completă.

Exemple

Primele exemple

În mod trivial, modulul zero {0} este injectiv.

Dat fiind un câmp k , fiecare k - spațiu vectorial Q este un modul k injectiv . Motivul: în cazul în care Q este un subspațiu de V , putem găsi o bază de Q și extindă la o bază de V . Noile se extind vectorii de bază cuprind un subspațiu K al V și V este suma directă internă Q și K . Rețineți că complementul direct K al Q nu este determinat în mod unic de Q și, de asemenea, harta extinsă h din definiția de mai sus nu este de obicei unică.

Raționalele Q (cu adaos) formează un grup abelian injectiv (adică un modul Z injectiv ). Grupul de factori Q / Z și grupul de cercuri sunt, de asemenea, modulele Z injective . Grupul factorial Z / n Z pentru n > 1 este injectiv ca un modul Z / n Z , dar nu injectiv ca un grup abelian.

Exemple comutative

Mai general, pentru orice domeniu integral R cu domeniul fracțiilor K , R -modul K este un injectivă R -modul, și într - adevăr cel mai mic injectivă R -modul conținând R . Pentru orice domeniu Dedekind , modulul coeficient K / R este, de asemenea, injectiv, iar sumandele sale indecomponibile sunt localizările idealurilor prime nenule . Idealul zero , este , de asemenea , prim și corespunde injectivă K . În acest fel, există o corespondență 1-1 între idealurile prime și modulele injectabile indecomponibile. ${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}} / R}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

O teorie deosebit de bogată este disponibilă pentru inelele noetheriene comutative datorate lui Eben Matlis , ( Lam 1999 , §3I). Fiecare modul injectiv este în mod unic o sumă directă de module injectabile indecomponibile, iar modulele injectabile indecomponibile sunt identificate în mod unic drept corpurile injective ale coeficienților R / P unde P variază în spectrul principal al inelului. Carena injectivă R / P ca R -modul este canonicește un R _P modul, și este R _P coca -injective de R / P . Cu alte cuvinte, este suficient să luăm în considerare inelele locale . Inelul endomorphism al cocii injectivă R / P este completarea lui R la P . ${\ displaystyle {\ hat {R}} _ {P}}$

Două exemple sunt coca injectivă a Z -modul Z / p Z ( grupul Prüfer ), iar coca injectivă a k [ x ] -modul k (inelul polinoamelor inverse). Acesta din urmă este ușor descris ca k [ x , x ⁻¹ ] / xk [ x ]. Acest modul are o bază constând din „monomii inversi”, adică x ^{- n} pentru n = 0, 1, 2,…. Înmulțirea cu scalari este așa cum era de așteptat, iar înmulțirea cu x se comportă normal, cu excepția faptului că x · 1 = 0. Inelul de endomorfism este pur și simplu inelul seriilor formale de putere .

Exemple artiniene

Dacă G este un grup finit și k un câmp cu caracteristica 0, atunci se arată în teoria reprezentărilor de grup că orice subreprezentare a unui dat este deja un sumand direct al celui dat. Tradus în limbajul modulului, aceasta înseamnă că toate modulele din algebra de grup kG sunt injective. Dacă caracteristica lui k nu este zero, următorul exemplu vă poate ajuta.

Dacă A este o algebră asociativă unitară peste câmpul k cu dimensiune finită peste k , atunci Hom _k (-, k ) este o dualitate între modulele A stânga finit generate și modulele A dreapta finit generate . Prin urmare, modulele A stânga injective finit generate sunt tocmai modulele formei Hom _k ( P , k ) unde P este un modul A proiectiv drept generat finit . Pentru algebrele simetrice , dualitatea este deosebit de bine comportată și modulele proiective și modulele injective coincid.

Pentru orice inel Artinian , la fel ca pentru inelele comutative , există o corespondență 1-1 între idealuri prime și module injectabile indescompozibile. Corespondența în acest caz este poate și mai simplă: un ideal primar este un anihilator al unui modul simplu unic, iar modulul injectiv corespunzător indecompozibil este carena sa injectivă . Pentru algebre cu dimensiuni finite peste câmpuri, aceste corpuri injective sunt module generate finit ( Lam 1999 , §3G, §3J).

Calculul corpurilor injective

Dacă este un inel noetherian și este un ideal principal, setați-o ca carenă injectivă. Coca injectivă de peste inelul Artinian poate fi calculată ca modul . Este un modul de aceeași lungime ca și . În special, pentru inelul gradat standard și , este un modul injectiv, oferind instrumentele pentru calcularea modulelor injective indecomponibile pentru inele artiniene . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle E = E (R / {\ mathfrak {p}})}$ ${\ displaystyle R / {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle R / {\ mathfrak {p}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle (0: _ {E} {\ mathfrak {p}} ^ {k})}$ ${\ displaystyle R / {\ mathfrak {p}} ^ {k}}$ ${\ displaystyle R _ {\ bullet} = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle E = \ oplus _ {i} {\ text {Hom}} (R_ {i}, k)}$ ${\ displaystyle k}$

Autoinjectivitatea

Un inel local Artin este injectiv peste el însuși dacă și numai dacă se termină un spațiu vectorial 1-dimensional . Acest lucru implică fiecare inel local Gorenstein, care este, de asemenea, Artin, este injectiv peste el însuși, deoarece are un soclu 1-dimensional. Un non-exemplu simplu este inelul care are un câmp ideal ideal și rezidual . Soclul său este , care este bidimensional. Câmpul de reziduuri are carena injectivă . ${\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}}, K)}$ ${\ displaystyle soc (R)}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle R = \ mathbb {C} [x, y] / (x ^ {2}, xy, y ^ {2})}$ ${\ displaystyle (x, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cdot x \ oplus \ mathbb {C} \ cdot y}$ ${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {\ mathbb {C}} (\ mathbb {C} \ cdot x \ oplus \ mathbb {C} \ cdot y, \ mathbb {C})}$

Module peste algebre Lie

Pentru o algebră Lie peste un câmp cu caracteristica 0, categoria modulelor are o descriere relativ simplă a modulelor sale injective. Folosind algebra de învăluire universală, orice -modul injectiv poate fi construit din -modul ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ({\ mathfrak {g}})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {k} (U ({\ mathfrak {g}}), V)}$

pentru un spațiu de -vector . Rețineți că acest spațiu vectorial are o structură -modulă din injecție ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ hookrightarrow U ({\ mathfrak {g}})}$

De fapt, fiecare -modul are o injecție în unele și fiecare -modul injectiv este un rezumat direct al unora . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {k} (U ({\ mathfrak {g}}), V)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {k} (U ({\ mathfrak {g}}), V)}$

Teorie

Teorema structurii pentru inelele noetheriene comutative

Peste un inel noetherian comutativ , fiecare modul injectiv este o sumă directă de module injectabile indecomponibile și fiecare modul injectiv indecompozibil este carena injectivă a câmpului de reziduuri la o primă . Adică, pentru o injecție , există un izomorfism ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle I \ in {\ text {Mod}} (R)}$

${\ displaystyle I \ cong \ bigoplus _ {i} E (R / {\ mathfrak {p}} _ {i})}$

unde sunt corpurile injective ale modulelor . În plus, dacă este corpul injectiv al unui modul, atunci sunt primele asociate . ${\ displaystyle E (R / {\ mathfrak {p}} _ {i})}$ ${\ displaystyle R / {\ mathfrak {p}} _ {i}}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$ ${\ displaystyle M}$

Submodule, coeficienți, produse și sume

Orice produs din (chiar infinit de multe) module injective este injectiv; dimpotrivă, dacă un produs direct al modulelor este injectiv, atunci fiecare modul este injectiv ( Lam 1999 , p. 61). Fiecare sumă directă de multe module injective finite este injectivă. În general, submodulele, modulele de factori sau sumele directe infinite de module injective nu trebuie să fie injective. Fiecare submodul al fiecărui modul injectiv este injectiv dacă și numai dacă inelul este semisimplu artinian ( Golan și Head 1991 , p. 152); fiecare modul factor al fiecărui modul injectiv este injectiv dacă și numai dacă inelul este ereditar ( Lam 1999 , Th. 3.22); fiecare sumă directă infinită de module injective este injectivă dacă și numai dacă inelul este noetherian , ( Lam 1999 , Th 3.46).

Criteriul lui Baer

În lucrarea originală a lui Baer, el s-a dovedit a fi un rezultat util, de obicei cunoscut sub numele de Criteriul lui Baer, pentru a verifica dacă un modul este injectiv: un R- modul stâng Q este injectiv dacă și numai dacă există un omomorfism g : I → Q definit pe un ideal stâng I din R poate fi extins la toate R .

Folosind acest criteriu, se poate arăta că Q este un grup abelian injectiv (adică un modul injectiv peste Z ). Mai general, un grup abelian este injectiv dacă și numai dacă este divizibil . Mai general, încă: un modul peste un domeniu ideal principal este injectiv dacă și numai dacă este divizibil (cazul spațiilor vectoriale este un exemplu al acestei teoreme, deoarece fiecare câmp este un domeniu ideal principal și fiecare spațiu vector este divizibil). Peste un domeniu integral general, avem încă o implicație: fiecare modul injectiv dintr-un domeniu integral este divizibil.

Criteriul lui Baer a fost rafinat în multe feluri ( Golan & Cap 1991 , p. 119), inclusiv rezultatul ( Smith 1981 ) și ( Vamos 1983 ) , care pentru un inel noetheriene comutativ, este suficient să se ia în considerare doar idealurile prime I . Dualul criteriului Baer, care ar da un test pentru proiectivitate, este fals în general. De exemplu, modulul Z Q satisface dualul criteriului Baer, dar nu este proiectiv.

Cogeneratori injectivi

Poate cel mai important modul injectiv este grup abelian Q / Z . Este o Cogeneratoruldeacesttipprezintăurmătoareleavantaje injectiv în categoria grupurilor abeliene , ceea ce înseamnă că este injectivă și orice alt modul este conținută într - un produs potrivit de mare de copii ale Q / Z . Deci, în special, fiecare grup abelian este un subgrup al unui injectiv. Este destul de semnificativ faptul că acest lucru este valabil și în cazul oricărui inel: fiecare modul este un submodul al unui injectiv sau „categoria modulelor R stânga are destule injectabile”. Pentru a demonstra acest lucru, se utilizează proprietățile specifice grupului abelian Q / Z pentru a construi un cogenerator injectiv în categoria modulelor R stânga .

Pentru un modul R stâng M , așa-numitul „modul caracter” M ⁺ = Hom _Z ( M , Q / Z ) este un modul R drept care prezintă o dualitate interesantă, nu între modulele injective și modulele proiective , ci între module injective și module plate ( Enochs și Jenda 2001 , pp. 78–80) . Pentru orice inel R , un modul R stâng este plat dacă și numai dacă modulul său de caracter este injectiv. Dacă R este lăsat noetherian, atunci un modul R- stâng este injectiv dacă și numai dacă modulul său de caracter este plat.

Corpuri injective

Corpul injectiv al unui modul este cel mai mic modul injectiv conținând cel dat și a fost descris în ( Eckmann & Shopf 1953 ) .

Se poate folosi carenele injectabile pentru a defini o rezoluție injectivă minimă (vezi mai jos). Dacă fiecare termen al rezoluției injective este corpul injectiv al cocernelului hărții anterioare, atunci rezoluția injectivă are o lungime minimă.

Rezoluții injective

Fiecare modul M are, de asemenea, o rezoluție injectivă : o secvență exactă a formularului

0 → M → I ⁰ → I ¹ → I ² → ...

unde I ^j sunt module injective. Rezoluțiile injective pot fi folosite pentru a defini funcții derivate, cum ar fi funcția Ext .

Lungimea unei rezoluții injectivă finită este primul indice n , astfel încât eu ⁿ este nenul și eu ⁱ = 0 pentru i mai mare decât n . Dacă un modul M admite o rezoluție injectivă finită, lungimea minimă dintre toate rezoluțiile injective finite ale lui M se numește dimensiunea sa injectivă și se indică id ( M ). Dacă M nu admite o rezoluție injectivă finită, atunci prin convenție se spune că dimensiunea injectivă este infinită. ( Lam 1999 , §5C) De exemplu, considerați un modul M astfel încât id ( M ) = 0. În această situație, exactitatea secvenței 0 → M → I ₀ → 0 indică faptul că săgeata din centru este o izomorfism și, prin urmare, M în sine este injectiv.

În mod echivalent, dimensiunea injectivă a lui M este numărul întreg minim (dacă există, altfel ∞) n astfel încât Ext^N
_A(-, M ) = 0 pentru toate N > n .

Indecomponibile

Fiecare submodul injectiv al unui modul injectiv este un sumand direct, deci este important să înțelegem modulele injectabile indecompozibile ( Lam 1999 , §3F).

Fiecare modul injectiv indecomponibil are un inel de endomorfism local . Un modul se numește modul uniform dacă fiecare două submodule diferite de zero au intersecție diferită de zero. Pentru un modul injectiv M , următoarele sunt echivalente:

M este indecomponibil
M este diferit de zero și este corpul injectiv al fiecărui submodul diferit de zero
M este uniform
M este corpul injectiv al unui modul uniform
M este corpul injectiv al unui modul ciclic uniform
M are un inel de endomorfism local

Peste un inel noetherian, fiecare modul injectiv este suma directă a modulelor injectabile indecompozibile (determinate în mod unic). Peste un inel noetherian comutativ, acest lucru oferă o înțelegere deosebit de frumoasă a tuturor modulelor injectabile, descrise în ( Matlis 1958 ). Cele indecompozabil Modulele injective sunt corpurile injective ale modulelor R / p pentru p un ideal prim al inelului R . Mai mult decât atât, corpul injectiv M al R / p are o filtrare crescândă de către modulele M _n date de anihilatorii idealurilor p ⁿ , iar M _{n +1} / M _n este izomorf ca spațiu vectorial cu dimensiune finită peste câmpul k () p ) de la R / p la Hom _{R / p} ( p ⁿ / p ^{n +1} , k ( p )).

Schimbarea inelelor

Este important să puteți lua în considerare modulele peste subineluri sau inele coeficiente , în special de exemplu inelele polinomiale . În general, acest lucru este dificil, dar sunt cunoscute o serie de rezultate ( Lam 1999 , p. 62).

Fie S și R inele, iar P un bimodul stânga- R , dreapta- S care este plat ca un modul stânga- R . Pentru orice modul S injectiv drept M , setul de omomorfisme ale modulului Hom _S ( P , M ) este un modul R injectiv drept . De exemplu, dacă R este un subinel al lui S astfel încât S este un modul R plat , atunci fiecare S- modul injectiv este un modul R injectiv . În special, dacă R este un domeniu integral și S câmpul său de fracții , atunci fiecare spațiu vectorial peste S este un modul R injectiv . În mod similar, fiecare modul R [ x ] injectiv este un modul R injectiv .

Pentru inelele coeficiente R / I , schimbarea inelelor este, de asemenea, foarte clară. O R -modul este un R / I -modul exact când este anihilat de I . Submodulul ann _I ( M ) = { m în M : im = 0 pentru toți i în I } este un submodul stânga al stânga R -modul M , și este cel mai mare submodulul de M , care este un R / I -Modulul. Dacă M este un modul R stâng injectiv , atunci ann _I ( M ) este un modul R / I stâng injectiv . Aplicând acest lucru la R = Z , I = n Z și M = Q / Z , se obține faptul că Z / n Z este injectiv ca un modul peste sine. Deși este ușor de a converti injective R -modulelor în injective R / I -modulelor, acest proces nu convertește injective R -rezoluții în injective R / I -rezoluții, și omologia complexul rezultat este unul dintre domeniile timpurii și fundamentale de studiu al algebrei omologice relative.

Manualul ( Rotman 1979 , p. 103) are o dovadă eronată că localizarea păstrează injectivele, dar un contraexemplu a fost dat în ( Dade 1981 ).

Inele autoinjective

Fiecare inel cu unitate este un modul liber și, prin urmare, este un proiectiv ca modul peste sine, dar este mai rar ca un inel să fie injectiv ca modul peste sine, ( Lam 1999 , §3B). Dacă un inel este injectabil peste sine ca un modul potrivit, atunci se numește inel drept auto-injectiv . Fiecare algebră Frobenius este autoinjectivă, dar niciun domeniu integral care nu este un câmp este autoinjectiv. Fiecare cotient adecvat al unui domeniu Dedekind este autoinjectiv.

Un inel drept noetherian , autoinjectiv drept, se numește inel cvasi-Frobenius și este injectiv cu două fețe Artinian și cu două fețe, ( Lam 1999 , Th. 15.1). O proprietate teoretică importantă a modulului inelelor cvasi-Frobenius este că modulele proiective sunt exact modulele injective.

Generalizări și specializări

Obiecte injective

Se vorbește, de asemenea, despre obiecte injective în categorii mai generale decât categorii de module, de exemplu în categorii de funcționare sau în categorii de snopi de O _X -module peste un spațiu inelat ( X , O _X ). Se utilizează următoarea definiție generală: un obiect Q din categoria C este injectiv dacă pentru orice monomorfism f : X → Y în C și orice morfism g : X → Q există un morfism h : Y → Q cu hf = g .

Grupuri divizibile

Noțiunea de obiect injectiv din categoria grupurilor abeliene a fost studiată oarecum independent de modulele injective sub termenul grup divizibil . Aici un modul Z- M este injectiv dacă și numai dacă n ⋅ M = M pentru fiecare număr întreg n zero . Aici relațiile dintre modulele plate , submodulele pure și modulele injective sunt mai clare, întrucât se referă pur și simplu la anumite proprietăți de divizibilitate a elementelor modulului prin numere întregi.

Injective pure

În algebra omologică relativă, proprietatea de extensie a homomorfismelor poate fi cerută doar pentru anumite submodule, mai degrabă decât pentru toate. De exemplu, un modul injectiv pur este un modul în care un homomorfism dintr-un submodul pur poate fi extins la întregul modul.

Referințe

Note

Manuale

Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992), Inele și categorii de module , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1, recuperat la 30 iulie 2016
Enochs, Edgar E .; Jenda, Overtoun MG (2000), Algebra omologică relativă , de Gruyter Expositions in Mathematics, 30 , Berlin: Walter de Gruyter & Co., doi : 10.1515 / 9783110803662 , ISBN 978-3-11-016633-0, MR 1753146
Golan, Jonathan S .; Head, Tom (1991), Module și structura inelelor , monografii și manuale în matematică pură și aplicată, 147 , Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8555-0, MR 1201818
Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
Rotman, Joseph J. (1979), O introducere la algebră homologică , matematică pură și aplicată, 85 , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-599250-3, MR 0538169

Surse primare

Baer, Reinhold (1940), „Grupuri abeliene care sunt sumele directe ale fiecărui grup abelian care conține”, Buletinul Societății Americane de Matematică , 46 (10): 800–807, doi : 10.1090 / S0002-9904-1940-07306-9 , MR 0002886 , Zbl 0024.14902
Chase, Stephen U. (1960), „Produse directe de module”, Tranzacțiile Societății Americane de Matematică, Societatea Americană de Matematică, Vol. 97, nr. 3, 97 (3): 457–473, doi : 10.2307 / 1993382 , JSTOR 1993382 , MR 0120260
Dade, Everett C. (1981), „Localization of injective modules”, Journal of Algebra , 69 (2): 416–425, doi : 10.1016 / 0021-8693 (81) 90213-1 , MR 0617087
Eckmann, B .; Schopf, A. (1953), "Über injektive Moduln", Archiv der Mathematik , 4 (2): 75–78, doi : 10.1007 / BF01899665 , MR 0055978
Lambek, Joachim (1963), „Pe inelul de coeficienți al lui Utumi” , Canadian Journal of Mathematics , 15 : 363-370, doi : 10.4153 / CJM-1963-041-4 , ISSN 0008-414X , MR 0147509
Matlis, Eben (1958), "Injective modules over Noetherian rings", Pacific Journal of Mathematics , 8 : 511-528, doi : 10.2140 / pjm.1958.8.511 , ISSN 0030-8730 , MR 0099360
Osofsky, BL (1964), „On ring properties of injective hulls”, Canadian Mathematical Bulletin , 7 : 405–413, doi : 10.4153 / CMB-1964-039-3 , ISSN 0008-4395 , MR 0166227
Papp, Zoltán (1959), „On algebraically closed modules”, Publicationes Mathematicae Debrecen , 6 : 311-327, ISSN 0033-3883 , MR 0121390
Smith, PF (1981), „Injective modules and prime ideals”, Communications in Algebra , 9 (9): 989–999, doi : 10.1080 / 00927878108822627 , MR 0614468
Utumi, Yuzo (1956), „On quotient rings”, Osaka Journal of Mathematics , 8 : 1–18, ISSN 0030-6126 , MR 0078966
Vámos, P. (1983), „Ideals and modules testing injectivity”, Communications in Algebra , 11 (22): 2495–2505, doi : 10.1080 / 00927878308822975 , MR 0733337

Languages

In other projects