Injektiomoduuli - Injective module

On matematiikka , erityisesti alueella abstraktin algebran tunnetaan moduuli teoria , injektiivinen moduuli on moduuli Q , joka jakaa tiettyjä haluttuja ominaisuuksia kanssa Z -moduulista Q kaikki rationaalilukuja . Erityisesti, jos Q on jonkin toisen moduulin alimoduuli , se on jo kyseisen moduulin suora summa ; myös, kun otetaan huomioon moduulin Y alimoduuli , mikä tahansa moduulin homomorfismi tästä alimoduulista Q: ksi voidaan laajentaa homomorfismiksi kaikesta Y: stä Q: een . Tämä käsite on kaksi kuin projektiivinen moduuleja . Injektiiviset moduulit otettiin käyttöön vuonna ( Baer 1940 ) ja niitä käsitellään yksityiskohtaisesti oppikirjassa ( Lam 1999 , §3).

Injektiivimoduuleja on tutkittu paljon, ja niiden perusteella määritellään useita muita käsitteitä: Injektiiviset yhteistuottajat ovat injektiomoduuleja, jotka edustavat uskollisesti koko moduuliluokkaa. Injektiiviset resoluutiot mittaavat, kuinka kaukana injektiosta moduuli on injektiivisen ulottuvuuden kannalta ja edustavat johdettuja luokan moduuleja . Injektiorungot ovat maksimaalisia välttämättömiä laajennuksia , ja ne osoittautuvat vähäisiksi injektiopidennyksiksi. Noetherin renkaan yli jokainen injektiomoduuli on ainutlaatuinen hajoamattomien moduulien suora summa , ja niiden rakenne ymmärretään hyvin. Injektiomoduuli yhden renkaan yläpuolella ei välttämättä ole injektiokuiva toisen päälle, mutta on olemassa hyvin ymmärrettyjä menetelmiä renkaiden vaihtamiseksi, jotka käsittelevät erikoistapauksia. Renkaita, jotka ovat itse injektio moduulit on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia, ja ne sisältävät renkaat, kuten ryhmä renkaat on rajallinen ryhmien yli kentät . Injective moduulit ovat jaettavissa ryhmiä ja yleistetään käsite injective esineiden sisään luokkaan teoriassa .

Määritelmä

Vasemmalle moduuli Q yli rengas R on injektio, jos se täyttää yhden (ja sen vuoksi kaikki) seuraavista vastaavia ehtoja:

Jos Q on submodule jonkin muun vasemman R -moduulista M , niin on olemassa toinen alimoduuli K on M , niin että M on sisäinen suora summa on Q ja K , eli Q + K = M ja Q ∩ K = {0}.
Mikä tahansa lyhyt tarkka sekvenssi 0 → Q → M → K → 0 vasemman R -moduulin halkeamista .
Jos X ja Y jätetään R -moduuleiksi, f : X → Y on injektiomoduulin homomorfismi ja g : X → Q on mielivaltainen moduulihomomorfismi, silloin on olemassa moduulin homomorfismi h : Y → Q niin, että hf = g , ts. niin, että seuraava kaavio liikkuu :

Contravariant Hom functor Hom (-, Q ) pois luokka vasemman R -modules luokkaan Abelin ryhmä on tarkka .

Injektiivioikeuden R -moduulit määritellään täydellisesti.

Esimerkkejä

Ensimmäiset esimerkit

Triviaalisesti nollamoduuli {0} on injektiivinen.

Annetaan kenttä k , joka k - vektori tila Q on injektio k -moduulista. Syy: jos Q on aliavaruus V , voimme löytää perusta on Q ja laajentaa sitä pohjana V . Uudet laajenevat kantavektorit kattavat aliavaruuden K, jossa V ja V on Q: n ja K: n sisäinen suora summa . Huomaa, että suora komplementti K ja Q ei ole määritelty yksilöllisesti Q , ja samoin ulottuvat kartta h edellä olevassa määritelmässä ei tyypillisesti ole ainutlaatuinen.

Järkeilijät Q (lisäyksellä) muodostavat injektiivisen abelilaisen ryhmän (eli injektiivisen Z -moduulin). Tekijä ryhmä Q / Z ja ympyrän ryhmä ovat myös injektio, Z -modules. Tekijä ryhmä Z / n Z ja n > 1 on injektiivinen kuin Z / n Z -moduulista, mutta ei injektio kuin Abelin ryhmä.

Kommutatiivisia esimerkkejä

Yleisemmin, mikä tahansa kokonaisalue R kanssa alalla fraktioiden K , R -moduulista K on injektiivinen R -moduulista, ja todellakin pienin injektio R -moduulista sisältävät R . Mistään Dedekind verkkotunnuksen , The osamäärä moduuli K / R on myös injektiivinen, ja sen indecomposable summands ovat lokalisoinnit varten nonzero alkuideaali . Nolla ihanteellinen on myös alkuluku ja vastaa injektio K . Tällä tavalla ensisijaisten ihanteiden ja hajoamattomien injektiomoduulien välillä on 1-1 vastaavuus. ${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}/R}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

Erityisen rikas teoria on saatavilla kommutatiivinen noetherin rengas johtuu Eben Matlis , ( Lam 1999 , §3I). Jokainen injektio moduuli on ainutlaatuinen suora summa indecomposable injective moduuleja, ja indecomposable injektio moduulit yksilöidä, koska injektio runkojen osamäärät R / P , jossa P vaihtelee yli prime spektri renkaan. Injektiivinen rungon R / P kuin R -moduulista on kanonisesti R _P -moduuli, ja se on R- _P -injective rungon R / P . Toisin sanoen riittää harkita paikallisia renkaita . Endomorphism rengas on injektio rungon R / P on loppuun ja R on P . ${\ displaystyle {\ hat {R}} _ {P}}$

Kaksi esimerkkiä ovat Z -moduulin Z / p Z ( Prüfer -ryhmä ) injektoiva runko ja k [ x ] -moduulin k injektoiva runko (käänteisten polynomien rengas). Jälkimmäistä voidaan helposti kuvata muodossa k [ x , x ⁻¹ ]/ xk [ x ]. Tämän moduulin perusta koostuu "käänteismonomeista", eli x ^{- n,} kun n = 0, 1, 2,…. Kertominen skalaareilla on odotettua, ja x -kertomus toimii normaalisti, paitsi että x · 1 = 0. Endomorfismirengas on yksinkertaisesti muodollisen tehosarjan rengas .

Artistisia esimerkkejä

Jos G on äärellinen ryhmä ja k kentän ominaisuuden 0, sitten yksi esittää teorian ryhmän esitys että subrepresentation tietyn yksi on jo suoraan yhteenlaskettava annettujen yksi. Moduulikielelle käännettynä tämä tarkoittaa, että kaikki ryhmän algebran kG moduulit ovat injektiivisiä. Jos k: n ominaisuus ei ole nolla, seuraava esimerkki voi auttaa.

Jos A on yhdistämätön assosiatiivinen algebra kenttään k, jonka rajallinen ulottuvuus on yli k , niin Hom _k ( -, k ) on kaksinaisuus äärellisesti muodostettujen vasemman A -moduulien ja äärellisesti muodostettujen oikeiden A -moduulien välillä. Siksi äärellisesti muodostetut ruiskutettavat vasemmanpuoleiset A -moduulit ovat juuri sellaisia moduuleja, jotka ovat muotoa Hom _k ( P , k ), jossa P on äärellisesti muodostettu projektiivinen oikea A -moduuli. Ja symmetrinen algebras , kaksijakoisen on erityisen hyvin käyttäytyviä ja projektiivisia moduulit ja injektio moduulit sama.

Kaikille Artinian renkaille , aivan kuten kommutatiivisille renkaille , on 1-1 vastaavuus ensisijaisten ihanteiden ja hajoamattomien injektiomoduulien välillä. Kirjeenvaihto tässä tapauksessa on ehkä jopa yksinkertaisempaa: ensisijainen ideaali on ainutlaatuisen yksinkertaisen moduulin tuhoaja, ja vastaava hajoamaton injektiomoduuli on sen injektiorunko . Rajallisten ulottuvuuksien algebroille pelloilla, nämä ruiskutusrungot ovat rajallisesti luotuja moduuleja ( Lam 1999 , §3G, §3J).

Injektiivirunkojen laskeminen

Jos on Noetherian -rengas ja se on ensisijainen ideaali, aseta ruiskutusrungoksi. Injektiivinen rungon yli Artinian rengas voidaan laskea moduuli . Se on samanpituinen moduuli kuin . Erityisesti standardin lajitellun rengas ja , on injektiivinen moduuli, jolloin työkalut laskemaan indecomposable injective moduulit artinian renkaat yli . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle E = E (R/{\ mathfrak {p}})}$ ${\ displaystyle R/{\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle R/{\ mathfrak {p}}^{k}}$ ${\ displaystyle (0: _ {E} {\ mathfrak {p}}^{k})}$ ${\ displaystyle R/{\ mathfrak {p}}^{k}}$ ${\ displaystyle R _ {\ bullet} = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n})}$ ${\ displaystyle E = \ oplus _ {i} {\ text {Hom}} (R_ {i}, k)}$ ${\ displaystyle k}$

Itsesuihkutus

Artinin paikallinen rengas on injektiivinen itsensä päälle silloin ja vain, jos 1-ulotteinen vektoriavaruus on ohi . Tämä tarkoittaa, että jokainen paikallinen Gorenstein-rengas, joka on myös Artin, on injektiivinen itsensä päälle, koska sillä on 1-ulotteinen pohja. Yksinkertainen ei-esimerkki on rengas, jolla on maksimaalinen ideaali- ja jäämäkenttä . Sen pohja on 2-ulotteinen. Jäännöskentässä on ruiskutusrunko . ${\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}}, K)}$ ${\ displaystyle soc (R)}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle R = \ mathbb {C} [x, y]/(x^{2}, xy, y^{2})}$ ${\ displaystyle (x, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cdot x \ oplus \ mathbb {C} \ cdot y}$ ${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {\ mathbb {C}} (\ mathbb {C} \ cdot x \ oplus \ mathbb {C} \ cdot y, \ mathbb {C})}$

Moduulit Lie algebrasin yli

Jos Lie algebra on ominaisuus 0 -kentän yläpuolella , moduuliluokalla on suhteellisen suora kuvaus sen injektiomoduuleista. Käyttämällä universaalia ympäröivää algebraa voidaan mikä tahansa injektiomoduuli rakentaa -moduulista ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ({\ mathfrak {g}})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {k} (U ({\ mathfrak {g}}), V)}$

jonkin verran vektoritilaa varten . Huomaa, että tällä vektorialueella on -moduulirakenne injektiosta ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ hookrightarrow U ({\ mathfrak {g}})}$

Itse asiassa jokaisessa moduulissa on injektio joihinkin ja jokainen injektiomoduuli on suora yhteenveto joistakin . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {k} (U ({\ mathfrak {g}}), V)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {k} (U ({\ mathfrak {g}}), V)}$

Teoria

Rakennelause kommutatiivisille Noetherin renkaille

Kommutatiivisen Noetherin renkaan yli jokainen injektiomoduuli on suora määrä hajoamattomia ruiskutusmoduuleja ja jokainen hajoamaton injektiomoduuli on jäännöskentän ruiskutusrunko alkuvaiheessa . Toisin sanoen injektiona on isomorfismi ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle I \ in {\ text {Mod}} (R)}$

${\ displaystyle I \ cong \ bigoplus _ {i} E (R/{\ mathfrak {p}} _ {i})}$

missä ovat moduulien ruiskutusrungot . Lisäksi, jos on injektiivinen rungon joidenkin moduulien sitten ovat liittyy alkulukuja ja . ${\ displaystyle E (R/{\ mathfrak {p}} _ {i})}$ ${\ displaystyle R/{\ mathfrak {p}} _ {i}}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$ ${\ displaystyle M}$

Alamoduuleja, osamääriä, tuotteita ja summia

Mikä tahansa tuote on (jopa äärettömän monta) injektio moduulit on injektio; päinvastoin, jos moduulien suora tuote on injektiivinen, jokainen moduuli on injektiivinen ( Lam 1999 , s. 61). Jokainen rajattomasti monien injektiomoduulien suora summa on injektiivinen. Yleensä alimoduulien, tekijämoduulien tai loputtomien injektiomoduulien summien ei tarvitse olla injektiivisia. Jokaisen injektiomoduulin jokainen alimoduuli on injektiivinen silloin ja vain, jos rengas on Artinian puolisimple ( Golan & Head 1991 , s. 152); jokaisen injektiomoduulin jokainen tekijämoduuli on injektiivinen silloin ja vain, jos rengas on perinnöllinen ( Lam 1999 , Th. 3.22); jokainen ääretön suora injektiomoduulien summa on injektiivinen silloin ja vain, jos rengas on Noetherian ( Lam 1999 , Th 3.46).

Baerin kriteeri

Baerin alkuperäisessä paperissa hän osoittautui hyödylliseksi tulokseksi, joka tunnetaan yleensä nimellä Baerin kriteeri, sen tarkistamiseksi, onko moduuli injektiivinen: vasen R -moduuli Q on injektiivinen vain ja vain, jos homomorfismi g : I → Q määritetään vasemmassa ihanteessa I of R voidaan laajentaa kaikkiin R: iin .

Käyttämällä tätä kriteeriä voidaan osoittaa, että Q on injektiivinen abelilainen ryhmä (eli injektiomoduuli Z: n yläpuolella ). Yleisemmin Abelin ryhmä on injektiivinen silloin ja vain, jos se on jaollinen . Vielä yleisemmin: moduulin päälle pääasiallinen ihanteellinen verkkotunnuksen on injektio, jos ja vain jos se on jaollinen (tapauksessa vektoriavaruuksia on esimerkki tästä lauseen, koska jokainen kenttä on pääasiallinen ihanteellinen verkkotunnuksen ja jokainen vektoriavaruus on jaollinen). Yleisellä integraalialueella meillä on edelleen yksi seuraus: jokainen integraalimoduuli integraalialueella on jaettavissa.

Baer kriteeriä on puhdistettu monin tavoin ( Golan & Head 1991 , s. 119), mukaan lukien seurauksena ( Smith 1981 ) ja ( Vamos 1983 ) että vaihdannainen noetherin rengas, kun pohtii vain alkuideaali minä . Baerin kriteerin kaksoiskappale, joka antaisi testin projektiivisuudelle, on yleensä väärä. Esimerkiksi Z -moduuli Q täyttää Baerin kriteerin kaksoiskappaleen, mutta ei ole projektiivinen.

Injektiiviset yhteistuottajat

Ehkä tärkein injektio moduuli on Abelin ryhmä Q / Z . Se on injektiivinen cogenerator että luokkaan Abelin ryhmä , joka tarkoittaa sitä, että se on injektio ja muut moduuli sisältyy sopivasti suuri tuote kopioita Q / Z . Joten erityisesti jokainen Abelin ryhmä on injektioryhmän alaryhmä. On varsin merkittävää, että tämä pätee myös mihin tahansa renkaaseen: jokainen moduuli on injektiomoduulin alimoduuli tai "vasemmanpuoleisten R -moduulien luokassa on tarpeeksi injektioita". Tämän todistamiseksi käytetään abelilaisryhmän Q / Z erityisominaisuuksia rakentaakseen injektoivan yhteistuottajan vasemman R -moduulin luokkaan .

Vasemmanpuoleiselle R -moduulille M ns. "Merkkimoduuli" M ⁺ = Hom _Z ( M , Q / Z ) on oikea R -moduuli, jolla on mielenkiintoinen kaksinaisuus, ei injektiomoduulien ja projektiivisten moduulien välillä , vaan injektiomoduulit ja litteät moduulit ( Enochs & Jenda 2001 , s. 78–80) . Jokaiselle renkaalle R vasen R -moduuli on litteä silloin ja vain, jos sen merkkimoduuli on injektiivinen. Jos R jätetään eteeriseksi, vasen R -moduuli on injektiivinen silloin ja vain, jos sen merkkimoduuli on tasainen.

Injektiiviset rungot

Injektiivinen runko moduulin on pienin injektio moduuli sisältää annettu yksi ja kuvattiin ( Eckmann & Shopf 1953 ) .

Injektiorungon avulla voidaan määritellä pienin injektiotarkkuus (katso alla). Jos jokainen ruiskutusresoluution termi on edellisen kartan cokernelin ruiskutusrunko, injektion resoluution pituus on minimaalinen.

Injektiiviset ratkaisut

Jokaisella moduulilla M on myös injektiivinen resoluutio : lomakkeen tarkka sekvenssi

0 → M → I ⁰ → I ¹ → I ² → ...

missä I ^j ovat injektiomoduuleja. Injektiivisia resoluutioita voidaan käyttää määrittämään johdetut funktiot , kuten Ext -funktio .

Pituus on rajallinen injektio resoluutio on ensimmäinen indeksi n siten, että I ⁿ on nollasta poikkeava, ja minä ⁱ = 0 i on suurempi kuin n . Jos moduuli M hyväksyy rajallisen injektiivisen resoluution, M: n kaikkien äärellisten injektiotarkkuuksien vähimmäispituutta kutsutaan sen injektiiviseksi ulottuvuudeksi ja merkitään id ( M ). Jos M ei hyväksy äärellistä injektiivistä resoluutiota, niin sopimuksen mukaan injektiivisen ulottuvuuden sanotaan olevan ääretön. ( Lam 1999 , §5C) Tarkastellaan esimerkiksi moduulia M siten, että id ( M ) = 0. Tässä tilanteessa sekvenssin 0 → M → I ₀ → 0 tarkkuus osoittaa, että keskellä oleva nuoli on isomorfismi, ja siksi M itse on injektiivinen.

Vastaavasti M: n injektiivinen ulottuvuus on pienin kokonaisluku (jos sellainen on, muuten ∞) n sellainen, että Ext^N
_A( -, M ) = 0 kaikille N > n .

Hajoamattomat

Jokainen injektiomoduulin injektiivinen alimoduuli on suora summaus, joten on tärkeää ymmärtää hajoamattomat injektiomoduulit ( Lam 1999 , §3F).

Jokaisella hajoamattomalla injektiomoduulilla on paikallinen endomorfismirengas . Moduulia kutsutaan yhtenäiseksi moduuliksi, jos jokaisen kahden ei -nolla -alimoduulin leikkauskohta on nollasta poikkeava. Injektiomoduulissa M seuraavat ovat vastaavia:

M on hajoamaton
M ei ole nolla ja se on jokaisen nollasta poikkeavan alimoduulin ruiskutusrunko
M on yhtenäinen
M on yhtenäisen moduulin ruiskutusrunko
M on yhtenäisen syklisen moduulin ruiskutusrunko
M: llä on paikallinen endomorfisrengas

Noetherin renkaan yli jokainen injektiomoduuli on (yksilöllisesti määritelty) hajoamattomien injektiomoduulien suora summa. Kommutatiivisen Noetherin renkaan yli tämä antaa erityisen hyvän käsityksen kaikista injektiomoduuleista, joita on kuvattu ( Matlis 1958 ). Hajoamattomat injektiomoduulit ovat moduulien R / p ruiskutusrunkoja, koska p on renkaan R ensisijainen ideaali . Lisäksi injektio rungon M on R / p on yhä suodattamalla moduulit M _n antama Annihilators ihanteiden p ⁿ , ja M _{n + 1} / M _n on isomorfinen kuin äärellinen-ulotteinen vektori tilaa yli osamäärä kentän k ( p ) of R / p to Hom _{R / p} ( p ⁿ / p ^{n +1} , k ( p )).

Renkaiden vaihto

On tärkeää pystyä harkita moduuleja yli subrings tai osamäärä renkaat , erityisesti esimerkiksi polynomi renkaat . Yleensä tämä on vaikeaa, mutta useita tuloksia tiedetään ( Lam 1999 , s. 62).

Olkoon S ja R renkaat ja P vasen- R , oikea- S bimoduuli, joka on tasainen kuin vasen R- moduuli. Jokaiselle injektio -oikealle S -moduulille M moduulien homomorfismien joukko Hom _S ( P , M ) on injektiivinen R -moduuli. Esimerkiksi, jos R on S: n alirengas siten, että S on tasainen R -moduuli, niin jokainen injektiivinen S -moduuli on injektiivinen R -moduuli. Erityisesti, jos R on integraalialue ja S sen murtokenttä , niin jokainen vektoritila S: n yläpuolella on injektiivinen R -moduuli. Samoin jokainen injektoiva R [ x ] -moduuli on injektiivinen R -moduuli.

Myös jakorenkaille R / I renkaiden vaihto on hyvin selvä. R -moduulista on R / I -moduulista juuri silloin, kun se on tuhottu, jonka minä . Submodule ann _I ( M ) = { m on M : im = 0 kaikille i in I } on vasemmalla submodule vasemman R -moduulista M , ja se on suurin submodule on M , joka on R / I -moduulista. Jos M on vasemmanpuoleinen R -moduuli, niin ann _I ( M ) on vasemmanpuoleinen R / I -moduuli. Soveltamalla tätä R = Z , I = n Z ja M = Q / Z , saadaan tuttu tosiasia, että Z / n Z on injektiivinen moduulina itsensä yli. Kun se on helppo muuntaa injektio R -modules osaksi injektio R / I -modules, tämä prosessi ei ole muuntaa injektio R -resolutions osaksi injektio R / I -resolutions, ja homologia tuloksena kompleksi on yksi ensimmäisistä ja pääalueen suhteellisen homologisen algebran tutkiminen.

Oppikirjassa ( Rotman 1979 , s. 103) on virheellinen todiste siitä, että lokalisointi säilyttää ruiskeet, mutta vastaesimerkki annettiin ( Dade 1981 ).

Itseinjektiiviset renkaat

Jokainen yhtenäinen rengas on ilmainen moduuli ja siten projektiivinen moduulina itsensä päällä, mutta on harvinaisempaa, että rengas on injektiivinen moduulina itsensä yli ( Lam 1999 , §3B). Jos rengas on ruiskutettava itsensä yli oikeana moduulina, sitä kutsutaan oikeaksi itseinjektoivaksi renkaaksi . Jokainen Frobenius-algebra on itseinjektiivinen, mutta mikään kiinteä alue, joka ei ole kenttä, on itseinjektiivinen. Jokainen oikea osamäärä on Dedekindin domain on itsestään injektio.

Oikea Noetherian hiiren itse injective rengas kutsutaan lähes Frobenius rengas , ja on kaksipuolinen Artinian ja kaksipuolinen injektiivinen, ( Lam 1999 , Th. 15,1). Kvaasi-Frobenius-renkaiden tärkeä moduuliteoreettinen ominaisuus on, että projektiiviset moduulit ovat täsmälleen injektiomoduuleja.

Yleistykset ja erikoisalat

Injektiiviset esineet

Yksi puhuu myös injektio esineiden sisään luokkiin yleisempi kuin moduuli luokkia, esimerkiksi functor luokkiin tai ryhmiin väkipyörien O _X -modules yli noin rengastettu tila ( X , O _X ). Käytetään seuraavaa yleistä määritelmää: C -luokan objekti Q on injektiivinen, jos minkä tahansa monomorfismin f : X → Y kohdalla C ja minkä tahansa morfismin g : X → Q kohdalla on morfismi h : Y → Q ja hf = g .

Jaettavat ryhmät

Injektiivisen esineen käsitettä abelilaisten ryhmien luokassa tutkittiin jonkin verran riippumattomana injektiomoduuleista termillä jaettavissa oleva ryhmä . Tässä Z -moduuli M on injektiivinen silloin ja vain, jos n ⋅ M = M jokaiselle nollasta kokonaisluvulle n . Tässä litteiden moduulien , puhtaiden alimoduulien ja injektiomoduulien väliset suhteet ovat selkeämpiä, koska se viittaa yksinkertaisesti moduulielementtien tiettyihin jakautumisominaisuuksiin kokonaislukujen mukaan.

Puhtaita injektioita

Suhteellisessa homologisessa algebrassa homomorfismien laajennusominaisuutta voidaan vaatia vain tietyille alimoduuleille eikä kaikille. Esimerkiksi puhdas injektiomoduuli on moduuli, jossa puhtaan alimoduulin homomorfismi voidaan laajentaa koko moduuliin.

Viitteet

Huomautuksia

Oppikirjat

Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992), Sormukset ja moduuliluokat , Berliini, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1, Haettu 30. heinäkuuta 2016
Enochs, Edgar E .; Jenda, Overtoun MG (2000), Suhteellinen homologinen algebra , de Gruyter Expositions in Mathematics, 30 , Berliini: Walter de Gruyter & Co., doi : 10.1515/9783110803662 , ISBN 978-3-11-016633-0, MR 1753146
Golan, Jonathan S.; Pää, Tom (1991), Moduulit ja renkaiden rakenne , Monografiat ja oppikirjat puhtaassa ja sovelletussa matematiikassa, 147 , Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8555-0, MR 1201818
Lam, Tsit-Yuen (1999), Luennot moduuleista ja renkaista , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berliini, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
Rotman, Joseph J. (1979), Johdatus homologiseen algebraan , Pure and Applied Mathematics, 85 , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-599250-3, MR 0538169

Ensisijaiset lähteet

Baer, Reinhold (1940), "Abelian ryhmät, jotka ovat suoranaisia kutsuja kaikista sisältävistä abelilaisista ryhmistä", Bulletin of the American Mathematical Society , 46 (10): 800–807, doi : 10.1090/S0002-9904-1940-07306-9 , MR 0002886 , Zbl 0024.14902
Chase, Stephen U. (1960), "Suorat tuotteet moduuleista", Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, Voi. 97, nro 3, 97 (3): 457–473, doi : 10.2307/1993382 , JSTOR 1993382 , MR 0120260
Dade, Everett C. (1981), "Injektiivisten moduulien lokalisointi", Journal of Algebra , 69 (2): 416–425, doi : 10.1016/0021-8693 (81) 90213-1 , MR 0617087
Eckmann, B .; Schopf, A. (1953), "Über injektive Moduln", Archiv der Mathematik , 4 (2): 75–78, doi : 10.1007/BF01899665 , MR 0055978
Lambek, Joachim (1963), "On Utumin ring of quotients" , Canadian Journal of Mathematics , 15 : 363–370, doi : 10.4153/CJM-1963-041-4 , ISSN 0008-414X , MR 0147509
Matlis, Eben (1958), "Injective modules over Noetherian rings", Pacific Journal of Mathematics , 8 : 511–528, doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 , ISSN 0030-8730 , MR 0099360
Osofsky, BL (1964), " Injektiivirunkojen rengasominaisuuksista ", Canadian Mathematical Bulletin , 7 : 405–413, doi : 10.4153/CMB-1964-039-3 , ISSN 0008-4395 , MR 0166227
Papp, Zoltán (1959), "Algebrallisesti suljetuista moduuleista", Publicationses Mathematicae Debrecen , 6 : 311–327, ISSN 0033-3883 , MR 0121390
Smith, PF (1981), "Injektiiviset moduulit ja tärkeimmät ihanteet", Communications in Algebra , 9 (9): 989–999, doi : 10.1080/00927878108822627 , MR 0614468
Utumi, Yuzo (1956), "On osamäärärenkaat", Osaka Journal of Mathematics , 8 : 1–18, ISSN 0030-6126 , MR 0078966
Vámos, P. (1983), "Ideaalit ja moduulit, jotka testaavat injektiokykyä", Communications in Algebra , 11 (22): 2495–2505, doi : 10.1080/00927878308822975 , MR 0733337

Languages

In other projects