Funcția Dirichlet - Dirichlet function

În matematică , funcția Dirichlet este funcția indicator 1 _Q sau a setului de numere raționale Q , adică 1 _Q ( x ) = 1 dacă x este un număr rațional și 1 _Q ( x ) = 0 dacă x nu este un număr rațional (adică un număr irațional ). ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {\ mathbb {Q}}}$

$${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {\ mathbb {Q}} (x) = {\ begin {cases} 1 & x \ in \ mathbb {Q} \\ 0 & x \ notin \ mathbb {Q} \ end {cases}} }$$

Acesta poartă numele matematicianului Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Este un exemplu de funcție patologică care oferă contraexemple în multe situații.

Proprietăți topologice

• Funcția Dirichlet nu este nicăieri continuă .
  Dovadă  -

  • Dacă y este rațional, atunci f ( y ) = 1 . Pentru a arăta că funcția nu este continuă la y , trebuie să găsim un ε astfel încât, oricât de mic am alege δ , vor exista puncte z în δ de y astfel încât f ( z ) să nu fie în ε din f ( y ) = 1 . De fapt, 1/2 este un astfel de ε . Deoarece numerele iraționale sunt dense în reale, indiferent de ce δ alegem, putem găsi întotdeauna un z irațional în δ de y , iar f ( z ) = 0 este la cel puțin 1/2 distanță de 1.
  • Dacă y este irațional, atunci f ( y ) = 0 . Din nou, putem lua ε = 1/2 și, de data aceasta, deoarece numerele raționale sunt dense în reali, putem alege z pentru a fi un număr rațional cât de aproape de y este necesar. Din nou, f ( z ) = 1 este la mai mult de 1/2 distanță de f ( y ) = 0 .
  Restricțiile sale la setul de numere raționale și la setul de numere iraționale sunt constante și, prin urmare, continue. Funcția Dirichlet este un exemplu arhetipal al teoremei Blumberg .
• Funcția Dirichlet poate fi construită ca limita dublă în sens punctual a unei secvențe de funcții continue, după cum urmează:
  $${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ quad \ mathbf {1} _ {\ mathbb {Q}} (x) = \ lim _ {k \ to \ infty} \ left (\ lim _ { j \ to \ infty} \ left (\ cos (k! \ pi x) \ right) ^ {2j} \ right)}$$

  
  pentru numărul întreg j și k . Acest lucru arată că funcția Dirichlet este o funcție Baire clasa 2. Nu poate fi o funcție Baire clasa 1, deoarece o funcție Baire clasa 1 poate fi discontinuă numai pe un set mic .

Periodicitate

Pentru orice număr real x și orice număr rațional pozitiv T , 1 _Q ( x + T ) = 1 _Q ( x ). Funcția Dirichlet este , prin urmare , un exemplu de reală funcție periodică , care nu este constantă , dar a căror serie de perioade, setul de numere raționale, este un subset dens de R .

Proprietăți de integrare

• Funcția Dirichlet nu este integrabilă Riemann pe niciun segment al lui R, în timp ce este delimitată deoarece setul de puncte de discontinuitate nu este neglijabil (pentru măsura Lebesgue ).
• Funcția Dirichlet oferă un contraexemplu care arată că teorema convergenței monotone nu este adevărată în contextul integralei Riemann.
  Dovadă  -

  Folosind o enumerare a numerelor raționale cuprinse între 0 și 1, definim funcția f _n (pentru întregul întreg negativ n ) ca funcție indicator a mulțimii primilor n termeni ai acestei secvențe de numere raționale. Secvența crescândă a funcțiilor f _n (care sunt nenegative, Riemann-integrabil cu o integrantă care dispare) converge în sens punctual către funcția Dirichlet care nu este Riemann-integrable.

• Funcția Dirichlet este Lebesgue-integrabilă pe R și integrala sa peste R este zero deoarece este zero, cu excepția setului de numere raționale care este neglijabil (pentru măsura Lebesgue).

Referințe