Állandó funkció - Constant function

A matematikában az állandó függvény olyan függvény, amelynek (kimeneti) értéke minden bemeneti értéknél azonos. Például az $y (x) = 4$ függvény állandó függvény, mert $y (x)$ értéke 4, függetlenül az $x$ bemeneti értéktől (lásd az ábrát).

Alaptulajdonságok

Egy valós értékű argumentum valós értékű függvényeként az állandó függvény általános alakja $y (x) = c$ vagy csak $y = c$ .

Példa: Az

y (x) = 2

függvény vagy csak az

y = 2

az a bizonyos állandó függvény, ahol a kimeneti érték

c = 2

. Ennek a függvénynek a tartománya az összes R valós szám halmaza . Ennek a függvénynek a kódtartománya csak {2}. Az x független változó nem jelenik meg a függvénykifejezés jobb oldalán, ezért értéke "üresen helyettesített". Nevezetesen

y (0) = 2

,

y (-2.7) = 2

,

y (π) = 2

, és így tovább. Függetlenül attól, hogy az x milyen értéket ad meg , a kimenet "2".

Valós példa: Olyan üzlet, ahol minden árut 1 dollárért árulnak.

A grafikon a konstans függvény $az y = c$ egy vízszintes vonal a síkban , amely átmegy a ponton át $(0, c)$ .

Az összefüggésben egy polinom egyik variábilis x , a nem nulla konstans függvényt egy polinom foka 0 és annak általános alak $f (x) = c$ ahol $c$ nem nulla. Ennek a függvénynek nincs metszéspontja az x -tengellyel, vagyis nincs gyökere (nulla) . Másrészt az $f (x) = 0$ polinom az azonos nulla függvény . Ez a (triviális) állandó függvény, és minden x gyök. Grafikonja a sík x -tengelye.

Az állandó függvény páros függvény , azaz az állandó függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre nézve.

A szövegkörnyezetben, ahol definiálják, a függvény deriváltja a függvényértékek változási sebességének mértéke a bemeneti értékek változásához képest. Mivel állandó funkció nem változik, annak származéka 0. Ezt gyakran írva: . Fordítva is igaz. Nevezetesen, ha $y$ $' ($ $x$ $) = 0$ minden x valós számra , akkor y állandó függvény. ${\ displaystyle (x \ mapsto c) '= 0}$

Példa: Tekintettel az állandó függvényre . Az y származéka az azonos nulla függvény .

{\ displaystyle y (x) =-{\ sqrt {2}}}

{\ displaystyle y '(x) = \ left (x \ mapsto -{\ sqrt {2}} \ right)' = 0}

Egyéb tulajdonságok

Az előre megrendelt halmazok közötti függvényeknél az állandó függvények a sorrend megőrzése és a sorrend megfordítása ; Ezzel szemben, ha az f mind a megbízási megőrzése és a rend irányváltó, és ha a tartomány az f egy rács , akkor f állandónak kell lennie.

Minden konstans függvényt, amelynek domén és codomain az ugyanazon X egy bal nulla a teljes átalakulás monoid az X , ami azt jelenti, hogy ez is idempotens .
Minden állandó funkció között topologikus terekben is folyamatos .
A konstans függvény tényezők révén egy ponthalmaz , a terminál tárgy a kategóriában halmazok . Ez a megfigyelés fontos szerepet játszik F. William Lawvere halmazelméletének axiomatizálásában, a halmazkategória elemi elméletében (ETCS).
Minden szett X jelentése izomorf a beállított állandó funkciók bele. Minden x elemhez és bármely Y készlethez van egy egyedi függvény , amely mindenkire vonatkozik . Ezzel szemben, ha egy függvény mindenki számára kielégítő , akkor definíció szerint állandó függvény. ${\ displaystyle {\ tilde {x}}: Y \ - X}$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}}: Y \ - X}$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}} (y) = x}$ ${\ tilde {x}} (y) = x$ ${\ displaystyle y \ Y -ban}$ $y \ Y -ban$ ${\ displaystyle f: Y \ X}}$ $f: Y \ X -ig$ ${\ displaystyle f (y) = f \ left (y '\ right)}$ ${\ displaystyle f (y) = f \ left (y '\ right)}$ ${\ displaystyle y, y '\ Y}$ $y, y 'Y -ban$ ${\ displaystyle f}$ $f$
- Következésképpen az egypontos halmaz generátor a halmazok kategóriájában.
- Minden halmaz kanonikusan izomorf a függvényhalmazhoz , vagy a halmaz a halmazok kategóriájában, ahol 1 az egypontos halmaz. Emiatt, valamint a derékszögű szorzatok és a hom közötti összefüggés a halmazok kategóriájában (tehát kanonikus izomorfizmus van két változó függvényei és egy változó függvényei között, amelyeket egy másik (egyetlen) változó függvényében értékelnek, ) a halmazok kategóriája egy zárt monoidal kategóriában a Descartes-szorzat a készletek, tenzor termék és az egy ponthalmaz a tenzor egységet. Az X- ben természetes izomorfizmusokban a bal és a jobb egység a vetületek és a rendezett párok , illetve az elem , ahol az egypontos halmaz egyedi pontja található. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X^{1}}$ ${\ displaystyle \ operatornév {hom} (1, X)}$ ${\ displaystyle \ operatornév {hom} (X \ Y, Z) \ kong \ operatornév {hom} (X (\ operatornév {hom} (Y, Z))}$ ${\ displaystyle \ lambda: 1 \ x X \ cong X \ cong X \ times 1: \ rho}$ ${\ displaystyle p_ {1}}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$ ${\ displaystyle (*, x)}$ ${\ displaystyle (x,*)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle *}$