Problema de încorporare a lui Connes - Connes embedding problem

Problema de încorporare a lui Connes , formulată de Alain Connes în anii 1970, este o problemă majoră în teoria algebrei von Neumann . În acea perioadă, problema a fost reformulată în mai multe domenii diferite ale matematicii. Dan Voiculescu dezvoltându-și teoria entropiei libere a constatat că problema de încorporare a lui Connes este legată de existența microstatelor. Unele rezultate ale teoriei algebrelor von Neumann pot fi obținute presupunând o soluție pozitivă la problemă. Problema este legată de unele întrebări de bază din teoria cuantică, care au condus la realizarea că are implicații importante și în informatică.

Problema admite o serie de formulări echivalente. În special, este echivalent cu următoarele probleme de lungă durată:

• Conjectura QWEP a lui Kirchberg în teoria C * -algebră
• Problema lui Tsirelson în teoria informației cuantice
• Predualul oricărei algebre von Neumann (separabile) este reprezentabil finit în clasa de urmărire.

În ianuarie 2020, Ji, Natarajan, Vidick, Wright și Yuen au anunțat un rezultat în teoria complexității cuantice care implică un răspuns negativ la problema de încorporare a lui Connes.

Afirmație

Să fie un ultrafiltru liber pe numerele naturale și lăsați - R să fie hyperfinite de tip II ₁ factor cu urme . Se poate construi ultraputerea după cum urmează: să fie algebra von Neumann a secvențelor limitate la normă și să fie . Coeficientul se dovedește a fi un factor II ₁ cu urmă , unde este orice secvență reprezentativă a . ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle R ^ {\ omega}}$${\ displaystyle l ^ {\ infty} (R) = \ {(x_ {n}) _ {n} \ subseteq R: \ sup _ {n} || x_ {n} || <\ infty \}}$${\ displaystyle I _ {\ omega} = \ {(x_ {n}) \ în l ^ {\ infty} (R): \ lim _ {n \ rightarrow \ omega} \ tau (x_ {n} ^ {*} x_ {n}) ^ {\ frac {1} {2}} = 0 \}}$${\ displaystyle R ^ {\ omega} = l ^ {\ infty} (R) / I _ {\ omega}}$${\ displaystyle \ tau _ {R ^ {\ omega}} (x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ omega} \ tau (x_ {n} + I _ {\ omega})}$${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$${\ displaystyle x}$

Problema de încorporare a lui Connes întreabă dacă fiecare factor de tip II ₁ dintr-un spațiu Hilbert separabil poate fi încorporat în unele . ${\ displaystyle R ^ {\ omega}}$

Soluția pozitivă a problemei ar implica faptul că există subspatii invariante pentru o clasă mare de operatori în factorii II-1 ( Uffe Haagerup ); toate grupurile discrete numărabile sunt hiperliniare . O soluție pozitivă a problemei ar fi implicată de egalitatea între entropia liberă și entropia liberă definită de microstate ( Dan Voiculescu ). În ianuarie 2020, un grup de cercetători a susținut că a rezolvat problema în negativ, adică există factori de tip II ₁ von Neumann care nu se încorporează într-o ultraputeră a factorului II ₁ hiperfinit . ${\ displaystyle \ chi ^ {*}}$ ${\ displaystyle R ^ {\ omega}}$

Clasa de izomorfism a lui este independentă de ultrafiltru dacă și numai dacă ipoteza continuumului este adevărată (Ge-Hadwin și Farah-Hart-Sherman), dar o astfel de proprietate de încorporare nu depinde de ultrafiltru deoarece algele von Neumann acționează asupra spațiilor Hilbert separabile sunt, aproximativ vorbind, foarte mici. ${\ displaystyle R ^ {\ omega}}$

Problema admite o serie de formulări echivalente.

Conferințe dedicate problemei de încorporare a lui Connes

• Atelierul de teorie a problemei de încorporare a lui Connes și a informației cuantice; Universitatea Vanderbilt din Nashville Tennessee; 1-7 mai 2020 ( amânat; TBA )
• Problema de încorporare a multor fațete a lui Connes; BIRS, Canada; 14-19 iulie 2019
• Școala de iarnă: problema încorporării lui Connes și teoria informației cuantice; Universitatea din Oslo, 07-11 ianuarie 2019
• Atelier de lucru despre grupurile sofice și hiperliniare și Conjectura încorporării Connes; UFSC Florianopolis, Brazilia; 10-21 iunie 2018
• Proprietăți de aproximare în algebrele operatorului și teoria ergodică; UCLA; 30 aprilie - 5 mai 2018
• Algebrele operatorului și teoria informațiilor cuantice; Institut Henri Poincare, Paris; Decembrie 2017
• Atelier de lucru despre spațiile operatorilor, analiza armonică și probabilitatea cuantică; ICMAT, Madrid; 20 mai-14 iunie 2013
• Workshop Fields în jurul Connes Embedding Problem - Universitatea din Ottawa, 16-18 mai 2008

Referințe

Lecturi suplimentare

• Capraro, Valerio (2010). „Un sondaj asupra conjecturii de încorporare a lui Connes”. arXiv : 1003.2076 [ math.OA ].
• Farah, I .; Hart, B .; Sherman, D. (2013). "Teoria modelului algebrelor operatorului I: stabilitate". Buletinul Societății Matematice din Londra . 45 (4): 825-838. arXiv : 0908.2790 . doi : 10.1112 / blms / bdt014 . S2CID  15024863 .
• GE; Hadwin (2001). „Ultraproduse de C * -algebre”. Oper. Teoria Adv. Aplic . 127 : 305-326. doi : 10.1007 / 978-3-0348-8374-0_17 . ISBN 978-3-0348-9539-2.
• Collins, Benoıt; Dykema, Ken (2008). „O liniarizare a problemei de încorporare a lui Connes” (PDF) . New York Journal of Mathematics . 14 : 617-641.
• Sherman, David (2008). "Note privind automorfismele ultraputerilor factorilor II ₁ ". arXiv : 0809.4439 [ math.OA ].
• Pisier, Gilles . „Produse tensoriale ale algelor C * și spațiilor operatorului: problema Connes-Kirchberg” (PDF) .