Connes-Einbettungsproblem - Connes embedding problem

Das Einbettungsproblem von Connes, das in den 1970er Jahren von Alain Connes formuliert wurde , ist ein Hauptproblem der von Neumann-Algebratheorie . Während dieser Zeit wurde das Problem in verschiedenen Bereichen der Mathematik neu formuliert. Dan Voiculescu , der seine Theorie der freien Entropie entwickelte, fand heraus, dass Connes' Einbettungsproblem mit der Existenz von Mikrozuständen zusammenhängt. Einige Ergebnisse der Theorie der von-Neumann-Algebren können unter der Annahme einer positiven Lösung des Problems erhalten werden. Das Problem hängt mit einigen grundlegenden Fragen der Quantentheorie zusammen, die zu der Erkenntnis führten, dass es auch in der Informatik wichtige Implikationen hat.

Das Problem lässt eine Reihe äquivalenter Formulierungen zu. Bemerkenswert ist, dass es den folgenden seit langem bestehenden Problemen entspricht:

• Kirchbergs QWEP-Vermutung in der C*-Algebra- Theorie
• Tsirelsons Problem in der Quanteninformationstheorie
• Das Predual einer beliebigen (separablen) von Neumann-Algebra ist in der Spurklasse endlich darstellbar.

Im Januar 2020 gaben Ji, Natarajan, Vidick, Wright und Yuen ein Ergebnis der Quantenkomplexitätstheorie bekannt , das eine negative Antwort auf das Einbettungsproblem von Connes impliziert.

Stellungnahme

Sei ein freier Ultrafilter auf den natürlichen Zahlen und sei R der hyperfinite Typ II ₁ Faktor mit Spur . Man kann die Ultrapower wie folgt konstruieren : Sei die von-Neumann-Algebra normbeschränkter Folgen und sei . Der Quotient stellt sich als II ₁ -Faktor mit Spur heraus , wobei eine beliebige repräsentative Folge von ist . ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle R^{\omega}}$${\displaystyle l^{\infty}(R)=\{(x_{n})_{n}\subseteq R:\sup_{n}||x_{n}||<\infty\}}$${\displaystyle I_{\omega}=\{(x_{n})\in l^{\infty}(R):\lim_{n\rightarrow\omega}\tau(x_{n}^{*} x_{n})^{\frac {1}{2}}=0\}}$${\displaystyle R^{\omega}=l^{\infty}(R)/I_{\omega}}$${\displaystyle \tau_{R^{\omega}}(x)=\lim_{n\rightarrow\omega}\tau(x_{n}+I_{\omega})}$${\displaystyle (x_{n})_{n}}$${\displaystyle x}$

Connes' Einbettungsproblem fragt, ob jeder Typ II ₁ Faktor auf einem separierbaren Hilbertraum in einige eingebettet werden kann . ${\displaystyle R^{\omega}}$

Eine positive Lösung des Problems würde bedeuten, dass für eine große Klasse von Operatoren in II-1-Faktoren invariante Unterräume existieren ( Uffe Haagerup ); alle abzählbaren diskreten Gruppen sind hyperlinear . Eine positive Lösung des Problems wäre die Gleichheit zwischen freier Entropie und freier Entropie, definiert durch Mikrozustände ( Dan Voiculescu ). Im Januar 2020 behauptete eine Forschergruppe, das Problem negativ gelöst zu haben, dh es gibt Typ II ₁ von Neumann-Faktoren, die nicht in eine Ultrapower des hyperfiniten II ₁ Faktors eingebettet sind . ${\displaystyle \chi^{*}}$ ${\displaystyle R^{\omega}}$

Die Isomorphismusklasse von ist unabhängig vom Ultrafilter genau dann, wenn die Kontinuumshypothese wahr ist (Ge-Hadwin und Farah-Hart-Sherman), aber eine solche Einbettungseigenschaft hängt nicht vom Ultrafilter ab, da von-Neumann-Algebren auf separable Hilbert-Räume wirken sind grob gesagt sehr klein. ${\displaystyle R^{\omega}}$

Das Problem lässt eine Reihe äquivalenter Formulierungen zu.

Konferenzen zu Connes' Einbettungsproblem

• Connes' Workshop zu Einbettungsproblemen und Quanteninformationstheorie; Vanderbilt-Universität in Nashville, Tennessee; 1.-7. Mai 2020 ( verschoben; noch offen )
• Das facettenreiche Connes' Embedding Problem; BIRS, Kanada; 14. - 19. Juli 2019
• Winter School: Connes' Einbettungsproblem und Quanteninformationstheorie; Universität Oslo, 07.-11. Januar 2019
• Workshop zu sofischen und hyperlinearen Gruppen und der Connes-Einbettungsvermutung; UFSC Florianopolis, Brasilien; 10-21. Juni 2018
• Approximationseigenschaften in Operatoralgebren und ergodischer Theorie; UCLA; 30. April - 5. Mai 2018
• Operatoralgebren und Quanteninformationstheorie; Institut Henri Poincare, Paris; Dezember 2017
• Workshop zu Operatorräumen, harmonischer Analyse und Quantenwahrscheinlichkeit; ICMAT, Madrid; 20. Mai - 14. Juni 2013
• Fields Workshop rund um das Connes Embedding Problem – University of Ottawa, 16.–18. Mai 2008

Verweise

Weiterlesen

• Capraro, Valerio (2010). „Eine Umfrage zu Connes 'Einbettungsvermutung“. arXiv : 1003.2076 [ math.OA ].
• Farah, I.; Hart, B.; Sherman, D. (2013). „Modelltheorie der Operatoralgebren I: Stabilität“. Bulletin der London Mathematical Society . 45 (4): 825–838. arXiv : 0908.2790 . doi : 10.1112/blms/bdt014 . S2CID  15024863 .
• Ge; Hadwin (2001). „Ultraprodukte von C*-Algebren“. Oper. Theorie Adv. Anw . 127 : 305–326. doi : 10.1007/978-3-0348-8374-0_17 . ISBN 978-3-0348-9539-2.
• Collins, Benoıt; Dykema, Ken (2008). "Eine Linearisierung des Einbettungsproblems von Connes" (PDF) . New Yorker Zeitschrift für Mathematik . 14 : 617–641.
• Sherman, David (2008). „Anmerkungen zu Automorphismen von Ultrapowers of II ₁ Factors“. arXiv : 0809.4439 [ math.OA ].
• Piser, Gilles . "Tensorprodukte von C*-Algebren und Operatorräumen: Das Connes-Kirchberg-Problem" (PDF) .