Problema di incorporamento di Connes - Connes embedding problem

Il problema dell'incorporamento di Connes , formulato da Alain Connes negli anni '70, è un problema importante nella teoria dell'algebra di von Neumann . Durante quel periodo, il problema fu riformulato in diverse aree della matematica. Dan Voiculescu sviluppando la sua teoria dell'entropia libera ha scoperto che il problema dell'incorporamento di Connes è legato all'esistenza dei microstati. Alcuni risultati della teoria delle algebre di von Neumann possono essere ottenuti assumendo una soluzione positiva del problema. Il problema è legato ad alcune domande fondamentali della teoria quantistica, che hanno portato a comprendere che ha importanti implicazioni anche in informatica.

Il problema ammette una serie di formulazioni equivalenti. In particolare, è equivalente ai seguenti problemi di vecchia data:

• La congettura QWEP di Kirchberg nella teoria C*-algebra
• Il problema di Tsirelson nella teoria dell'informazione quantistica
• Il preduale di ogni (separabile) algebra di von Neumann è finitamente rappresentabile nella classe traccia.

Nel gennaio 2020, Ji, Natarajan, Vidick, Wright e Yuen hanno annunciato un risultato nella teoria della complessità quantistica che implica una risposta negativa al problema dell'incorporamento di Connes.

Dichiarazione

Sia un ultrafiltro libero sui numeri naturali e sia R il fattore di tipo II ₁ iperfinito con traccia . Si può costruire l'ultrapotenza come segue: sia l'algebra di von Neumann delle successioni limitate in norma e sia . Il quoziente risulta essere un fattore II ₁ con traccia , dove è una qualsiasi sequenza rappresentativa di . ${\displaystyle\omega}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle R^{\omega }}$${\displaystyle l^{\infty }(R)=\{(x_{n})_{n}\subseteq R:\sup _{n}||x_{n}||<\infty \}}$${\displaystyle I_{\omega }=\{(x_{n})\in l^{\infty }(R):\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}^{*} x_{n})^{\frac {1}{2}}=0\}}$${\displaystyle R^{\omega }=l^{\infty }(R)/I_{\omega }}$${\displaystyle \tau _{R^{\omega }}(x)=\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}+I_{\omega })}$${\displaystyle (x_{n})_{n}}$${\displaystyle x}$

Il problema dell'incorporamento di Connes si chiede se ogni fattore di tipo II ₁ su uno spazio di Hilbert separabile possa essere incorporato in alcuni . ${\displaystyle R^{\omega }}$

Una soluzione positiva al problema implicherebbe l'esistenza di sottospazi invarianti per un'ampia classe di operatori in fattori II-1 ( Uffe Haagerup ); tutti i gruppi discreti numerabili sono iperlineari . Una soluzione positiva al problema sarebbe implicita nell'uguaglianza tra entropia libera ed entropia libera definita dai microstati ( Dan Voiculescu ). Nel gennaio 2020, un gruppo di ricercatori ha affermato di aver risolto il problema in negativo, ovvero esistono fattori di von Neumann di tipo II ₁ che non si incorporano in un'ultrapotenza del fattore II ₁ iperfinito . ${\displaystyle \chi ^{*}}$ ${\displaystyle R^{\omega }}$

La classe di isomorfismo di è indipendente dall'ultrafiltro se e solo se l' ipotesi del continuo è vera (Ge-Hadwin e Farah-Hart-Sherman), ma tale proprietà di immersione non dipende dall'ultrafiltro perché le algebre di von Neumann che agiscono su spazi di Hilbert separabili sono, grosso modo, molto piccoli. ${\displaystyle R^{\omega }}$

Il problema ammette una serie di formulazioni equivalenti.

Conferenze dedicate al problema dell'incorporamento di Connes

• Workshop sul problema dell'incorporamento di Connes e sulla teoria dell'informazione quantistica; Vanderbilt University di Nashville, nel Tennessee; 1-7 maggio 2020 ( rinviato; TBA )
• Il problema dell'incorporamento di Connes dalle molte sfaccettature; BIRS, Canada; 14 -19 luglio 2019
• Scuola invernale: problema dell'incorporamento di Connes e teoria dell'informazione quantistica; Università di Oslo, 07-11 gennaio 2019
• Workshop sui Gruppi Sofic e Hyperlineari e la Connes Embedding Conjecture; UFSC Florianopolis, Brasile; 10-21 giugno 2018
• Proprietà di Approssimazione in Algebre di Operatori e Teoria Ergodica; UCLA; 30 aprile - 5 maggio 2018
• Algebre degli operatori e teoria dell'informazione quantistica; Istituto Henri Poincaré, Parigi; Dicembre 2017
• Workshop su Spazi Operatori, Analisi Armonica e Probabilità Quantistica; ICMAT, Madrid; 20 maggio-14 giugno 2013
• Seminario sui campi sul problema dell'incorporamento di Connes – Università di Ottawa, 16-18 maggio 2008

Riferimenti

Ulteriori letture

• Capraro, Valerio (2010). "Un sondaggio sulla congettura di incorporamento di Connes". arXiv : 1003.2076 [ math.OA ].
• Farah, io.; Hart, B.; Sherman, D. (2013). "Teoria dei modelli delle algebre degli operatori I: stabilità". Bollettino della London Mathematical Society . 45 (4): 825-838. arXiv : 0908.2790 . doi : 10.1112/blms/bdt014 . S2CID  15024863 .
• Ge; Hadwin (2001). "Ultraprodotti di C*-algebre". oper. Teoria Avv. Appl . 127 : 305-326. doi : 10.1007/978-3-0348-8374-0_17 . ISBN 978-3-0348-9539-2.
• Collins, Benoıt; Dykema, Ken (2008). "Una linearizzazione del problema dell'incorporamento di Connes" (PDF) . Giornale di matematica di New York . 14 : 617–641.
• Sherman, David (2008). "Note sugli automorfismi di Ultrapowers di II ₁ Factors". arXiv : 0809.4439 [ math.OA ].
• Pisier, Gilles . "Prodotti tensori di C*-algebre e spazi operatori: il problema di Connes-Kirchberg" (PDF) .