Connes indlejringsproblem - Connes embedding problem

Connes 'indlejringsproblem , formuleret af Alain Connes i 1970'erne, er et stort problem i von Neumann algebra teori. I løbet af denne tid blev problemet omformuleret inden for flere forskellige matematiske områder. Dan Voiculescu, der udviklede sin gratis entropi -teori, fandt ud af, at Connes 'indlejringsproblem er relateret til eksistensen af ​​mikrostater. Nogle resultater af von Neumann algebras teori kan opnås under forudsætning af en positiv løsning på problemet. Problemet er forbundet med nogle grundlæggende spørgsmål i kvanteteorien, hvilket førte til erkendelsen af, at det også har vigtige implikationer inden for datalogi.

Problemet indrømmer en række tilsvarende formuleringer. Det svarer især til følgende mangeårige problemer:

• Kirchbergs QWEP-formodning i C*-algebra teori
• Tsirelsons problem inden for kvanteinformationsteori
• Predualet til enhver (adskillelig) von Neumann -algebra er endeligt repræsentativ i sporklassen.

I januar 2020 annoncerede Ji, Natarajan, Vidick, Wright og Yuen et resultat i kvantekompleksitetsteori, der indebærer et negativt svar på Connes 'indlejringsproblem.

Udmelding

Lad være et gratis ultrafilter på de naturlige tal, og lad R være den hyperfinite type II ₁ -faktor med spor . Man kan konstruere ultrapoweren som følger: lad være von Neumann-algebra af normbegrænsede sekvenser og lad . Kvotienten viser sig at være en II ₁ faktor med spor , hvor er en repræsentativ sekvens af . ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle R^{\ omega}}$${\ displaystyle l^{\ infty} (R) = \ {(x_ {n}) _ {n} \ subseteq R: \ sup _ {n} || x_ {n} || <\ infty \}}$${\ displaystyle I _ {\ omega} = \ {(x_ {n}) \ in l^{\ infty} (R): \ lim _ {n \ rightarrow \ omega} \ tau (x_ {n}^{*} x_ {n})^{\ frac {1} {2}} = 0 \}}$${\ displaystyle R^{\ omega} = l^{\ infty} (R)/I _ {\ omega}}$${\ displaystyle \ tau _ {R^{\ omega}} (x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ omega} \ tau (x_ {n}+I _ {\ omega})}$${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$${\ displaystyle x}$

Connes 'indlejringsproblem spørger, om hver type II ₁ -faktor på et adskilleligt Hilbert -rum kan integreres i nogle . ${\ displaystyle R^{\ omega}}$

Positiv løsning på problemet ville betyde, at der eksisterer uforanderlige underrum for en stor klasse operatører i II-1-faktorer ( Uffe Haagerup ); alle tællelige diskrete grupper er hyperlinære . En positiv løsning på problemet ville være underforstået af lighed mellem fri entropi og fri entropi defineret af mikrostater ( Dan Voiculescu ). I januar 2020 hævdede en gruppe forskere at have løst problemet negativt, det vil sige, at der findes type II ₁ von Neumann -faktorer, der ikke indgår i en ultrapower af hyperfinite II ₁ -faktoren . ${\ displaystyle \ chi ^{*}}$ ${\ displaystyle R^{\ omega}}$

Isomorfismeklassen af er uafhængig af ultrafiltret, hvis og kun hvis kontinuumhypotesen er sand (Ge-Hadwin og Farah-Hart-Sherman), men en sådan indlejringsejendom afhænger ikke af ultrafiltret, fordi von Neumann-algebraer virker på adskillelige Hilbert-rum er groft sagt meget små. ${\ displaystyle R^{\ omega}}$

Problemet indrømmer en række tilsvarende formuleringer.

Konferencer dedikeret til Connes 'indlejringsproblem

• Connes 'indlejringsproblem og kvanteinformationsteori -workshop; Vanderbilt University i Nashville Tennessee; 1.-7. Maj 2020 ( udskudt; TBA )
• De mange facetterede Connes 'Embedding Problem; BIRS, Canada; 14. -19. Juli, 2019
• Vinterskole: Connes 'indlejringsproblem og kvanteinformationsteori; Universitetet i Oslo, 07-11. Januar, 2019
• Workshop om Sofic og Hyperlinear Groups og Connes Embedding Conjecture; UFSC Florianopolis, Brasilien; 10.-21. Juni 2018
• Tilnærmelsesegenskaber i Operator Algebras og Ergodic Theory; UCLA; 30. april - 5. maj 2018
• Operator Algebras og Quantum Information Theory; Institut Henri Poincare, Paris; December 2017
• Workshop om operatørrum, harmonisk analyse og kvantesandsynlighed; ICMAT, Madrid; 20. maj-14. juni 2013
• Fields Workshop omkring Connes Embedding Problem - University of Ottawa, 16. -18. Maj 2008

Referencer

Yderligere læsning

• Capraro, Valerio (2010). "En undersøgelse om Connes 'indlejring af formodninger". arXiv : 1003.2076 [ math.OA ].
• Farah, I .; Hart, B .; Sherman, D. (2013). "Modelteori om operatøralgebraer I: stabilitet". Bulletin fra London Mathematical Society . 45 (4): 825–838. arXiv : 0908.2790 . doi : 10.1112/blms/bdt014 . S2CID  15024863 .
• Ge; Hadwin (2001). "Ultraprodukter af C*-algebraer". Oper. Teori Adv. Appl . 127 : 305–326. doi : 10.1007/978-3-0348-8374-0_17 . ISBN 978-3-0348-9539-2.
• Collins, Benoıt; Dykema, Ken (2008). "En linearisering af Connes 'indlejringsproblem" (PDF) . New York Journal of Mathematics . 14 : 617–641.
• Sherman, David (2008). "Noter om automorfismer af ultrapower af II ₁ -faktorer ". arXiv : 0809.4439 [ math.OA ].
• Pisier, Gilles . "Tensorprodukter fra C*-algebraer og operatørrum: Connes-Kirchberg-problemet" (PDF) .