Nomograma

Nomograma de Smith que calcula a impedância complexa normalizada de uma linha de transmissão em função de seu comprimento

Um nomograma , nomógrafo ou ábaco é um dispositivo para cálculo gráfico. Na sua forma mais comum não possui partes móveis, mas é um diagrama bidimensional que permite o cálculo gráfico aproximado de uma função. Ele é baseado em uma representação dos dados em um sistema de coordenadas não cartesiano apropriado . Como a régua de cálculo , é uma ferramenta de cálculo analógico gráfico. Assim, tal como acontece com as réguas de cálculo, a sua precisão é limitada pela precisão com que os sinais gráficos podem ser fisicamente traçados, reproduzidos, lidos e alinhados. Os nomogramas são usados ​​principalmente em aplicações para as quais é suficiente obter uma resposta aproximada. Ou são usados ​​para verificar a ordem de grandeza de um resultado obtido com um método de cálculo exato.

Enquanto, normalmente, as regras são ferramentas de uso geral, os nomogramas são construídos principalmente para realizar cálculos muito específicos, usando uma escala de representação estritamente ligada aos valores reais das funções particulares envolvidas.

Embora esse método de cálculo já fosse conhecido há algum tempo, sua introdução é atribuída a Maurice d'Ocagne que, em 1899, publicou o primeiro tratado orgânico sobre o assunto e deu o nome a esse tipo de instrumento.

Descrição

Um nomograma, em sua forma mais simples e comum, consiste em três linhas adequadamente graduadas, chamadas escalas. Duas escalas são usadas para os dados do problema, na terceira escala lemos a solução. A configuração básica é que as escalas de dados sejam as duas mais externas e os resultados sejam lidos na central. No entanto, os papéis das escadas muitas vezes podem ser trocados para resolver problemas inversos . Os dados para realizar o cálculo devem ser identificados nas escalas externas e unidos por uma linha reta. O ponto onde a linha cruza a escala central representa o resultado. Os entalhes são marcados nas escalas e os valores mais significativos são destacados para facilitar a colocação exata dos números. As escalas podem ser lineares , logarítmicas ou ter uma métrica mais complicada. Para cálculos relativamente simples, as escalas são mostradas em linhas retas, mas, para cálculos mais complicados, muitas vezes é apropriado ou necessário usar escalas dispostas ao longo de curvas mais ou menos simples.

O uso é muito simples, basta uma régua ou um fio bem apertado. Basta posicioná-lo de forma que ele junte os pontos que representam os dados do problema em duas escalas e veja onde a terceira escala se cruza. Isso permite calcular uma variável das outras duas. Às vezes, são representadas curvas adicionais que relatam os valores de uma ou mais das escalas fundamentais em uma unidade de medida diferente ou submetida a outras transformações simples.

Exemplos

Nomograma para multiplicações

O exemplo mais banal de um nomograma consiste em três segmentos paralelos e equidistantes que mostram escalas lineares. A linha que une os pontos a e b nos dois eixos externos identifica sua média aritmética no eixo central. Se a mesma escala logarítmica for substituída por escalas lineares em todos os segmentos, a mesma operação fornece a média geométrica , pois é a média aritmética entre e para as propriedades conhecidas dos logaritmos . Se substituirmos agora a escala logarítmica do eixo central por uma escala de dupla densidade, obtemos o nomograma mostrado aqui que calcula diretamente o produto . Este exemplo simples mostra como, variando ligeiramente a estrutura do nomograma, uma grande variedade de ferramentas de cálculo pode ser obtida, apenas parcialmente representada pelos exemplos a seguir. ${\ estilo de exibição (a + b) / 2}$ ${\ estilo de exibição {\ sqrt {a \ cdot b}}}$${\ displaystyle \ log ({\ sqrt {a \ cdot b}})}$${\ estilo de exibição \ log (a)}$${\ estilo de exibição \ log (b)}$${\ estilo de exibição a \ cdot b}$

Nomograma para resistores paralelos e lentes finas

Nomograma para resistores em paralelo

Este nomograma é usado para calcular

${\ estilo de exibição {\ frac {1} {1 / A + 1 / B}}}$

É interessante porque realiza um cálculo não linear útil em aplicações que utilizam apenas linhas retas com escalas lineares.

A e B estão marcados nas escalas horizontal e vertical. O resultado deve ser lido na escala diagonal. Como calcula uma quantidade proporcional à média harmônica de A e B , esta fórmula tem muitas aplicações. Alguns exemplos são o cálculo de resistências em paralelo em eletrônica e a equação de lentes finas em óptica .

No exemplo ao lado, a linha vermelha indica que dois resistores de 56 e 42  ohms dispostos em paralelo produzem uma resistência de 24 ohms. Mas também indica que um objeto colocado a uma distância de 56 cm de uma lente cuja distância focal é de 24 cm forma uma imagem real a uma distância de 42 cm.

Nomograma para o teste Qui-quadrado

Nomograma para a variável aleatória chi quadrado

O nomograma ao lado pode ser usado para estimar alguns valores necessários para realizar um teste estatístico comum, o teste qui-quadrado de Pearson . Este nomograma é um exemplo de uso de escalas curvilíneas com graduações desigualmente espaçadas.

A expressão a ser avaliada é

${\ displaystyle {\ frac {(observado-esperado) ^ {2}} {esperado}}}$

A linha azul mostra como é calculado

(9 - 5) ^2/5 = 3,2

A linha vermelha mostra como é calculado

(81 - 70) ^2/70 = 1,7

Ao realizar o teste, a correção de Yates é frequentemente aplicada para garantir a continuidade

${\ displaystyle \ chi _ {\ mathrm {Yates}} ^ {2} = \ soma _ {i = 1} ^ {N} {(| O_ {i} -E_ {i} | -0,5) ^ { 2} \ sobre E_ {i}}}$

ou seja, 0,5 é subtraído dos valores observados. Você pode facilmente construir um nomograma para testar com a correção de Yates. Basta mover a escala de valores observados 0,5 para a esquerda. Para que os entalhes relativos aos valores 1,0, 2,0, 3,0, ... estejam localizados onde os dos valores 0,5, 1,5, 2,5, ... existem atualmente.

Outros exemplos são:

• Nomograma de Smith (veja a imagem ao lado do título), usado em eletrônica e análise de sistemas
• Diagramas termodinâmicos e tefigramas , usados ​​para estudar a estrutura vertical da atmosfera e realizar cálculos sobre sua estabilidade e teor de umidade.
• O nomograma Loazzolo, usado para calcular as licenças para a fundição de terra .

Bibliografia

• Maurice d'Ocagne , Traité de Nomographie , Paris, Gauthier-Villars, 1899.
• d'Ocagne M.: "Sur la resolução nomographique de l'équation du septième degré." Comptes rendus Paris, 131 (1900), 522-524.
• d'Ocagne, M.: Calcul graphique et nomographie . Fazendo. Paris, 1907. 3ª ed., 1924.
• Brodetsky, S.: Um primeiro curso em nomografia . 1920.
• Brodetsky, S.: Artigo de nomografia em Glazebrook, R. (ed.): Dicionário de física aplicada , vol. III: 635. Macmillan and Co. Londres, 1923.
• Parellada García, A.: Gráficas y nomogramas . Dossat. Madri, 1942.
• Seco de la Garza, R.: Nomogramas del ingeniero . P. Orrier. Madri, 1911.
• Soreau, R.: Nomographie. Théorie des abaques . Quíron. Paris, 1921.
• Adams, DP: Um índice de Nomogramas . MIT e John Wiley & Sons, Nova York, 1950 - Referências a milhares de nomogramas publicados em periódicos.

Itens relacionados

• Nomograma de Herloffson
• Ábaco de Moody
• Ábaco de Newmark
• Koch nomograma

Outros projetos

Outros projetos

• Wikcionário
• Wikimedia Commons

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Links externos

• Eric W. Weisstein, Nomograma , em MathWorld , Wolfram Research.
• Nomogramas mecânicos Ferramentas de cálculo mecânico baseadas em nomografia
• Nomograma atmosférico (pdf) do Departamento de Meteorologia da Universidade de Reading.
• Pacote PyNomo para fazer nomogramas com Python.
• A Arte da Nomografia descreve como projetar nomogramas usando geometria, determinantes e transformações apropriadas.
• Nomogramas para Wargames de interesse mais geral do que parece.
• Applet JavaScript para construir nomogramas simples.
• Nomógrafo Pressão-Temperatura Sigma-Aldrich Permite estimar fácil e rapidamente o ponto de ebulição em várias pressões.
• Pacote R para projetar nomogramas capazes de estimar valores previstos a partir de modelos de regressão; aqui e aqui exemplos podem ser encontrados.