Nomogram

Smith nomogram som beregner den normaliserte komplekse impedansen til en overføringslinje som en funksjon av lengden

Et nomogram , nomograph , eller abacus ^[1] er en enhet for grafisk beregning. I sin vanligste form har den ingen bevegelige deler, men det er et todimensjonalt diagram som tillater omtrentlig grafisk beregning av en funksjon. Den er basert på en representasjon av dataene i et passende ikke - kartesisk koordinatsystem . I likhet med lysbilderegelen er det et grafisk analogt beregningsverktøy. Derfor, som med lysbilderegler, er nøyaktigheten begrenset av nøyaktigheten som de grafiske skiltene fysisk kan spores, reproduseres, leses og justeres med. Nomogrammer brukes hovedsakelig i applikasjoner der det er tilstrekkelig å få et omtrentlig svar. Eller de brukes til å verifisere størrelsesordenen til et resultat oppnådd med en nøyaktig beregningsmetode.

Mens reglene normalt er verktøy for generell bruk, er nomogrammene hovedsakelig bygget for å utføre svært spesifikke beregninger, ved å bruke en representasjonsskala som er strengt knyttet til de faktiske verdiene til de spesielle funksjonene som er involvert.

Selv om denne beregningsmetoden allerede var kjent en stund, tilskrives introduksjonen av Maurice d'Ocagne som i 1899 publiserte den første organiske avhandlingen om emnet ^[2] og ga navnet til denne typen instrumenter.

Beskrivelse

Et nomogram, i sin enkleste og vanligste form, består av tre passende graderte linjer, kalt skalaer. To skalaer brukes for dataene til problemet, på den tredje skalaen leser vi løsningen. Grunninnstillingen er at dataskalaene er de to ytterste og resultatene avleses på den sentrale. Rollene til trappene kan imidlertid ofte byttes for å løse omvendte problemer . Dataene for å utføre beregningen må identifiseres på de eksterne skalaene og sammenføyes med en rett linje. Punktet der linjen skjærer den sentrale skalaen representerer resultatet. Hakk er markert på skalaene og de viktigste verdiene er uthevet for å lette den nøyaktige plasseringen av tallene. Skalaer kan være lineære , logaritmiske eller ha en mer komplisert metrikk. For relativt enkle beregninger vises skalaene på rette linjer, men for mer kompliserte beregninger er det ofte hensiktsmessig eller nødvendig å bruke skalaer arrangert langs mer eller mindre enkle kurver.

Bruken er veldig enkel, alt du trenger er en linjal eller en stram tråd. Bare plasser den slik at den forbinder punktene som representerer problemdataene på to skalaer og se hvor den tredje skalaen skjærer hverandre. Dette lar deg beregne en variabel fra de to andre. Noen ganger er ytterligere kurver representert som rapporterer verdiene til en eller flere av de grunnleggende skalaene i en annen måleenhet eller utsatt for andre enkle transformasjoner.

Eksempler

Nomogram for multiplikasjoner

Det mest banale eksemplet på et nomogram består av tre parallelle og ekvidistante segmenter som viser lineære skalaer. Linjen som forbinder punktene a og b på de to ytre aksene identifiserer deres aritmetiske gjennomsnitt på den sentrale aksen. Hvis den samme logaritmiske skalaen erstattes med lineære skalaer på alle segmenter, gir den samme operasjonen det geometriske gjennomsnittet , da det er det aritmetiske gjennomsnittet mellom og for de kjente egenskapene til logaritmer . Hvis vi nå erstatter den logaritmiske skalaen til sentralaksen med en dobbel tetthetsskala, får vi nomogrammet vist her som direkte beregner produktet . Dette enkle eksemplet viser hvordan, ved å variere strukturen til nomogrammet litt, kan et stort utvalg av beregningsverktøy oppnås, bare veldig delvis representert ved de følgende eksemplene. ${\ displaystyle (a + b) / 2}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a \ cdot b}}}$ ${\ displaystyle \ log ({\ sqrt {a \ cdot b}})}$ ${\ displaystyle \ log (a)}$ ${\ displaystyle \ log (b)}$ ${\ displaystyle a \ cdot b}$

Nomogram for parallelle motstander og tynne linser

Nomogram for motstander i parallell

Dette nomogrammet brukes til å beregne

{\ displaystyle {\ frac {1} {1 / A + 1 / B}}}

Det er interessant fordi det utfører en ikke-lineær beregning som er nyttig i applikasjoner som bare bruker rette linjer med lineære skalaer.

A og B er markert på horisontal og vertikal skala. Resultatet bør avleses på diagonalskalaen. Siden den beregner en mengde proporsjonal med det harmoniske gjennomsnittet av A og B , har denne formelen mange bruksområder. Noen eksempler er beregning av parallellmotstander i elektronikk og tynnlinseligningen i optikk .

I eksemplet overfor indikerer den røde linjen at to motstander på 56 og 42 ohm anordnet parallelt gir en motstand på 24 ohm. Men det indikerer også at et objekt plassert i en avstand på 56 cm fra en linse med brennvidde på 24 cm danner et reelt bilde i en avstand på 42 cm.

Nomogram for chi-square-testen

Nomogram for den tilfeldige variabelen chi kvadrat

Nomogrammet på motsatt side kan brukes til å estimere noen verdier som er nødvendige for å utføre en vanlig statistisk test, Pearson chi-square-testen . Dette nomogrammet er et eksempel på bruk av krumlinjede skalaer med graderinger med ulik avstand.

Uttrykket som skal vurderes er

{\ displaystyle {\ frac {(observert-forventet) ^ {2}} {forventet}}}

Den blå linjen viser hvordan det beregnes

(9 - 5) ^2/5 = 3,2

Den røde linjen viser hvordan det beregnes

(81 - 70) ^2/70 = 1,7

Når du utfører testen, brukes Yates sin korreksjon ofte for å sikre kontinuitet

{\ displaystyle \ chi _ {\ mathrm {Yates}} ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {(| O_ {i} -E_ {i} | -0.5) ^ { 2} \ over E_ {i}}}

det vil si at 0,5 trekkes fra de observerte verdiene. Du kan enkelt bygge et nomogram for å teste med Yates' korreksjon. Bare flytt den observerte verdiskalaen 0,5 til venstre. Slik at hakkene knyttet til verdiene 1.0, 2.0, 3.0, ... er plassert der de av verdiene 0.5, 1.5, 2.5, ... for tiden eksisterer.

Andre eksempler er:

Smiths nomogram ( se bildet ved siden av tittelen), brukt i elektronikk og systemanalyse
Termodynamiske diagrammer og tefigrammer , brukt til å studere den vertikale strukturen til atmosfæren og for å utføre beregninger på dens stabilitet og fuktighetsinnhold.
Loazzolo-nomogrammet, brukt til å beregne kvotene for jordstøperiet .

Merknader

^ I denne betydningen er stavemåte med to B-er ("kulerram") utbredt sammenlignet med den med bare en B som dessuten noen ganger brukes.
^ Ocagne-1 .

Bibliografi

Maurice d'Ocagne , Traité de Nomographie , Paris, Gauthier-Villars, 1899.
d'Ocagne M .: "Sur la resolution nomographique de l'équation du septième degré." Comptes rendus Paris, 131 (1900), 522-524.
d'Ocagne, M .: Calcul graphique et nomographie . Doin. Paris, 1907. 3. utgave, 1924.
Brodetsky, S.: Et første kurs i nomografi . 1920.
Brodetsky, S .: Nomography- artikkel i Glazebrook, R. (red.): Dictionary of applyed physics , vol. III: 635. Macmillan og Co. London, 1923.
Parellada García, A .: Graficas y nomogramas . Dossat. Madrid, 1942.
Seco de la Garza, R .: Nomogramas del ingeniero . P. Orrier. Madrid, 1911.
Soreau, R .: Nomographie. Théorie des abaques . Chiron. Paris, 1921.
Adams, DP: En indeks over nomogrammer . MIT og John Wiley & Sons, New York, 1950 - Referanser til tusenvis av nomogrammer publisert i tidsskrifter.

Relaterte elementer

Andre prosjekter

Wiktionary inneholder ordboklemmaet « nomogram »
Wikimedia Commons inneholder bilder eller andre filer på nomogram

Eksterne lenker

Eric W. Weisstein, Nomogram , i MathWorld , Wolfram Research.
Mekaniske nomogrammer Mekaniske beregningsverktøy basert på nomografi
Atmosfærisk nomogram (pdf) fra Institutt for meteorologi, University of Reading.
PyNomo- pakke for å lage nomogrammer med Python.
The Art of Nomography beskriver hvordan man designer nomogrammer ved å bruke geometri, determinanter og passende transformasjoner.
Nomogrammer for krigsspill av mer generell interesse enn det ser ut til.
JavaScript-applet for å bygge enkle nomogrammer.
Sigma-Aldrich Pressure-Temperature Nomograph Lar deg enkelt og raskt estimere kokepunktet ved ulike trykk.
R Pakke for å designe nomogrammer som er i stand til å estimere predikerte verdier fra regresjonsmodeller; her og herEksempler på

[1] I denne betydningen er stavemåte med to B-er ("kulerram") utbredt sammenlignet med den med bare en B som dessuten noen ganger brukes.

[2] Ocagne-1 .

[1]

[2]