Nomogramme

Nomogramme de Smith qui calcule l' impédance complexe normalisée d'une ligne de transmission en fonction de sa longueur

Un nomogramme , un nomographe ou un boulier ^[1] est un dispositif de calcul graphique. Dans sa forme la plus courante, il n'a pas de pièces mobiles, mais c'est un diagramme à deux dimensions qui permet le calcul graphique approximatif d'une fonction. Il est basé sur une représentation des données dans un système de coordonnées non cartésien approprié . Comme la règle à calcul, il s'agit d'un outil de calcul analogique graphique. Ainsi, comme pour les règles à calcul, son exactitude est limitée par la précision avec laquelle les signes graphiques peuvent être physiquement tracés, reproduits, lus et alignés. Les nomogrammes sont principalement utilisés dans des applications pour lesquelles il suffit d'obtenir une réponse approximative. Soit, ils servent à vérifier l'ordre de grandeur d'un résultat obtenu avec une méthode de calcul exacte.

Alors que, normalement, les règles sont des outils d'usage général, les nomogrammes sont principalement construits pour effectuer des calculs très spécifiques, en utilisant une échelle de représentation strictement liée aux valeurs réelles des fonctions particulières impliquées.

Bien que cette méthode de calcul soit déjà connue depuis un certain temps, son introduction est attribuée à Maurice d'Ocagne qui, en 1899, publia le premier traité organique sur le sujet ^[2] et donna le nom à ce type d'instrument.

Descriptif

Un nomogramme, dans sa forme la plus simple et la plus courante, se compose de trois lignes convenablement graduées, appelées échelles. Deux échelles sont utilisées pour les données du problème, sur la troisième échelle nous lisons la solution. Le réglage de base est que les échelles de données sont les deux les plus à l'extérieur et les résultats sont lus sur l'échelle centrale. Cependant, les rôles des escaliers peuvent souvent être permutés pour résoudre des problèmes inverses . Les données pour effectuer le calcul doivent être identifiées sur les échelles externes et reliées par une ligne droite. Le point où la ligne coupe l'échelle centrale représente le résultat. Des encoches sont marquées sur les échelles et les valeurs les plus significatives sont mises en évidence pour faciliter le placement exact des chiffres. Les échelles peuvent être linéaires , logarithmiques ou avoir une métrique plus compliquée. Pour des calculs relativement simples les échelles sont représentées en lignes droites mais, pour des calculs plus compliqués, il est souvent opportun ou nécessaire d'utiliser des échelles disposées selon des courbes plus ou moins simples.

L'utilisation est très simple, il suffit d'une règle ou d'un fil tendu. Placez-le simplement de manière à ce qu'il rejoigne les points qui représentent les données du problème sur deux échelles et voyez où la troisième échelle se croise. Cela permet de calculer une variable à partir des deux autres. Parfois, des courbes supplémentaires sont représentées qui rapportent les valeurs d'une ou plusieurs des échelles fondamentales dans une unité de mesure différente ou soumises à d'autres transformations simples.

Exemples

Nomogramme pour les multiplications

L'exemple le plus banal d'un nomogramme consiste en trois segments parallèles et équidistants qui montrent des échelles linéaires. La ligne joignant les points a et b sur les deux axes externes identifie leur moyenne arithmétique sur l' axe central. Si la même échelle logarithmique est substituée aux échelles linéaires sur tous les segments, la même opération fournit la moyenne géométrique , car c'est la moyenne arithmétique entre et pour les propriétés connues des logarithmes . Si nous remplaçons maintenant l'échelle logarithmique de l'axe central par une échelle à double densité, nous obtenons le nomogramme présenté ici qui calcule directement le produit . Cet exemple simple montre comment, en variant légèrement la structure du nomogramme, on peut obtenir une grande variété d'outils de calcul, que très partiellement représentés par les exemples suivants. ${\ style d'affichage (a + b) / 2}$ ${\ style d'affichage {\ sqrt {a \ cdot b}}}$ ${\ style d'affichage \ journal ({\ sqrt {a \ cdot b}})}$ ${\ style d'affichage \ journal (a)}$ ${\ style d'affichage \ journal (b)}$ ${\ style d'affichage a \ cdot b}$

Nomogramme pour les résistances parallèles et les lentilles minces

Nomogramme pour les résistances en parallèle

Ce nomogramme est utilisé pour calculer

{\ style d'affichage {\ frac {1} {1 / A + 1 / B}}}

Il est intéressant car il effectue un calcul non linéaire utile dans les applications utilisant uniquement des lignes droites avec des échelles linéaires.

A et B sont marqués sur les échelles horizontale et verticale. Le résultat doit être lu sur l'échelle diagonale. Puisqu'elle calcule une quantité proportionnelle à la moyenne harmonique de A et B , cette formule a de nombreuses applications. Quelques exemples sont le calcul des résistances en parallèle en électronique et l' équation des lentilles minces en optique .

Dans l'exemple ci-contre, la ligne rouge indique que deux résistances de 56 et 42 ohms disposées en parallèle produisent une résistance de 24 ohms. Mais il indique aussi qu'un objet placé à une distance de 56 cm d'un objectif dont la focale est de 24 cm forme une image réelle à une distance de 42 cm.

Nomogramme pour le test du chi carré

Nomogramme pour la variable aléatoire chi carré

Le nomogramme ci-contre peut être utilisé pour estimer certaines valeurs nécessaires à la réalisation d'un test statistique courant, le test du chi carré de Pearson . Ce nomogramme est un exemple d'utilisation d'échelles curvilignes avec des graduations inégalement espacées.

L'expression à évaluer est

{\ displaystyle {\ frac {(observé-attendu) ^ {2}} {attendu}}}

La ligne bleue montre comment il est calculé

(9 - 5) ^2/5 = 3,2

La ligne rouge montre comment il est calculé

(81 - 70) ^2/70 = 1,7

Lors de l'exécution du test, la correction de Yates est souvent appliquée pour assurer la continuité

{\ displaystyle \ chi _ {\ mathrm {Yates}} ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {(| O_ {i} -E_ {i} | -0.5) ^ { 2} \ sur E_ {i}}}

c'est-à-dire que 0,5 est soustrait des valeurs observées. Vous pouvez facilement construire un nomogramme à tester avec la correction de Yates. Déplacez simplement l'échelle des valeurs observées de 0,5 vers la gauche. Si bien que les encoches relatives aux valeurs 1.0, 2.0, 3.0, ... se situent là où celles des valeurs 0.5, 1.5, 2.5, ... existent actuellement.

D'autres exemples sont :

Nomogramme de Smith (voir image à côté du titre), utilisé dans l'électronique et l'analyse des systèmes
Diagrammes thermodynamiques et téphigrammes , utilisés pour étudier la structure verticale de l'atmosphère et pour effectuer des calculs sur sa stabilité et sa teneur en humidité.
Le nomogramme de Loazzolo, utilisé pour calculer les allocations pour la fonderie de terre .

Remarques

↑ Dans ce sens, l'orthographe avec deux B ("abaque") est prédominante par rapport à celle avec un seul B qui, d'ailleurs, est parfois utilisée.
^ Ocagne-1 .

Bibliographie

Maurice d'Ocagne , Traité de Nomographie , Paris, Gauthier-Villars, 1899.
d'Ocagne M. : "Sur la résolution nomographique de l'équation du septième degré." Comptes rendus Paris, 131 (1900), 522-524.
d'Ocagne, M. : Calcul graphique et nomographie . Faire. Paris, 1907. 3e éd., 1924.
Brodetsky, S.: Un premier cours de nomographie . 1920.
Brodetsky, S. : Article de nomographie dans Glazebrook, R. (éd.) : Dictionnaire de physique appliquée , vol. III : 635. Macmillan and Co. Londres, 1923.
Parellada García, A.: Gráficas y nomogramas . Dossat. Madrid, 1942.
Seco de la Garza, R. : Nomogramas del ingeniero . P.Orrier. Madrid, 1911.
Soreau, R. : Nomographie. Théorie des abaques . Chiron. Paris, 1921.
Adams, DP : un index de nomogrammes . MIT et John Wiley & Sons, New York, 1950 - Références à des milliers de nomogrammes publiés dans des revues.

Objets associés

Autres projets

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Liens externes

Eric W. Weisstein, Nomogram , dans MathWorld , Wolfram Research.
Nomogrammes mécaniques Outils de calcul mécanique basés sur la nomographie
Nomogramme atmosphérique (pdf) du Département de météorologie de l'Université de Reading.
Package PyNomo pour créer des nomogrammes avec Python.
L'art de la nomographie décrit comment concevoir des nomogrammes en utilisant la géométrie, les déterminants et les transformations appropriées.
Nomogrammes pour Wargames d'intérêt plus général qu'il n'y paraît.
Applet JavaScript pour la construction de nomogrammes simples.
Nomographe pression-température Sigma-Aldrich Vous permet d'estimer facilement et rapidement le point d'ébullition à différentes pressions.
R Package pour concevoir des nomogrammes capables d'estimer les valeurs prédites à partir de modèles de régression ; ici et ici des exemples peuvent être trouvés.

[1] Dans ce sens, l'orthographe avec deux B ("abaque") est prédominante par rapport à celle avec un seul B qui, d'ailleurs, est parfois utilisée.

[2] Ocagne-1 .

[1]

[2]