Seqüência periódica - Periodic sequence

Em matemática , uma sequência periódica (às vezes chamada de ciclo ) é uma sequência para a qual os mesmos termos são repetidos continuamente:

a ₁ , a ₂ , ..., a _p ,   a ₁ , a ₂ , ..., a _p ,   a ₁ , a ₂ , ..., a _p , ...

O número p de termos repetidos é chamado de período ( período ).

Definição

Uma sequência (puramente) periódica (com período p ), ou uma sequência p- periódica , é uma sequência a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... satisfazendo

a _{n + p} = a _n

para todos os valores de n . Se uma sequência é considerada uma função cujo domínio é o conjunto de números naturais , então uma sequência periódica é simplesmente um tipo especial de função periódica . O menor p para o qual uma seqüência periódica é p- periódica é chamado de período mínimo ou período exato .

Exemplos

Cada função constante é 1 periódica.

A sequência é periódica com pelo menos período 2. ${\ displaystyle 1,2,1,2,1,2 \ dots}$

A sequência de dígitos na expansão decimal de 1/7 é periódica com período 6:

${\ displaystyle {\ frac {1} {7}} = 0,142857 \, 142857 \, 142857 \, \ ldots}$

De maneira mais geral, a sequência de dígitos na expansão decimal de qualquer número racional é eventualmente periódica (veja abaixo).

A sequência de potências de -1 é periódica com período dois:

${\ displaystyle -1,1, -1,1, -1,1, \ ldots}$

Mais geralmente, a sequência de poderes de qualquer raiz de unidade é periódica. O mesmo se aplica aos poderes de qualquer elemento de ordem finita em um grupo .

Um ponto periódico para uma função f  : X → X é um ponto x cuja órbita

${\ displaystyle x, \, f (x), \, f (f (x)), \, f ^ {3} (x), \, f ^ {4} (x), \, \ ldots}$

é uma sequência periódica. Aqui, significa a composição de n vezes de f aplicada a x . Os pontos periódicos são importantes na teoria dos sistemas dinâmicos . Cada função de um conjunto finito para si mesma tem um ponto periódico; detecção de ciclo é o problema algorítmico de encontrar tal ponto. ${\ displaystyle f ^ {n} (x)}$

Identidades

Somas parciais

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {kp + m} a_ {n} = k * \ sum _ {n = 1} ^ {p} a_ {n} + \ sum _ {n = 1} ^ {homem}}$ Onde k e m <p são números naturais.

Produtos Parciais

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {kp + m} a_ {n} = ({\ prod _ {n = 1} ^ {p} a_ {n}}) ^ {k} * \ prod _ {n = 1} ^ {m} a_ {n}}$ Onde k e m <p são números naturais.

Sequências 0, 1 periódicas

Qualquer sequência periódica pode ser construída por adição, subtração, multiplicação e divisão elementar de sequências periódicas que consistem em zeros e uns. As sequências periódicas de zero e um podem ser expressas como somas de funções trigonométricas:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {1} \ cos (- \ pi {\ frac {n (k-1)} {1}}) / 1 = 1,1,1,1,1, 1,1,1,1 ...}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {2} \ cos (2 \ pi {\ frac {n (k-1)} {2}}) / 2 = 0,1,0,1,0, 1,0,1,0 ...}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {3} \ cos (2 \ pi {\ frac {n (k-1)} {3}}) / 3 = 0,0,1,0,0, 1,0,0,1,0,0,1,0,0,1 ...}$

${\ displaystyle ...}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ cos (2 \ pi {\ frac {n (k-1)} {N}}) / N = 0,0,0 ..., 1 {\ text {sequência com ponto final}} N}$

Generalizações

Uma sequência é eventualmente periódica se ela puder ser periódica eliminando um número finito de termos desde o início. Por exemplo, a sequência de dígitos na expansão decimal de 1/56 é eventualmente periódica:

1/56 = 0. 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...

Uma sequência é, em última análise, periódica se satisfaz a condição para algum r e k suficientemente grande . ${\ displaystyle a_ {k + r} = a_ {k}}$

Uma sequência é assintoticamente periódica se seus termos se aproximam dos de uma sequência periódica. Ou seja, a sequência x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ... é assintoticamente periódica se existe uma sequência periódica a ₁ ,  a ₂ ,  a ₃ , ... para a qual

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} x_ {n} -a_ {n} = 0.}$

Por exemplo, a sequência

1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 4/5, ...

é assintoticamente periódico, pois seus termos se aproximam dos da sequência periódica 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....

Referências