Säännöllinen jakso - Periodic sequence

On matematiikka , joka on jaksollisen sekvenssin (jota kutsutaan joskus sykli ) on sekvenssi, johon sama ehdot ovat toistettu:

₁ , ₂ , ..., _s ,   ₁ , ₂ , ..., _s ,   ₁ , ₂ , ..., _p , ...

Toistuvien termien lukua p kutsutaan ajanjaksoksi ( jakso ).

Määritelmä

(Pelkästään) määräajoin sekvenssin (ja ajan p ), tai p- jaksollisen sekvenssin , on sekvenssi, ₁ , ₂ , ₃ , ... täyttävä

a _{n + p} = a _n

kaikille arvoille n . Jos sekvenssiä pidetään funktiona, jonka toimialue on luonnollisten numeroiden joukko , niin jaksollinen jakso on yksinkertaisesti erityinen jaksollisen funktion tyyppi . Pienintä p , jolle jaksollinen jakso on p -jaksollinen, kutsutaan sen pienimmäksi jaksoksi tai täsmälliseksi jaksoksi .

Esimerkkejä

Jokainen vakiofunktio on 1-jaksollinen.

Sekvenssi on jaksollinen, ja pisin jakso 2. ${\ displaystyle 1,2,1,2,1,2 \ dots}$

Sekvenssi numeroiden desimaalin laajentamiseen 1/7 on jaksollinen jaksolla 6:

${\ displaystyle {\ frac {1} {7}} = 0,142857 \, 142857 \, 142857 \, \ ldots}$

Yleisemmin minkä tahansa järkevän luvun desimaalilaajennuksen numerosarja on lopulta jaksollinen (katso alla).

Voimien sarja −1 on jaksollinen jaksolla kaksi:

${\ displaystyle -1,1, -1,1, -1,1, \ ldots}$

Yleisemmin minkä tahansa ykseyden voimien järjestys on jaksollinen. Sama pätee valtuuksien tahansa elementin äärellisen järjestys on ryhmä .

Määräajoin kohta funktion f  : X → X on pisteen x , jonka kiertoradalla

${\ displaystyle x, \, f (x), \, f (f (x)), \, f^{3} (x), \, f^{4} (x), \, \ ldots}$

on jaksollinen jakso. Tässä tarkoittaa f: n n -kertainen koostumus , jota sovelletaan x: ään . Jaksolliset pisteet ovat tärkeitä dynaamisten järjestelmien teoriassa . Jokaisella funktiolla äärellisestä joukosta itselleen on jaksollinen piste; syklin tunnistus on algoritminen ongelma sellaisen pisteen löytämisessä. ${\ displaystyle f^{n} (x)}$

Identiteetit

Osasummat

${\ displaystyle \ summa _ {n = 1}^{kp+m} a_ {n} = k*\ summa _ {n = 1}^{p} a_ {n}+\ summa _ {n = 1}^ {mies}}$ Missä k ja m <p ovat luonnollisia lukuja.

Osatuotteet

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1}^{kp+m} a_ {n} = ({\ prod _ {n = 1}^{p} a_ {n}})^{k}*\ prod _ {n = 1}^{m} a_ {n}}$ Missä k ja m <p ovat luonnollisia lukuja.

Jaksolliset 0, 1 jaksoa

Mikä tahansa jaksollinen jakso voidaan muodostaa lisäämällä, vähentämällä, kertomalla ja jakamalla jaksolliset sekvenssit, jotka koostuvat nollasta ja ykkösestä. Jaksollinen nolla ja yksi sekvenssi voidaan ilmaista trigonometristen funktioiden summina:

${\ displaystyle \ summa _ {k = 1}^{1} \ cos (-\ pi {\ frac {n (k-1)} {1}})/1 = 1,1,1,1,1, 1,1,1,1 ...}$

${\ displaystyle \ summa _ {k = 1}^{2} \ cos (2 \ pi {\ frac {n (k-1)} {2}})/2 = 0,1,0,1,0, 1,0,1,0 ...}$

${\ displaystyle \ summa _ {k = 1}^{3} \ cos (2 \ pi {\ frac {n (k-1)} {3}})/3 = 0,0,1,0,0, 1,0,0,1,0,0,1,0,0,1 ...}$

${\ displaystyle ...}$

${\ displaystyle \ summa _ {k = 1}^{N} \ cos (2 \ pi {\ frac {n (k-1)} {N}})/N = 0,0,0 ..., 1 {\ teksti {jakso pisteellä}} N}$

Yleistykset

Sarja on lopulta jaksollinen, jos se voidaan tehdä jaksottaiseksi pudottamalla rajallinen määrä termejä alusta. Esimerkiksi numerosarja 1/56: n desimaalilaajennuksessa on lopulta jaksollinen:

1/56 = 0. 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...

Sarja on lopulta jaksollinen, jos se täyttää jonkin r: n ja riittävän suuren k: n ehdon . ${\ displaystyle a_ {k+r} = a_ {k}}$

Sekvenssi on asymptoottisesti jaksollinen, jos sen ehdot lähestyvät jaksollisen jakson ehtoja. Että on sekvenssi x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ... on asymptoottisesti määräajoin, jos on olemassa määräajoin sekvenssin ₁ ,  ₂ ,  ₃ , ..., joista

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} x_ {n} -a_ {n} = 0.}$

Esimerkiksi järjestys

1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 4/5, ...

on asymptoottisesti jaksollinen, koska sen termit lähestyvät jaksollisen sekvenssin 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....

Viitteet