Séquence périodique - Periodic sequence

En mathématiques , une séquence périodique (parfois appelée cycle ) est une séquence pour laquelle les mêmes termes sont répétés encore et encore :

a ₁ , a ₂ , ..., a _p ,   a ₁ , a ₂ , ..., a _p ,   a ₁ , a ₂ , ..., a _p , ...

Le nombre p de termes répétés est appelé la période ( période ).

Définition

Une suite (purement) périodique (de période p ), ou une suite p- périodique , est une suite a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... satisfaisant

un _{n + p} = un _n

pour toutes les valeurs de n . Si une séquence est considérée comme une fonction dont le domaine est l'ensemble des nombres naturels , alors une séquence périodique est simplement un type spécial de fonction périodique . Le plus petit p pour lequel une séquence périodique est p- périodique est appelé sa plus petite période ou période exacte .

Exemples

Chaque fonction constante est 1-périodique.

La séquence est périodique avec au moins la période 2. ${\style d'affichage 1,2,1,2,1,2\points }$

La séquence de chiffres dans l' expansion décimale de 1/7 est périodique avec la période 6 :

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots }$

Plus généralement, la séquence de chiffres dans le développement décimal de tout nombre rationnel est éventuellement périodique (voir ci-dessous).

La séquence des puissances de -1 est périodique avec la période deux :

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\ldots }$

Plus généralement, la séquence des puissances de toute racine d'unité est périodique. Il en va de même pour les puissances de tout élément d' ordre fini dans un groupe .

Un point périodique pour une fonction f  : X → X est un point x dont l' orbite

${\style d'affichage x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }$

est une suite périodique. Ici, signifie la composition n fois de f appliquée à x . Les points périodiques sont importants dans la théorie des systèmes dynamiques . Chaque fonction d'un ensemble fini à elle-même a un point périodique ; la détection de cycle est le problème algorithmique de trouver un tel point. ${\style d'affichage f^{n}(x)}$

Identités

Sommes partielles

${\displaystyle \sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^ {homme}}$ Où k et m<p sont des nombres naturels.

Produits partiels

${\displaystyle \prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n}})^{k}*\prod _ {n=1}^{m}a_{n}}$ Où k et m<p sont des nombres naturels.

Périodique 0, 1 séquences

Toute séquence périodique peut être construite par addition, soustraction, multiplication et division élément par élément de séquences périodiques constituées de zéros et de uns. Les séquences périodiques de zéro et un peuvent être exprimées sous forme de sommes de fonctions trigonométriques :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}\cos(-\pi {\frac {n(k-1)}{1}})/1=1,1,1,1,1, 1,1,1,1...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}})/2=0,1,0,1,0, 1,0,1,0...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}})/3=0,0,1,0,0, 1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...}$

${\style d'affichage ...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}})/N=0,0,0...,1 {\text{ séquence avec point }}N}$

Généralisations

Une séquence est finalement périodique si elle peut être rendue périodique en supprimant un nombre fini de termes depuis le début. Par exemple, la séquence de chiffres dans l'expansion décimale de 1/56 est éventuellement périodique :

1 / 56 = 0 . 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...

Une suite est finalement périodique si elle satisfait la condition pour un certain r et un k suffisamment grand . ${\displaystyle a_{k+r}=a_{k}}$

Une suite est asymptotiquement périodique si ses termes se rapprochent de ceux d'une suite périodique. C'est-à-dire que la suite x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ , ... est asymptotiquement périodique s'il existe une suite périodique a ₁ ,  a ₂ ,  a ₃ , ... pour laquelle

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$

Par exemple, la séquence

1 / 3, 2 / 3, 1 / 4, 3 / 4, 1 / 5, 4 / 5, ...

est asymptotiquement périodique, puisque ses termes se rapprochent de ceux de la séquence périodique 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....

Les références