Podzbiór

W matematyce zbiór $B$ jest podzbiorem innego zbioru A $,$ jeśli wszystkie elementy $B$ również należą do $A.$ Następnie mówimy, że $B$ „zawiera się ” w $A.$

Definicja

Różnicę między zestawami tworzą elementy należące do jednego, a nie do pozostałych.
Inne sposoby na powiedzenie, że „ $B$ jest zawarte w $A$ ”, „ $A$ zawiera $B$ ” itp.

Przykłady.

„Zbiór wszystkich kobiet ” jest podzbiorem „zbioru wszystkich ludzi ”.

{1, 3} \subseteq {1, 2, 3, 4

}

{2, 4, 6, ...} \subseteq {1, 2, 3, ..} = N

( { Liczby parzyste } $\subseteq$ { Liczby naturalne } )

Parzysty podzbiór

Prawdą jest, że każdy element zbioru $A$ jest elementem $A$ (jest to twierdzenie tautologiczne ). Dlatego mamy następujące twierdzenie:

Każdy zbiór $A$ jest podzbiorem samego siebie.

Zatem, przy danych dwóch zbiorach $A \subseteq B$ , możliwe jest, że są one równe, $A = B$ .

Z drugiej strony możliwe jest również, że $A$ zawiera niektóre, ale nie wszystkie elementy $B$ :

Niech $A$ będzie podzbiorem $B$ takim, że $A \neq B$ . Wtedy mówi się, że $A$ jest właściwym podzbiorem $B$ i jest oznaczane przez $A ⊊ B.$
(Z kolei mówi się, że $B$ jest właściwym nadzbiorem $A$ , $B ⊋ A$ )

Prawdą jest, że wszystkie przedstawione powyżej przykłady podzbiorów są w rzeczywistości podzbiorami właściwymi.

Stosowany jest również zapis $A \subset B$ i $B \supset A$ , ale według autora może to oznaczać podzbiór $A \subseteq B$ i $B \supseteq A$ ; lub odpowiedni podzbiór , $A B$ i $B$ $⊋$ $A$ $.$ ^{[ 1} ]

Zestaw mocy

Całość podzbiorów danego zbioru $A$ stanowi tzw. zbiór potęgowy lub zbiór części zbioru $A$ :

Zbiór potęgowy $A$ jest zbiorem utworzonym przez wszystkie podzbiory $A$ :

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (A) = \ {B: \ B \ podseteq A \}}$

Gdy zbiór $A$ ma skończoną liczbę elementów, na przykład $| Do | = n$ , zbiór potęg jest również skończony i składa się z $2 n$ elementów.

Przykład. Biorąc pod uwagę zbiór $A = {a, b}$ , jego zbiór potęgowy to:

{\mathcal {P}}(A)=\{\pusty zestaw,\,\{a\},\,\{b\},\,\{a,b\}\}

Właściwości

Pusty zbiór , oznaczony $\emptyset$ , jest podzbiorem dowolnego zbioru.

Dzieje się tak, ponieważ „każdy element $\emptyset$ jest elementem $A$ ” oznacza to samo, co „ $\emptyset$ nie ma elementu, który jest w $A$ ” i jest to prawdą niezależnie od tego, co $jest$ , ponieważ $\emptyset$ nie ma elementów.

Jeżeli każdy element zbioru $A$ należy do innego zbioru $B$ , a każdy element $B$ należy do innego zbioru $C$ , to każdy element zbioru $A$ również należy do $C$ , czyli:

Mając trzy zbiory $A$ , $B$ i $C$ , jeśli $A$ jest podzbiorem $B$ i $B$ jest podzbiorem $C$ , to $A$ jest podzbiorem $C.$

Ponadto, jeśli dwa zbiory są podzbiorami siebie nawzajem, to wszyscy członkowie jednego są członkami drugiego i na odwrót. Wtedy oba zbiory mają te same elementy, a zbiory są definiowane tylko przez ich elementy, wtedy:

Jeśli $A$ jest podzbiorem $B$ , a $B$ jest podzbiorem $A$ , to $A = B.$

Właściwości zaawansowane

Relacja inkluzji ma te same właściwości co relacja nieścisłego porządku : jest zwrotna ( $A \subseteq A$ ); przechodnie ( $A \subseteq B$ i $B \subseteq C$ implikują $A \subseteq C$ ); a antysymetryczne ( $A \subset B$ i $B \subset A$ implikują $A = B$ ).

Bibliografia

Lipschutz, Seymour (1991). Teoria mnogości i tematy pokrewne . McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7 .

Zobacz także

Referencje

^ Lipschutz, 1991 , s. 3.

Linki zewnętrzne

Ta praca zawiera pochodne tłumaczenie „ Subset ” z angielskiej Wikipedii, wydane przez jej wydawców na licencji GNU Free Documentation License oraz Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License .

[1] Lipschutz, 1991 , s. 3.

[ 1