Részhalmaz

A matematikában egy $B$ halmaz egy másik A halmaz részhalmaza, $ha$ B halmaz minden $eleme$ is A -hoz tartozik $.$ Ekkor azt mondjuk, hogy $B$ "benne van " A- n belül $.$

Definíció

A halmazok közötti különbséget az egyikhez tartozó, a többihez nem tartozó elemek alkotják.
Más módon is lehet mondani, hogy " $B$ benne van $A$ -ban ", " $A$ magában foglalja $B$ -t " stb.

Példák.

Az „összes nő halmaza” a „minden ember halmazának” részhalmaza .

{1, 3} \subseteq {1, 2, 3, 4

}

{2, 4, 6, ...} \subseteq {1, 2, 3, ..} = N

( {Páros számok } $\subseteq$ { Természetes számok } )

Páros részhalmaz

Való igaz, hogy egy A halmaz minden eleme $A$ $eleme$ ( ez tautologikus állítás ). Ezért a következő tételt kapjuk:

Minden $A$ halmaz önmaga részhalmaza.

Így két $A \subseteq B$ halmaz esetén lehetséges, hogy egyenlők, $A = B$ .

Másrészt az is lehetséges, hogy $A tartalmazza$ $B$ néhány elemét, de nem az összeset :

Legyen $A$ $B$ olyan részhalmaza , amelyre $A \neq B$ . Ekkor $A$ - t $B$ megfelelő részhalmazának mondjuk , és $A$ $⊊$ $B$ - vel jelöljük . (Viszont $B$ - t $A$ , $B$ $⊋$ A megfelelő szuperhalmazának mondjuk $)$

Igaz, hogy az összes fent bemutatott részhalmaz-példa valójában megfelelő részhalmaz.

$Az A \subset B$ és $B \supset A$ jelölés is használatos , de ez a szerző szerint jelölheti a részhalmazt, $A \subseteq B$ és $B \supseteq A$ ; vagy megfelelő részhalmaz, $A ⊊ B$ és $B ⊋ A$ . ^{[ 1} ]

Teljesítménykészlet

Egy adott A halmaz $részhalmazainak$ összessége alkotja az úgynevezett $A$ hatványhalmazt vagy részhalmazokat :

Az A hatványkészlete az $A összes$ $részhalmaza$ által alkotott halmaz :

${\mathcal {P}}(A)=\{B:\,B\subseteq A\}$

Amikor az $A$ halmaznak véges számú eleme van, például $| To | = n$ , a hatványhalmaz is véges és $2 n$ elemű.

Példa. Adott az $A = {a, b} halmaz$ , a hatványkészlete a következő:

{\mathcal {P}}(A)=\{\emptyset ,\,\{a\},\,\{b\},\,\{a,b\}\}

Tulajdonságok

Az üres halmaz , amelyet $\emptyset$ -vel jelölünk , bármely halmaz részhalmaza.

Ez azért van így, mert „a $\emptyset minden eleme$ $A$ eleme ” ugyanazt jelenti, mint a „ $\emptyset$ -nek nincs olyan eleme, amely szerepel $A$ -ban ”, és ez igaz bármire $is$ , mivel $\emptyset$ -nek nincsenek elemei.

Ha egy A halmaz minden eleme egy $másik$ B halmazhoz $tartozik , és$ $B$ minden eleme egy másik $C halmazhoz, akkor$ $A$ halmaz minden tagja szintén $C$ halmazhoz tartozik , azaz:

Adott három $A$ , $B$ és $C$ halmaz , ha $A$ $B$ részhalmaza, $B$ pedig $C$ részhalmaza , akkor $A$ $C$ részhalmaza .

Továbbá, ha két halmaz egymás részhalmaza, akkor az egyik minden tagja a másiknak a tagja, és fordítva. Ekkor mindkét halmaznak ugyanazok az elemei vannak, és a halmazokat csak az elemeik határozzák meg, majd:

Ha $A$ $B$ részhalmaza, $B$ pedig $A$ részhalmaza , akkor $A$ $=$ $B.$

Speciális tulajdonságok

A befogadó relációnak ugyanazok a tulajdonságai, mint a nem szigorú rendű relációnak : reflexív ( $A \subseteq A$ ); tranzitív ( $A \subseteq B$ és $B \subseteq C$ azt jelenti, hogy $A \subseteq C$ ); és antiszimmetrikus ( $A \subset B$ és $B \subset A$ azt jelenti, hogy $A = B$ ).

Bibliográfia

Lipschutz, Seymour (1991). Halmazelmélet és kapcsolódó témák . McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7 .

Lásd még

Hivatkozások

^ Lipschutz, 1991 , p. 3.

Külső linkek

Ez a munka az angol Wikipédiából származó " Subset " származékos fordítását tartalmazza , amelyet kiadói adnak ki a GNU Free Documentation License és a Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License alapján .

[1] Lipschutz, 1991 , p. 3.

[ 1