Teilmenge

In der Mathematik ist eine Menge $B$ eine Teilmenge einer anderen Menge $A$ , wenn alle Elemente von $B$ auch zu $A gehören.$ Wir sagen dann, dass $B$ in $A$ „enthalten “ ist.

Definition

Der Unterschied zwischen den Mengen wird durch Elemente gebildet, die zu einer und nicht zu den anderen gehören.
Andere Formulierungen sind " $B$ ist in $A$ enthalten ", " $A$ enthält $B$ " usw.

Beispiele.

Die „Menge aller Frauen “ ist eine Teilmenge der „Menge aller Menschen “.

{1, 3} \subseteq {1, 2, 3, 4

}

{2, 4, 6, ...} \subseteq {1, 2, 3, ...} = N

( {Gerade Zahlen } $\subseteq$ { Natürliche Zahlen } )

Gerade Teilmenge

Es ist wahr, dass jedes Element einer Menge $A$ ein Element von $A$ ist (es ist eine tautologische Aussage ). Daher haben wir folgenden Satz:

Jede Menge $A$ ist eine Teilmenge von sich selbst.

Wenn also zwei Mengen $A \subseteq B$ gegeben sind, ist es möglich, dass sie gleich sind, $A = B$ .

Andererseits ist es auch möglich, dass $A$ einige, aber nicht alle Elemente von $B$ enthält :

Sei $A$ eine Teilmenge von $B$ mit $A \neq B$ . Dann heißt $A$ echte Teilmenge von $B$ und wird mit A $⊊$ $B bezeichnet .$
( $B$ heißt wiederum eine echte Obermenge von $A$ , $B ⊋ A$ )

Es ist wahr, dass alle oben gezeigten Teilmengen-Beispiele tatsächlich echte Teilmengen sind.

Die Notation $A \subset B$ und $B \supset A$ wird ebenfalls verwendet , aber nach Angaben des Autors kann dies eine Teilmenge, $A \subseteq B$ und $B \supseteq A$ bezeichnen ; oder echte Teilmenge, $A ⊊ B$ und $B ⊋ A$ . ^{[ 1} ]

Kraftsatz

Die Gesamtheit der Teilmengen einer gegebenen Menge $A$ bildet die sogenannte Potenzmenge oder Teilmenge von $A$ :

Die Potenzmenge von $A$ ist die Menge, die durch alle Teilmengen von $A$ gebildet wird :

${\mathcal {P}}(A)=\{B:\,B\subseteq A\}$

Wenn die Menge $A$ eine endliche Anzahl von Elementen hat, zum Beispiel $| An | = n$ ist auch die Potenzmenge endlich und hat $2 n$ Elemente.

Beispiel. Wenn die Menge $A = {a, b}$ gegeben ist, ist ihre Potenzmenge:

{\mathcal {P}}(A)=\{\emptyset ,\,\{a\},\,\{b\},\,\{a,b\}\}

Eigenschaften

Die leere Menge , bezeichnet mit $\emptyset$ , ist eine Teilmenge jeder Menge.

Denn «jedes Element von $\emptyset$ ist ein Element von $A$ » bedeutet dasselbe wie « $\emptyset$ hat kein Element, das in $A$ ist », und dies gilt unabhängig davon, was $A$ ist, da $\emptyset$ keine Elemente hat.

Wenn jedes Element einer Menge $A$ zu einer anderen Menge $B$ gehört und jedes Element von $B$ zu einer anderen Menge $C$ gehört , dann gehört jedes Mitglied von $A$ auch zu $C$ , das heißt:

Wenn bei drei gegebenen Mengen A $,$ B $und$ C $A$ $eine$ Teilmenge von $B$ und $B$ eine Teilmenge von $C$ ist, dann ist $A$ eine Teilmenge von $C .$

Wenn zwei Mengen Teilmengen voneinander sind, dann sind alle Mitglieder der einen auch Mitglieder der anderen und umgekehrt. Dann haben beide Mengen dieselben Elemente, und die Mengen sind nur durch ihre Elemente definiert, dann gilt:

Wenn $A$ eine Teilmenge von $B$ und $B$ eine Teilmenge von $A$ ist, dann ist $A = B.$

Erweiterte Eigenschaften

Die Inklusionsrelation hat die gleichen Eigenschaften wie die nicht strenge Ordnungsrelation : sie ist reflexiv ( $A \subseteq A$ ); transitiv ( $A \subseteq B$ und $B \subseteq C$ implizieren $A \subseteq C$ ); und antisymmetrisch ( $A \subset B$ und $B \subset A$ implizieren $A = B$ ).

Bibliographie

Lipschutz, Seymour (1991). Mengenlehre und verwandte Themen . McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7 .

Siehe auch

Referenzen

^ Lipschutz, 1991 , p. 3.

Externe Links

Dieses Werk enthält eine abgeleitete Übersetzung von „ Subset “ aus der englischen Wikipedia, veröffentlicht von seinen Herausgebern unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation und der Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License .

[1] Lipschutz, 1991 , p. 3.

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