Funkcja zestawu subaddytywnego - Subadditive set function

W matematyce podaddytywna funkcja zbioru to funkcja zbioru, której wartość nieformalnie ma tę właściwość, że wartość funkcji na sumie dwóch zbiorów jest co najwyżej sumą wartości funkcji na każdym ze zbiorów. Jest to tematycznie związane z właściwością subaddytywności funkcji o wartościach rzeczywistych.

Definicja

Pozwolić być zestaw i być zestaw funkcji , gdzie oznacza zestaw zasilający z . Funkcja f jest subaddytywna, jeśli mamy dla każdego podzbioru i of . ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle f \ colon 2 ^ {\ Omega} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 2 ^ {\ Omega}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle f (S) + f (T) \ geq f (S \ miseczka T)}$

Przykłady funkcji podaddytywnych

Każda nieujemna funkcja zbioru submodularnego jest subaddytywna (rodzina nieujemnych funkcji submodularnych jest ściśle zawarta w rodzinie funkcji podaddytywnych).

Funkcja zliczająca liczbę zestawów wymaganych do pokrycia danego zbioru jest podaddytywna. Niech takie to . Zdefiniuj jako minimalną liczbę podzbiorów wymaganą do pokrycia danego zbioru. Formalnie jest to minimalna liczba taka, że ​​są zestawy spełniające . Wtedy jest podaddytywny. ${\ Displaystyle T_ {1}, \ dotsc, T_ {m} \ subseteq \ Omega}$${\ displaystyle \ cup _ {i = 1} ^ {m} T_ {i} = \ Omega}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (S)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle T_ {i_ {1}}, \ dotsc, T_ {i_ {t}}}$${\ displaystyle S \ subseteq \ cup _ {j = 1} ^ {t} T_ {i_ {j}}}$${\ displaystyle f}$

Maksymalnie od dodatków wymienionych funkcji jest subadditive (podwójnie The minimum funkcji dodatku jest superaddytywne ). Formalnie dla każdego niech będą addytywne funkcje zbioru. Następnie jest subaddytywną funkcją zbioru. ${\ Displaystyle ja \ in \ {1, \ dotsc, m \}}$${\ Displaystyle a_ {i} \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R} _ {+}}$${\ Displaystyle f (S) = \ max _ {i} \ lewo (\ suma _ {x \ w S} a_ {i} (x) \ prawej)}$

Ułamkowe subaddytywne funkcje zbiorów są uogólnieniem funkcji submodułowych i specjalnym przypadkiem funkcji podaddytywnych. Funkcja podaddytywna jest ponadto subaddytywna ułamkowo, jeśli spełnia następującą definicję. Dla każdego , każdego i każdego , jeśli to . Zbiór funkcji subaddytywnych ułamkowo równa się zestawowi funkcji, które można wyrazić jako maksimum funkcji addytywnych, jak w przykładzie w poprzednim akapicie. ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle S \ subseteq \ Omega}$${\ Displaystyle X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \ subseteq \ Omega}$${\ Displaystyle \ alfa _ {1}, \ dotsc, \ alfa _ {n} \ w [0,1]}$${\ Displaystyle 1_ {S} \ równoważnik \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ alfa _ {i} 1_ {X_ {i}}}$${\ Displaystyle f (S) \ równoważnik \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ alfa _ {i} f (X_ {i})}$

Zobacz też

• Submodularna funkcja zestawu
• Funkcje użytkowe na dóbr niepodzielnych

Cytaty