Aladditív halmazfüggvény - Subadditive set function

A matematika, a szubadditív beállított funkció egy sor funkciót , amelynek értéke, informálisan, az a tulajdonsága, hogy az érték a funkció az unió két legfeljebb az összeg függvény értékei az egyes halmazok. Ez tematikusan kapcsolódik a valós értékű függvények szubadditivitási tulajdonságához.

Meghatározás

Hagy egy sor és egy sor funkciót , ahol jelöli áramfejlesztőt az . A függvény f jelentése szubadditív ha minden részhalmaza és a , van . ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle f \ kettőspont 2 ^ {\ Omega} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 2 ^ {\ Omega}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle f (S) + f (T) \ geq f (S \ cup T)}$

Példák szubadditív függvényekre

Minden nem negatív szubmoduláris halmazfüggvény szubadditív (a nem negatív szubmoduláris függvények családja szigorúan a szubadditív függvények családjába tartozik).

Az a függvény, amely megszámolja az adott halmaz lefedéséhez szükséges halmazok számát, al additív. Legyen ilyen . Adja meg az adott halmaz lefedéséhez szükséges részhalmazok minimális számát. Formálisan a minimális szám , amely kielégíti a halmazokat . Akkor aladditív. ${\ displaystyle T_ {1}, \ dotsc, T_ {m} \ subseteq \ Omega}$${\ displaystyle \ cup _ {i = 1} ^ {m} T_ {i} = \ Omega}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (S)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle T_ {i_ {1}}, \ dotsc, T_ {i_ {t}}}$${\ displaystyle S \ subseteq \ cup _ {j = 1} ^ {t} T_ {i_ {j}}}$${\ displaystyle f}$

A legnagyobb az adalékanyag beállított funkciók az szubadditív (lyében, a minimális adalék funkciók szuperadditív ). Formálisan minden , hadd legyen additív beállított funkciók. Ezután egy szubadditív halmazfüggvény. ${\ displaystyle i \ in \ {1, \ dotsc, m \}}$${\ displaystyle a_ {i} \ kettőspont \ Omega \ to \ mathbb {R} _ {+}}$${\ displaystyle f (S) = \ max _ {i} \ bal (\ sum _ {x \ in S} a_ {i} (x) \ jobb)}$

A tört szubadditív halmazfüggvények a szubmoduláris függvények általánosítása és a szubadditív függvények speciális esete. Egy aladditív függvény továbbá frakcionálisan szubadditív, ha megfelel a következő definíciónak. Minden , minden , minden , ha , akkor . A törtrészes szubadditív függvények halmaza megegyezik az additív függvények maximálisaként kifejezhető függvénykészlettel, az előző bekezdésben bemutatott példához hasonlóan. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S \ subseteq \ Omega}$${\ displaystyle X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \ subseteq \ Omega}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dotsc, \ alpha _ {n} \ in [0,1]}$${\ displaystyle 1_ {S} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} 1_ {X_ {i}}}$${\ displaystyle f (S) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} f (X_ {i})}$

Lásd még

• Szubmoduláris halmazfüggvény
• Segédfunkciók oszthatatlan árukon

Idézetek