Underadditiv settfunksjon - Subadditive set function

I matematikk, et subadditiv sett funksjon er et sett funksjon som har en verdi en, vanligvis, har den egenskapen at verdien av funksjonen på foreningen av to sett er høyst summen av verdiene av funksjonen på hvert av settene. Dette er tematisk relatert til underadditivitetsegenskapen til virkelig verdsatte funksjoner.

Definisjon

La være et sett og være et sett funksjon , der betegner kraft sett av . Funksjonen f er underadditiv hvis vi har for hver delmengde og av . ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle f \ colon 2 ^ {\ Omega} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 2 ^ {\ Omega}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle f (S) + f (T) \ geq f (S \ cup T)}$

Eksempler på subadditive funksjoner

Hver ikke-negative submodulære settfunksjon er underadditiv (familien av ikke-negative submodulære funksjoner er strengt tatt med i familien av subadditive funksjoner).

Funksjonen som teller antall sett som kreves for å dekke et gitt sett er underadditiv. La slikt det . Definer som minimum antall delmengder som kreves for å dekke et gitt sett. Formelt sett er minimumsantallet slik at det er sett tilfredsstillende . Da er underadditiv. ${\ displaystyle T_ {1}, \ dotsc, T_ {m} \ subseteq \ Omega}$${\ displaystyle \ cup _ {i = 1} ^ {m} T_ {i} = \ Omega}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (S)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle T_ {i_ {1}}, \ dotsc, T_ {i_ {t}}}$${\ displaystyle S \ subseteq \ cup _ {j = 1} ^ {t} T_ {i_ {j}}}$${\ displaystyle f}$

Den maksimale av tilsetnings innstilte funksjonene er subadditiv (dobbeltkrum, den minste er additive funksjoner superadditiv ). Formelt sett, for hver , la være tilleggsfunksjoner. Deretter er en underadditiv settfunksjon. ${\ displaystyle i \ in \ {1, \ dotsc, m \}}$${\ displaystyle a_ {i} \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R} _ {+}}$${\ displaystyle f (S) = \ max _ {i} \ left (\ sum _ {x \ in S} a_ {i} (x) \ right)}$

Fraksjonelt subadditive settfunksjoner er en generalisering av submodulære funksjoner og et spesielt tilfelle av subadditive funksjoner. En underadditiv funksjon er videre fraksjonelt subadditiv hvis den tilfredsstiller følgende definisjon. For hver , hver og enhver , hvis , da . Settet med brøkdeler underadditive funksjoner er lik funksjonssettet som kan uttrykkes som det maksimale antallet additivfunksjoner, som i eksemplet i forrige avsnitt. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S \ subseteq \ Omega}$${\ displaystyle X_ {1}, \ dotsc, X_ {n} \ subseteq \ Omega}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dotsc, \ alpha _ {n} \ in [0,1]}$${\ displaystyle 1_ {S} \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} 1_ {X_ {i}}}$${\ displaystyle f (S) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} f (X_ {i})}$

Se også

• Submodulær settfunksjon
• Verktøy fungerer på udelelige varer

Sitater