Jądro Poissona - Poisson kernel

W matematyce, a konkretnie w teorii potencjału , jądro Poissona jest jądrem całkowym , używanym do rozwiązywania dwuwymiarowego równania Laplace'a , biorąc pod uwagę warunki brzegowe Dirichleta na dysku jednostkowym . Jądro można rozumieć jako pochodną funkcji Greena dla równania Laplace'a. Jego nazwa pochodzi od Siméona Poissona .

Jądra Poissona powszechnie znajdują zastosowanie w teorii sterowania i problemach dwuwymiarowych w elektrostatyce . W praktyce definicja jąder Poissona jest często rozszerzana na zagadnienia n- wymiarowe.

Dwuwymiarowe jądra Poissona

Na płycie urządzenia

W płaszczyźnie zespolonej jądro Poissona dla dysku jednostkowego dane jest wzorem

${\ Displaystyle P_ {R} (\ theta) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} r ^ {| n |} e ^ {w \ theta} = {\ Frac {1-r ^ {2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operatorname {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i \theta }}}\prawo),\ \ \ 0\leq r<1.}$

Można to traktować na dwa sposoby: albo jako funkcję r i θ , albo jako rodzinę funkcji θ indeksowanych przez r .

Jeżeli jest otwartą jednostką dysku w C , T jest granicą dysku, a f jest funkcją na T, która leży w L ¹ ( T ), to funkcja u dana przez ${\ Displaystyle D = \ {z: | z | <1 \}}$

${\ Displaystyle u (re ^ {i \ theta}) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} P_ {R} (\ theta -t) f (e^{it})\,\mathrm {d} t,\ \ \ 0\leq r<1}$

jest harmoniczna w D i ma granicę promieniową, która zgadza się z f prawie wszędzie na granicy T dysku.

To, że wartość graniczna u wynosi f, można argumentować za pomocą faktu, że jako r → 1, funkcje P _r ( θ ) tworzą przybliżoną jednostkę w algebrze splotów L ¹ ( T ). Jako operatory liniowe, dążą do delta Diraca punktowo na L ^p ( T ). Przez zasady maksimum , u to jedyny taki funkcją harmoniczną na D .

Sploty z tą przybliżoną jednostką dają przykład jądra sumowalności dla szeregu Fouriera funkcji w L ¹ ( T ) ( Katznelson 1976 ). Niech f ∈ L ¹ ( T ) ma szereg Fouriera { f _k }. Po przekształceniu Fouriera splot z P _r ( θ ) staje się mnożeniem przez ciąg { r ^|k| } ∈ £ -l ¹ ( Z ). Biorąc odwrotną transformatę Fouriera otrzymanego produktu { r ^|k| f _k } daje Abel średnią A _r f z f :

${\ Displaystyle A_ {R} f (e ^ {2 \ pi ix}) = \ suma _ {k \ w \ mathbb {Z}} f_ {k} r ^ {| k |} e ^ {2 \ pi IKX }.}$

Przekształcenie tego absolutnie zbieżnego szeregu pokazuje, że f jest wartością brzegową g + h , gdzie g (odp. h ) jest funkcją holomorficzną (odp. antyholomorficzną ) na D .

Gdy prosi się również o holomorficzne rozszerzenie harmoniczne, to rozwiązania są elementami przestrzeni Hardy'ego . Dzieje się tak, gdy znikają ujemne współczynniki Fouriera f all. W szczególności jądro Poissona jest powszechnie używane do wykazania równoważności przestrzeni Hardy'ego na dysku jednostkowym i okręgu jednostkowym.

Przestrzeń funkcji, które są granicami T funkcji w H ^p ( z ) można nazwać H ^p ( T ). Jest to zamknięta podprzestrzeń L ^p ( T ) (przynajmniej dla p  ≥ 1). Ponieważ L ^p ( T ) jest przestrzenią Banacha (dla 1 ≤  p  ≤ ∞), tak samo jest z H ^p ( T ).

Na górnej półpłaszczyźnie

Dyskowym może wiernie odwzorowywane na górnej półpłaszczyźnie za pomocą pewnych przekształceń MöBIUS . Ponieważ mapa konforemna funkcji harmonicznej jest również harmoniczna, jądro Poissona przenosi się do górnej półpłaszczyzny. W tym przypadku równanie całkowe Poissona przyjmuje postać

${\ Displaystyle u (x + iy) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} P_ {y} (xt) f (t) \ dt \ qquad y> 0.}$

Samo jądro jest podane przez

${\ Displaystyle P_ {y} (x) = {\ Frac {1} {\ pi}} {\ Frac {y} {x ^ {2} + Y ^ {2}}}.}$

Ze względu na funkcję , w L ^p przestrzeni funkcji zabudowy na prostej, u może być rozumiana jako harmonicznego rozszerzenia F w górnej połowie płaszczyzny. Analogicznie do sytuacji dla dysku, gdy u jest holomorficzny w górnej półpłaszczyźnie, to u jest elementem przestrzeni Hardy'ego, a w szczególności ${\ Displaystyle f \ w L ^ {p} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle H ^ {p}}$

${\ Displaystyle \ | u \ | _ {H ^ {p}} = \ | f \ | _ {L ^ {p}}}$

Zatem znowu przestrzeń Hardy'ego H ^p na górnej półpłaszczyźnie jest przestrzenią Banacha , a w szczególności jej ograniczeniem do osi rzeczywistej jest podprzestrzeń zamknięta . Sytuacja jest tylko analogiczna jak w przypadku dysku jednostkowego; miarą Lebesgue'a na okręgu jednostkowym jest skończony, podczas gdy na prostej rzeczywistej nie jest. ${\ Displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R}).}$

Na piłce

Dla kuli promieniowej jądro Poissona przyjmuje postać ${\ Displaystyle R, B_ {R} \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle P (x, \ zeta) = {\ Frac {r ^ {2} - | x | ^ {2}} {r \ omega _ {n-1} | x \ zeta | ^ {n}} }}$

gdzie (powierzchnia ) i jest  polem powierzchni jednostki ( n − 1)-kula . ${\ Displaystyle x \ w B_ {r} \ zeta \ w S}$${\displaystyle B_{r}}$${\ Displaystyle \ omega _ {n-1}}$

Następnie, jeśli u ( x ) jest funkcją ciągłą określoną na S , odpowiadająca całka Poissona jest funkcją P [ u ] ( x ) określoną przez

${\ Displaystyle P [u] (x) = \ int _ {S} u (\ zeta) P (x, \ zeta) \ d \ sigma (\ zeta).}$

Można wykazać, że P [ u ]( x ) jest harmoniczne na kuli i że P [ u ]( x ) rozciąga się do funkcji ciągłej na kuli zamkniętej o promieniu r , a funkcja brzegowa pokrywa się z pierwotną funkcją  u . ${\displaystyle B_{r}}$

Na górnej półprzestrzeni

Można również otrzymać wyrażenie dla jądra Poissona na górną półprzestrzeń . Oznacz standardowe współrzędne kartezjańskie ^{n +1} by

${\ Displaystyle (t, x) = (t, x_ {1}, \ kropki, x_ {n}).}$

Górna półprzestrzeń to zbiór określony przez

${\ Displaystyle H ^ {n + 1} = \ {(t; x) \ w \ mathbb {R} ^ {n + 1} \ średni t> 0 \}.}$

Jądro Poissona dla H ^{n +1} jest podane przez

${\ Displaystyle P (t, x) = c_ {n} {\ Frac {t} {(t ^ {2} + \ | x \ | ^ {2}) ^ {(n + 1) / 2}}} }$

gdzie

${\ Displaystyle C_ {n} = {\ Frac {\ Gamma [(n + 1) / 2]} {\ pi ^ {(n + 1) / 2}}}.}$

Jądro Poissona dla górnej półprzestrzeni pojawia się naturalnie jako transformata Fouriera w jądrze Abel

${\ Displaystyle K (t \ xi ) = e ^ {-2 \ pi t | \ xi |}}$

w którym t przyjmuje rolę parametru pomocniczego. To znaczy,

${\ Displaystyle P (t, x) = {\ mathcal {F}} (K (t \ cdot)) (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {-2 \ pi t|\xi |}e^{-2\pi i\xi \cdot x}\,d\xi .}$

W szczególności z właściwości transformaty Fouriera jasno wynika, że ​​przynajmniej formalnie splot

${\ Displaystyle P [u] (t, x) = [P (t, \ cdot ) * u] (x)}$

jest rozwiązaniem równania Laplace'a w górnej półpłaszczyźnie. Można również pokazać, że jako t  → 0, P [ u ]( t , x ) →  u ( x ) w odpowiednim sensie.

Zobacz też

• Wzór na całkę Schwarza

Bibliografia

• Katznelson, Icchak (1976), Wprowadzenie do analizy harmonicznych , Dover, ISBN 0-486-63331-4
• Conway, John B. (1978), Funkcje jednej zmiennej złożonej I , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3.
• Osra, S.; Bourdon, P.; Ramey, W. (1992), Teoria funkcji harmonicznych , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7.
• Król Fryderyk W. (2009), Hilbert Transforms Cz. I , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88762-5.
• Stein, Eliasz ; Weiss, Guido (1971), Wprowadzenie do analizy Fouriera na przestrzeniach euklidesowych , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Weisstein, Eric W. „Jądro Poissona” . MatematykaŚwiat .
• Gilbarg, D .; Trudinger, N. , eliptyczne równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu , ISBN 3-540-41160-7.