Poisson kernel - Poisson kernel

A matematikában, és különösképpen a potenciálelméletben , a Poisson-kernel egy integrális kernel , amelyet a kétdimenziós Laplace-egyenlet megoldására használnak , adott Dirichlet-határfeltételek mellett az egységlemezen . A kern úgy értelmezhető, mint a Green Laplace-egyenletre vonatkozó függvényének a származéka . Siméon Poisson névre hallgat .

A Poisson-kernek általában a vezérléselméletben és kétdimenziós problémákra talál az elektrosztatikában . A gyakorlatban a Poisson-kernek definícióját gyakran n- dimenziós problémákra is kiterjesztik .

Kétdimenziós Poisson-magok

Az egységlemezen

A komplex síkban az egységlemez Poisson-kernjét adja meg

${\ displaystyle P_ {r} (\ theta) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} r ^ {| n |} e ^ {in \ theta} = {\ frac {1-r ^ {2}} {1-2r \ cos \ theta + r ^ {2}}} = \ operátornév {Re} \ balra ({\ frac {1 + re ^ {i \ theta}} {1-re ^ {i \ theta}}} \ right), \ \ \ 0 \ leq r <1.}$

Ezt lehet úgy, kétféleképpen: vagy függvényében r és θ , vagy egy család funkcióinak θ indexelt r .

Ha a nyitott egység lemez a C , T a határ az a lemez, valamint az F függvény a T , hogy abban rejlik, L ¹ ( T ), akkor a függvény u által adott ${\ displaystyle D = \ {z: | z | <1 \}}$

${\ displaystyle u (re ^ {i \ theta}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} P_ {r} (\ theta -t) f (e ^ {it}) \, \ mathrm {d} t, \ \ \ 0 \ leq r <1}$

van harmonikus a D és egy radiális határértéket, amely egyetért f majdnem mindenütt határán T a lemez.

Ez a határ értékét u jelentése F állítható, a tény, hogy az R → 1, a funkciók P _r ( θ ) képeznek közelítő egységet a konvolúciós algebra L ¹ ( T ). Lineáris operátorként hajlamosak a Dirac delta függvényre az L ^p ( T ) pontonként . A maximum-elv , u az egyetlen ilyen harmonikus függvény D .

Convolutions a fenti közelítő egységgel ad példát egy Summability kernel a Fourier-sor egy funkció L ¹ ( T ) ( Katznelson 1976 ). Legyen f ∈ L ¹ ( T ) Fourier-sorozat { f _k }. A Fourier-transzformáció után a P _r-vel ( conv ) való konvolúció a { r ^{| k |} szekvenciával szorozódik } ∈ ℓ ¹ ( Z ). A kapott termék inverz Fourier-transzformációjának felvétele { r ^{| k |} f _k } adja a Abel azt jelenti, A _r f a f :

${\ displaystyle A_ {r} f (e ^ {2 \ pi ix}) = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} f_ {k} r ^ {| k |} e ^ {2 \ pi ikx }.}$

Ennek az abszolút konvergens sorozatnak az átrendezése azt mutatja, hogy f a g + h határértéke , ahol g (ill. H ) holomorf (ill. Antiholomorf ) függvény D-n .

Amikor az ember azt is kéri, hogy a harmonikus kiterjesztés holomorf legyen, akkor a megoldások egy Hardy-tér elemei . Ez akkor igaz, ha az f negatív Fourier-együtthatói eltűnnek. Különösen a Poisson kernelt használják általában az egységlemezen lévő Hardy-terek és az egységkör ekvivalenciájának bemutatására.

A H ^p ( z ) függvények T határértékét jelentő függvények terét H ^p ( T ) -nek nevezhetjük . Ez egy L ^p ( T ) zárt altere (legalábbis p  ≥ 1 esetén). Mivel L ^p ( T ) egy Banach-tér (1 ≤  p  ≤ ∞ esetén), így H ^p ( T ) is.

A felső félsíkon

A készülék lemez lehet konformszimmetrikus leképezve a felső fél-sík révén bizonyos Möbius transzformációk . Mivel a harmonikus függvény konformális térképe is harmonikus, a Poisson-kernek átkerül a felső félsíkra. Ebben az esetben a Poisson-integrálegyenlet alakot ölt

${\ displaystyle u (x + iy) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} P_ {y} (xt) f (t) \, dt, \ qquad y> 0.}$

Magát a kernelt az adja

${\ displaystyle P_ {y} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}$

Adott egy függvény , az integrálható függvények L ^p- tere a valós vonalon, u az f harmonikus kiterjesztéseként értelmezhető a felső félsíkba. A lemez helyzetéhez hasonlóan, amikor u holomorf a felső félsíkban, akkor u a Hardy tér eleme, és különösen: ${\ displaystyle f \ in L ^ {p} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle H ^ {p},}$

${\ displaystyle \ | u \ | _ {H ^ {p}} = \ | f \ | _ {L ^ {p}}}$

Így ismét, a Hardy tér H ^p a felső fél-sík egy Banach tér , és különösen, restrikciós a valódi tengelynek van egy zárt altér A helyzet csak analóg esetében az egység lemez; az egység körre vonatkozó Lebesgue-mérték véges, míg a valós vonalé nem. ${\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R}).}$

A labdán

A sugárgömb számára a Poisson-mag formát ölt ${\ displaystyle r, B_ {r} \ subset \ mathbb {R} ^ {n},}$

${\ displaystyle P (x, \ zeta) = {\ frac {r ^ {2} - | x | ^ {2}} {r \ omega _ {n-1} | x- \ zeta | ^ {n}} }}$

ahol (a felület ), és a felülete a készülék ( n  - 1) -sphere . ${\ displaystyle x \ in B_ {r}, \ zeta \ in S}$${\ displaystyle B_ {r}}$${\ displaystyle \ omega _ {n-1}}$

Ekkor, ha u ( x ) az S-n definiált folytonos függvény , a megfelelő Poisson-integrál a P [ u ] ( x ) függvény, amelyet

${\ displaystyle P [u] (x) = \ int _ {S} u (\ zeta) P (x, \ zeta) \, d \ sigma (\ zeta).}$

Megmutatható, hogy P [ u ] ( x ) harmonikus a golyón, és hogy P [ u ] ( x ) a zárt r sugarú zárt gömbön folytonos funkcióra terjed ki , és a határfüggvény egybeesik az eredeti u függvénnyel  . ${\ displaystyle B_ {r}}$

A felső féltérben

Kaphatunk egy kifejezést a felső féltér Poisson-kerneljére is. Jelöljük a standard derékszögű koordinátái ℝ ^{n +1} által

${\ displaystyle (t, x) = (t, x_ {1}, \ pontok, x_ {n}).}$

A felső féltér az által meghatározott halmaz

${\ displaystyle H ^ {n + 1} = \ {(t; x) \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1} \ t t> 0 \}.}$

A Poisson rendszermag H ^{n +1} adják

${\ displaystyle P (t, x) = c_ {n} {\ frac {t} {(t ^ {2} + \ | x \ | ^ {2}) ^ {(n + 1) / 2}}} }$

hol

${\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {\ Gamma [(n + 1) / 2]} {\ pi ^ {(n + 1) / 2}}}.}$

A felső féltér Poisson-rendszermagja természetesen az Abel-mag Fourier-transzformációjaként jelenik meg

${\ displaystyle K (t, \ xi) = e ^ {- 2 \ pi t | \ xi |}}$

amelyben t felveszi egy segédparaméter szerepét. Esze szerint

${\ displaystyle P (t, x) = {\ mathcal {F}} (K (t, \ cdot)) (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- 2 \ pi t | \ xi |} e ^ {- 2 \ pi i \ xi \ cdot x} \, d \ xi.}$

Különösen a Fourier-transzformáció tulajdonságaiból világosan kitűnik, hogy legalább formálisan a konvolúció

${\ displaystyle P [u] (t, x) = [P (t, \ cdot) * u] (x)}$

a Laplace-egyenlet megoldása a felső félsíkon. Megmutatható az is, hogy t  → 0, P [ u ] ( t , x ) →  u ( x ) megfelelő értelemben.

Lásd még

• Schwarz integrálképlete

Hivatkozások

• Katznelson, Yitzhak (1976), Bevezetés a harmonikus elemzésbe , Dover, ISBN 0-486-63331-4
• Conway, John B. (1978), Az I. komplex változó funkciói , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3.
• Axler, S .; Bourdon, P .; Ramey, W. (1992), Harmonikus funkcióelmélet , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7.
• King, Frederick W. (2009), Hilbert Transforms Vol. Én , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88762-5.
• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Bevezetés az euklideszi űrök Fourier-elemzésébe , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Weisstein, Eric W. "Poisson Kernel" . MathWorld .
• Gilbarg, D .; Trudinger, N. , Másodrendű elliptikus részleges differenciálegyenletek , ISBN 3-540-41160-7.