Dysk Unit - Unit disk

Otwarte dysk jednostka euklidesowa

W matematyce , z otwartym dyskowego (lub płyty ) wokół P (gdzie P jest do określonego punktu w płaszczyźnie ) jest zbiorem punktów, których odległość od P jest mniejszy niż 1:

${\ Displaystyle D_ {1} (P) = \ P {. \ Vert PQ \ Vert <1 \} \}$

Zamknięty dyskowym wokół P jest zbiorem punktów, których odległość od P jest mniejszy niż lub równy jedności:

${\ Displaystyle {\ bar {D}} _ {1} (P) = \ P {.: | PQ | \ równoważnik 1 \} \}$

Dyski są jednostkowe przypadki specjalne dyski i kul jednostkowych ; jako takie zawierają wnętrza okręgu jednostkowego , a w przypadku zamkniętego dyskowego, samego okręgu jednostkowym.

Bez dalszych szczegółów, termin dysk jednostka służy do otwartego dysku jednostkowego temat pochodzenia , w odniesieniu do norma euklidesowa metryczny . To wnętrze okręgu o promieniu 1 i środku w początku układu współrzędnych. Ten zestaw może być zidentyfikowany ze zbiorem wszystkich liczb zespolonych o wartości bezwzględnej mniejszej niż jeden. Przy obserwacji jako podzbiór płaszczyzny zespolonej ( C ), napędem dyskowym jest często oznaczany . ${\ Displaystyle D_ {1} (0)}$${\ Displaystyle \ mathbb {D}}$

Otwarta dysk jednostka, samolot, a górna połowa-plane

Funkcja

${\ Displaystyle F (z) = {\ Frac {Z} {1- | s | ^ {2}}}}$

Jest to przykład rzeczywistego analityczne i bijective zależności od otwartego dyskowego płaszczyzny; jego odwrotność jest również funkcja analityczna. Uważane jako prawdziwy 2-wymiarową analitycznej kolektora otwarta dyskowym zatem izomorficzna całej płaszczyźnie. W szczególności, urządzenie jest otwarte dysk homeomorficzny do całej płaszczyźnie.

Nie ma jednak konformalna bijective map pomiędzy otwartym dysku jednostkowej i samolotu. Uważane za powierzchnią Riemanna otwarta dyskowym jest odmienna od płaszczyzny zespolonej .

Istnieje konformalne mapy bijective pomiędzy otwartym dysku jednostkowej i otwartej górnej półpłaszczyźnie . Tak więc uważa się za powierzchnią Riemanna otwarta dyskowym jest izomorficzny ( „biholomorphic” lub „wiernie odpowiednik”) do górnej półpłaszczyźnie, a dwa są często używane zamiennie.

Znacznie bardziej ogólnie, mapowanie Twierdzenie Riemanna mówi, że każdy po prostu połączone otwartym podzbiorem od płaszczyzny zespolonej, która jest różna od samej płaszczyźnie zespolonej przyznaje się ochronnej iw bijective mapę do otwartego dysku urządzenia.

Jeden bijective konformalna mapa z otwartym dysku urządzenia do otwartej górnej półpłaszczyźnie jest transformacja Möbiusa

${\ Displaystyle g (z) = I {\ Frac {1 + Z} {1-ij}}}$   który jest odwrotnością Cayley przekształcać .

Geometrycznie, można sobie wyobrazić, oś rzeczywista jest wygięte i zmniejszył tak, że w górnej części w płaszczyźnie staje się twardy wnętrzem i oś rzeczywista tworzy obwód dysku jest, z wyjątkiem jednego punktu na górze „punktu w nieskończoności.” Bijective dopasowaną mapę z otwartym dyskowego do otwartej górnej półpłaszczyźnie może być również wykonana jako złożenie dwóch stereograficznych występami : pierwszy krążek urządzenie stereographically przewidywanego góry na urządzenie górnej półkuli, biorąc „południowy biegun "w sferze jednostkowej jako centrum projekcyjnej, a następnie ten półkulistej jest rzutowany na boki na pionową pół-płaszczyzny stycznej do kuli, z punktu na półkuli przeciwległej do punktu dotykania jako środka projekcyjnej.

Napędem dyskowym, a w górnej części w płaszczyźnie nie są wymienne domenami do przestrzeni Hardy . Przyczyniając się do tej różnicy jest fakt, że krąg jednostka ma skończonych (jednowymiarowy) miary Lebesgue'a natomiast rzeczywista linia nie.

hiperboliczny przestrzeń

Otwarta dysk jednostka jest powszechnie używany jako model dla hiperbolicznej płaszczyzną , wprowadzając nową metrykę na nim, z metryki Poincarégo . Korzystanie z wyżej wymienioną mapę ochronnej pomiędzy otwartą dysku jednostkowej i górnej półpłaszczyźnie, model ten może być przekształcony w Model Poincarégo na płaszczyźnie hiperbolicznej. Zarówno tarcza Poincare i Poincarégo półpłaszczyźnie są konforemne modele hiperbolicznej przestrzeni, czyli kąty mierzone w modelu pokrywają się z kątami w hiperbolicznej przestrzeń, a w konsekwencji kształty (ale nie z małych rozmiarów) figurach są zachowane.

Kolejny model z przestrzeni hiperbolicznej jest również zbudowana na otwartym dysku jednostki: w modelu Kleina . To nie jest wierne, ale ma tę właściwość, że proste linie w modelu odpowiadają prostymi w przestrzeni hiperbolicznej.

Dyski jednostkowe w odniesieniu do innych wskaźników

Od góry do dołu: otwarty dysku jednostkowej w metryce euklidesowej , taksówki metrycznym i Czebyszewa metrycznym .

Jeden uważa również dyski jednostkowych w odniesieniu do innych wskaźników . Na przykład, z taksówki metrycznym i metrycznych Czebyszewa dyski wyglądają jak kwadraty (choć leżące topologie są takie same jak w jednej euklidesowej).

Powierzchnia dysku euklidesowej jednostkowej jest π , a jego obwód wynosi 2π. W przeciwieństwie do tego, obwód (w odniesieniu do metryki Taxicab) tarczy jednostkowej w geometrii Taxicab wynosi 8. W 1932 Stanisław Gołąb okazało się, że w danych wynikających z normą , obwód napędem dyskowym może mieć dowolną wartość pomiędzy 6 i 8, i że te wartości ekstremalne uzyskuje się wtedy i tylko wtedy, gdy dysk jednostka jest regularny sześciokąt lub równoległoboku , odpowiednio.

Zobacz też

• Jednostka wykres dysku
• kula jednostka
• Bieberbach przypuszczenie

Referencje

• S. Gołąb, "Quelques problèmes métriques de la geometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Min Kraków 6 (1932), 179.

Linki zewnętrzne

• Weisstein Eric W. "disk Unit" . MathWorld .
• Na obwodzie i obszaru jednostki dysku przez JC Álvarez Pavia i AC Thompson