Noyau de Poisson - Poisson kernel

En mathématiques, et plus précisément en théorie du potentiel , le noyau de Poisson est un noyau intégral , utilisé pour résoudre l' équation de Laplace à deux dimensions , étant donné les conditions aux limites de Dirichlet sur le disque unité . Le noyau peut être compris comme la dérivée de la fonction de Green pour l'équation de Laplace. Il porte le nom de Siméon Poisson .

Les noyaux de Poisson trouvent couramment des applications dans la théorie du contrôle et les problèmes bidimensionnels en électrostatique . En pratique, la définition des noyaux de Poisson est souvent étendue aux problèmes n- dimensionnels.

Noyaux de Poisson bidimensionnels

Sur le disque de l'unité

Dans le plan complexe , le noyau de Poisson pour le disque unité est donné par

${\displaystyle P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta }={\frac {1-r^ {2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operatorname {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i \theta }}}\right),\ \ \ 0\leq r<1.}$

Cela peut être considéré de deux façons: soit en fonction de r et θ , ou une famille de fonctions de θ indexés par r .

Si est le disque unité ouvert dans C , T est la frontière du disque, et f une fonction sur T qui se trouve dans L ¹ ( T ), alors la fonction u donnée par ${\displaystyle D=\{z:|z|<1\}}$

${\displaystyle u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f (e^{it})\,\mathrm {d} t,\ \ \ 0\leq r<1}$

est harmonique en D et a une limite radiale qui s'accorde avec f presque partout sur la frontière T du disque.

Que la valeur limite de u est f peut être soutenu en utilisant le fait que r → 1, les fonctions P _r ( θ ) forment une unité approximative de l' algèbre de convolution L ¹ ( T ). En tant qu'opérateurs linéaires, ils tendent vers la fonction delta de Dirac ponctuellement sur L ^p ( T ). Par le principe du maximum , u est la seule fonction harmonique de ce type sur D .

Les convolutions avec cette unité approchée donnent un exemple de noyau de sommabilité pour la série de Fourier d'une fonction dans L ¹ ( T ) ( Katznelson 1976 ). Soit f ∈ L ¹ ( T ) présentent des séries de Fourier { f _k }. Après la transformation de Fourier , convolution avec P _r ( θ ) devient multiplication par la séquence { r ^{| k |} } ℓ ¹ ( Z ). En prenant la transformée de Fourier inverse du produit résultant { r ^|k| f _k } donne Abel signifie A _r f de f :

${\displaystyle A_{r}f(e^{2\pi ix})=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f_{k}r^{|k|}e^{2\pi ikx }.}$

Le réarrangement de cette série absolument convergente montre que f est la valeur limite de g + h , où g (resp. h ) est une fonction holomorphe (resp. antiholomorphe ) sur D .

Quand on demande aussi que l'extension harmonique soit holomorphe, alors les solutions sont des éléments d'un espace de Hardy . Ceci est vrai lorsque les coefficients de Fourier négatifs de f disparaissent tous. En particulier, le noyau de Poisson est couramment utilisé pour démontrer l'équivalence des espaces de Hardy sur le disque unité et le cercle unité.

L'espace des fonctions qui sont les limites sur T des fonctions dans H ^p ( z ) peut être appelé H ^p ( T ). C'est un sous-espace fermé de L ^p ( T ) (au moins pour p  1). Puisque L ^p ( T ) est un espace de Banach (pour 1 ≤  p  ≤ ∞), il en va de même pour H ^p ( T ).

Sur le demi-plan supérieur

Le disque unité peut être mappé conformément au demi-plan supérieur au moyen de certaines transformations de Möbius . Puisque la carte conforme d'une fonction harmonique est également harmonique, le noyau de Poisson se reporte sur le demi-plan supérieur. Dans ce cas, l'équation intégrale de Poisson prend la forme

${\displaystyle u(x+iy)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(xt)f(t)\,dt,\qquad y>0.}$

Le noyau lui-même est donné par

${\displaystyle P_{y}(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}.}$

Étant donné une fonction , l' espace L ^p des fonctions intégrables sur la droite réelle, u peut être compris comme une extension harmonique de f dans le demi-plan supérieur. Par analogie à la situation du disque, lorsque u est holomorphe dans le demi-plan supérieur, alors u est un élément de l'espace de Hardy, et en particulier, ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle H^{p},}$

${\displaystyle \|u\|_{H^{p}}=\|f\|_{L^{p}}}$

Ainsi, encore, l'espace de Hardy H ^p sur le demi-plan supérieur est un espace de Banach , et, en particulier, sa restriction à l'axe réel est un sous-espace fermé de La situation n'est analogue qu'au cas du disque unité ; la mesure de Lebesgue pour le cercle unité est finie, alors que celle de la droite réelle ne l'est pas. ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ).}$

Sur la balle

Pour la boule de rayon le noyau de Poisson prend la forme ${\displaystyle r,B_{r}\subset \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle P(x,\zeta )={\frac {r^{2}-|x|^{2}}{r\omega _{n-1}|x-\zeta |^{n}} }}$

où (la surface de ) et est la surface de l'unité ( n  − 1)-sphère . ${\displaystyle x\in B_{r},\zeta \in S}$${\style d'affichage B_{r}}$${\displaystyle \omega _{n-1}}$

Alors, si u ( x ) est une fonction continue définie sur S , l'intégrale de Poisson correspondante est la fonction P [ u ]( x ) définie par

${\displaystyle P[u](x)=\int _{S}u(\zeta )P(x,\zeta )\,d\sigma (\zeta ).}$

On peut montrer que P [ u ]( x ) est harmonique sur la boule et que P [ u ]( x ) s'étend à une fonction continue sur la boule fermée de rayon r , et la fonction frontière coïncide avec la fonction originale  u . ${\style d'affichage B_{r}}$

Sur le demi-espace supérieur

Une expression pour le noyau de Poisson d'un demi-espace supérieur peut également être obtenue. Notons les coordonnées cartésiennes standard de ^{n +1} par

${\displaystyle (t,x)=(t,x_{1},\dots ,x_{n}).}$

Le demi-espace supérieur est l'ensemble défini par

${\displaystyle H^{n+1}=\{(t;x)\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid t>0\}.}$

Le noyau de Poisson pour H ^{n +1} est donné par

${\displaystyle P(t,x)=c_{n}{\frac {t}{(t^{2}+\|x\|^{2})^{(n+1)/2}}} }$

où

${\displaystyle c_{n}={\frac {\Gamma [(n+1)/2]}{\pi ^{(n+1)/2}}}.}$

Le noyau de Poisson pour le demi-espace supérieur apparaît naturellement comme la transformée de Fourier du noyau d'Abel

${\displaystyle K(t,\xi )=e^{-2\pi t|\xi |}}$

dans laquelle t joue le rôle d'un paramètre auxiliaire. En être témoin,

${\displaystyle P(t,x)={\mathcal {F}}(K(t,\cdot ))(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\ pi t|\xi |}e^{-2\pi i\xi \cdot x}\,d\xi .}$

En particulier, il ressort des propriétés de la transformée de Fourier que, au moins formellement, la convolution

${\displaystyle P[u](t,x)=[P(t,\cdot )*u](x)}$

est une solution de l'équation de Laplace dans le demi-plan supérieur. On peut aussi montrer que lorsque t  → 0, P [ u ]( t , x ) →  u ( x ) dans un sens approprié.

Voir également

• Formule intégrale de Schwarz

Les références

• Katznelson, Yitzhak (1976), Une introduction à l'analyse harmonique , Douvres, ISBN 0-486-63331-4
• Conway, John B. (1978), Fonctions d'une variable complexe I , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3.
• Axler, S. ; Bourdon, P.; Ramey, W. (1992), Théorie des fonctions harmoniques , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7.
• King, Frederick W. (2009), Hilbert Transforms Vol. I , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88762-5.
• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introduction à l'analyse de Fourier sur les espaces euclidiens , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Weisstein, Eric W. "Poisson Kernel" . MathWorld .
• Gilbarg, D. ; Trudinger, N. , Équations aux dérivées partielles elliptiques du second ordre , ISBN 3-540-41160-7.