Bewegend kader - Moving frame

Het Frenet-Serret-frame op een curve is het eenvoudigste voorbeeld van een bewegend frame.

In de wiskunde is een bewegend frame een flexibele veralgemening van het begrip van een geordende basis van een vectorruimte die vaak wordt gebruikt om de extrinsieke differentiaalgeometrie van gladde variëteiten ingebed in een homogene ruimte te bestuderen .

Invoering

In lekentermen is een referentiekader een systeem van meetstaven die door een waarnemer worden gebruikt om de omringende ruimte te meten door coördinaten te verstrekken . Een bewegend frame is dan een referentiekader dat met de waarnemer meebeweegt langs een traject (een curve ). De methode van het bewegende frame, in dit eenvoudige voorbeeld, probeert een "voorkeur" bewegend frame te produceren uit de kinematische eigenschappen van de waarnemer. In een geometrische setting werd dit probleem halverwege de 19e eeuw opgelost door Jean Frédéric Frenet en Joseph Alfred Serret . Het Frenet-Serret-frame is een bewegend frame gedefinieerd op een curve die puur kan worden geconstrueerd uit de snelheid en versnelling van de curve.

Het Frenet-Serret-frame speelt een sleutelrol in de differentiële geometrie van krommen , wat uiteindelijk leidt tot een min of meer volledige classificatie van vloeiende krommen in de Euclidische ruimte tot aan congruentie . De Frenet-Serret-formules laten zien dat er een paar functies is gedefinieerd op de curve, de torsie en kromming , die worden verkregen door het frame te differentiëren , en die volledig beschrijven hoe het frame in de tijd langs de curve evolueert. Een belangrijk kenmerk van de algemene methode is dat een bewegend frame dat de voorkeur heeft, mits dit kan worden gevonden, een volledige kinematische beschrijving van de curve geeft.

Darboux trihedron, bestaande uit een punt P , en een drietal orthogonale eenheidsvectoren e ₁ , e ₂ en e ₃ die is aangepast aan een oppervlak in die zin dat P op het oppervlak ligt en e ₃ loodrecht op het oppervlak staat.

Aan het einde van de 19e eeuw bestudeerde Gaston Darboux het probleem van het construeren van een bewegend frame bij voorkeur op een oppervlak in de Euclidische ruimte in plaats van een curve, het Darboux-frame (of de trièdre mobile zoals het toen heette). Het bleek in het algemeen niet mogelijk om zo'n frame te construeren en er waren eerst integreerbaarheidsvoorwaarden waaraan voldaan moest worden.

Later werden bewegende frames uitgebreid ontwikkeld door Elie Cartan en anderen in de studie van deelvariëteiten van meer algemene homogene ruimten (zoals projectieve ruimte ). In deze setting draagt een frame het geometrische idee van een basis van een vectorruimte over naar andere soorten geometrische ruimten ( Klein geometrieën ). Enkele voorbeelden van kozijnen zijn:

• Een lineair frame is een geordende basis van een vectorruimte .
• Een orthonormaal frame van een vectorruimte is een geordende basis bestaande uit orthogonale eenheidsvectoren (een orthonormale basis ).
• Een affien frame van een affiene ruimte bestaat uit een keuze van oorsprong samen met een geordende basis van vectoren in de bijbehorende verschilruimte .
• Een Euclidische frame van een affiene ruimte is een keuze van oorsprong samen met een orthonormale basis van de verschilruimte.
• Een projectief frame op een n- dimensionale projectieve ruimte is een geordende verzameling van n +1 lineair onafhankelijke punten in de ruimte.
• Framevelden in de algemene relativiteitstheorie zijn vierdimensionale frames, of vierbeins , in het Duits.

In elk van deze voorbeelden is de verzameling van alle frames in zekere zin homogeen . In het geval van lineaire frames, bijvoorbeeld, zijn twee frames gerelateerd aan een element van de algemene lineaire groep . Projectieve frames zijn gerelateerd door de projectieve lineaire groep . Deze homogeniteit, of symmetrie, van de klasse van frames vangt de geometrische kenmerken van het lineaire, affiene, Euclidische of projectieve landschap. Een bewegend frame is in deze omstandigheden precies dat: een frame dat van punt tot punt varieert.

Formeel bestaat een frame op een homogene ruimte G / H uit een punt in de tautologische bundel G → G / H . Een bewegend frame is een onderdeel van deze bundel. Het beweegt in die zin dat naarmate het punt van de basis varieert, het frame in de vezel verandert door een element van de symmetriegroep G . Een bewegend frame op een deelspruitstuk M van G / H is een sectie van de terugtrekking van de tautologische bundel naar M . Intrinsiek kan een bewegend frame worden gedefinieerd op een hoofdbundel P over een verdeelstuk. In dit geval wordt een bewegend frame bepaald door G -equivariant afbeelding φ: P → G , dus framing het verdeelstuk door elementen van de Lie groep G .

Men kan het begrip frames uitbreiden tot een meer algemeen geval: men kan een vezelbundel " soldeer " aan een gladde spruitstuk , zodanig dat de vezels zich gedragen alsof ze raaklijnen zijn. Wanneer de vezelbundel een homogene ruimte is, reduceert dit tot het hierboven beschreven frameveld. Wanneer de homogene ruimte een quotiënt is van speciale orthogonale groepen , reduceert dit tot de standaardopvatting van een vierbein .

Hoewel er formeel een substantieel verschil is tussen extrinsieke en intrinsieke bewegende frames, zijn ze beide gelijk in die zin dat een bewegend frame altijd wordt gegeven door een afbeelding in G . De strategie Cartan Werkwijze bewegende beelden , zoals uiteengezet kort Cartan equivalentie methode , is een voorbeeld natuurlijke bewegende frame op het verdeelstuk en vervolgens de rekening Darboux derivaat , dat wil zeggen pullback de Maurer-Cartan vorm van G tot M (of P ), en zo een complete set structurele invarianten voor het verdeelstuk verkrijgen.

Methode van het bewegende frame:

Cartan (1937) formuleerde de algemene definitie van een bewegend frame en de methode van het bewegend frame, zoals uitgewerkt door Weyl (1938) . De elementen van de theorie zijn:

• A Lie-groep G .
• Een Kleinruimte X waarvan de groep geometrische automorfismen G is .
• Een gladde variëteit Σ die dient als een ruimte van (gegeneraliseerde) coördinaten voor X .
• Een verzameling frames ƒ die elk een coördinaatfunctie van X tot Σ bepalen (de precieze aard van het frame blijft vaag in de algemene axiomatisering).

De volgende axioma's worden dan verondersteld te gelden tussen deze elementen:

• Er is een vrije en transitieve groepsactie van G op de verzameling frames: het is een homogene principiële ruimte voor G . In het bijzonder is er voor elk paar frames ƒ en ƒ′ een unieke overgang van frame (ƒ→ƒ′) in G bepaald door de vereiste (ƒ→ƒ′)ƒ = ƒ′.
• Gegeven een frame ƒ en een punt A  ∈  X , is er een punt x  = ( A ,ƒ) behorende bij Σ. Deze afbeelding bepaald door het frame ƒ is een bijectie van de punten van X naar die van Σ. Deze bijectie is verenigbaar met de wet van samenstelling van frames in die zin dat de coördinaat x ′ van het punt A in een ander frame ƒ′ voortkomt uit ( A ,ƒ) door toepassing van de transformatie (ƒ→ƒ′). Dat is,
  $${\displaystyle (A,f')=(f\to f')\circ (A,f).}$$

  

Van belang voor de methode zijn geparametriseerde deelvariëteiten van X . De overwegingen zijn grotendeels lokaal, dus het parameterdomein wordt beschouwd als een open deelverzameling van R ^λ . Er zijn iets andere technieken van toepassing, afhankelijk van of men geïnteresseerd is in het deelspruitstuk samen met de parametrering ervan, of het deelspruitstuk tot aan de herparametrering.

Bewegende raaklijnen

Het meest voorkomende geval van een bewegend frame is voor de bundel raakframes (ook wel framebundel genoemd ) van een verdeelstuk. In dit geval, een bewegend gestel raaklijn op een variëteit M is een verzameling van vectorvelden e ₁ , e ₂ , ..., e _n vormen de basis van de raakruimte op elk punt van een open verzameling U ⊂ M .

Als is een coördinatensysteem op U , dan kan elk vectorveld e _j worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van de coördinaatvectorvelden :${\displaystyle (x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})}$${\textstyle {\frac {\partial}{\partial x^{i}}}}$

$${\displaystyle e_{j}=\sum _{i=1}^{n}A_{j}^{i}{\frac {\partial}{\partial x^{i}}},}$$

. Deze kunnen worden gezien als de componenten van een matrix . Deze matrix is ​​handig voor het vinden van de coördinaatuitdrukking van het dubbele coframe, zoals uitgelegd in de volgende sectie. ${\displaystyle A_{j}^{i}}$${\displaystyle A}$

Coframes

Een bewegend frame bepaalt een dual frame of coframe van de cotangensbundel over U , ook wel een bewegend frame genoemd. Dit is een n -tupel van gladde 1- vormen

θ ¹ , θ ² , ..., θ ⁿ

die lineair onafhankelijk zijn op elk punt q in U . Omgekeerd, gezien dergelijke coframe, is er een unieke bewegende frame e ₁ , e ₂ , ..., e _n die tweevoudig te, dat wil zeggen, voldoet aan de dualiteitsrelatie θ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ _j , waarbij δ ⁱ _j is de Kronecker-deltafunctie op U .

Als het een coördinatensysteem is op

worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van de coördinaat-covectorvelden :${\displaystyle (x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})}$${\displaystyle dx^{i}}$

$${\displaystyle \theta ^{i}=\sum _{j=1}^{n}B_{j}^{i}dx^{j},}$$

waarbij elk een functie op

van elkaar. ${\displaystyle B_{j}^{i}}$${\textstyle dx^{i}\left({\frac {\partial}{\partial x^{j}}}\right)=\delta _{j}^{i}}$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=\delta _{j}^{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

In de setting van de klassieke mechanica wordt bij het werken met canonieke coördinaten het canonieke coframe gegeven door de tautologische éénvorm . Intuïtief relateert het de snelheden van een mechanisch systeem (gegeven door vectorvelden op de raaklijnbundel van de coördinaten) aan de overeenkomstige momenta van het systeem (gegeven door vectorvelden in de cotangensbundel; dat wil zeggen gegeven door vormen). De tautologische éénvorm is een speciaal geval van de meer algemene soldeervorm , die zorgt voor een (co-)frameveld op een algemene vezelbundel .

Toepassingen

Bewegende frames zijn belangrijk in de algemene relativiteitstheorie , waar er geen bevoorrechte manier is om een ​​framekeuze bij een gebeurtenis p (een punt in de ruimtetijd , een veelvoud van dimensie vier) uit te breiden naar nabijgelegen punten, en dus moet een keuze worden gemaakt. In tegenstelling tot de speciale relativiteitstheorie wordt M beschouwd als een vectorruimte V (van dimensie vier). In dat geval kan een frame op een punt p op een goed gedefinieerde manier worden vertaald van p naar elk ander punt q . In grote lijnen komt een bewegend frame overeen met een waarnemer, en de onderscheiden frames in de speciale relativiteitstheorie vertegenwoordigen traagheidswaarnemers .

In de relativiteitstheorie en in de Riemann-meetkunde zijn de meest bruikbare soorten bewegende frames de orthogonale en orthonormale frames , dat wil zeggen frames die op elk punt uit orthogonale (eenheids)vectoren bestaan. Op een gegeven punt p kan een algemeen frame orthonormaal worden gemaakt door orthonormalisatie ; in feite kan dit soepel worden gedaan, zodat het bestaan ​​van een bewegend frame het bestaan ​​van een bewegend orthonormaal frame impliceert.

Verdere details

Een bewegend frame bestaat altijd lokaal , dwz in een bepaalde buurt U van een willekeurig punt p in M ; het bestaan ​​van een bewegend frame globaal op M vereist echter topologische omstandigheden. Wanneer M bijvoorbeeld een cirkel is , of meer in het algemeen een torus , bestaan ​​dergelijke frames; maar niet als M een 2- bol is . Een verdeelstuk dat wel een globaal bewegend frame heeft, wordt parallelliseerbaar genoemd . Merk bijvoorbeeld op hoe de eenheidsrichtingen van breedte- en lengtegraad op het aardoppervlak uiteenvallen als een bewegend frame aan de noord- en zuidpool.

De methode van bewegende frames van Élie Cartan is gebaseerd op het nemen van een bewegend frame dat is aangepast aan het specifieke probleem dat wordt bestudeerd. Bijvoorbeeld, gegeven een kromme in de ruimte, kunnen de eerste drie afgeleide vectoren van de kromme in het algemeen een frame op een punt ervan definiëren (zie torsiestensor voor een kwantitatieve beschrijving - hier wordt aangenomen dat de torsie niet nul is). Sterker nog, bij de methode van het verplaatsen van frames werkt men vaker met coframes dan met frames. Meer in het algemeen kunnen bewegende frames worden gezien als secties van hoofdbundels over open verzamelingen U . De algemene Cartan-methode maakt gebruik van deze abstractie met behulp van de notie van een Cartan-verbinding .

atlassen

In veel gevallen is het onmogelijk om één referentiekader te definiëren dat wereldwijd geldig is. Om dit te ondervangen, worden frames gewoonlijk samengevoegd om een atlas te vormen , waarmee ze tot de notie van een lokaal frame komen . Daarnaast is het vaak wenselijk om deze atlassen een gladde structuur te geven , zodat de resulterende framevelden differentieerbaar zijn.

generalisaties

Hoewel dit artikel de framevelden construeert als een coördinatensysteem op de raakbundel van een verdeelstuk , gaan de algemene ideeën gemakkelijk over op het concept van een vectorbundel , dat een verdeelstuk is dat op elk punt een vectorruimte heeft, waarbij die vectorruimte willekeurig, en niet in het algemeen gerelateerd aan de raakbundel.

Toepassingen

De belangrijkste rotatieassen in de ruimte

Vliegtuigmanoeuvres kunnen worden uitgedrukt in termen van het bewegende frame ( hoofdassen van het