Matrice elementare - Elementary matrix

In matematica , una matrice elementare è una matrice che differisce dalla matrice identità per una singola operazione elementare di riga. Le matrici elementari generano il gruppo lineare generale GL _n ( F ) quando F è un campo. La moltiplicazione a sinistra (pre-moltiplicazione) per una matrice elementare rappresenta le operazioni elementari sulle righe , mentre la moltiplicazione a destra (post-moltiplicazione) rappresenta le operazioni elementari sulle colonne .

Le operazioni elementari sulle righe vengono utilizzate nell'eliminazione gaussiana per ridurre una matrice in forma di scaglioni di riga . Sono anche utilizzati nell'eliminazione di Gauss-Jordan per ridurre ulteriormente la matrice a una forma ridotta a scaglioni di riga .

Operazioni elementari sulle righe

Esistono tre tipi di matrici elementari, che corrispondono a tre tipi di operazioni di riga (rispettivamente operazioni di colonna):

Cambio riga

Una riga all'interno della matrice può essere scambiata con un'altra riga.

${\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}$

Moltiplicazione per righe

Ogni elemento di una riga può essere moltiplicato per una costante diversa da zero. È anche noto come ridimensionamento di una riga.

${\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{dove }}k\neq 0}$

Aggiunta riga

Una riga può essere sostituita dalla somma di quella riga e da un multiplo di un'altra riga.

${\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{dove }}i\neq j}$

Se E è una matrice elementare, come descritto di seguito, per applicare l'operazione di riga elementare a una matrice A , si moltiplica A per la matrice elementare a sinistra, EA . La matrice elementare per qualsiasi operazione di riga si ottiene eseguendo l'operazione sulla matrice identità . Questo fatto può essere inteso come un'istanza del lemma di Yoneda applicato alla categoria delle matrici.

Trasformazioni di cambio riga

Il primo tipo di operazione di riga su una matrice A scambia tutti gli elementi della matrice sulla riga i con le loro controparti sulla riga j . La corrispondente matrice elementare si ottiene scambiando riga i e riga j della matrice identità .

${\displaystyle T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&{&b&&1}\end }$

Quindi T _ij A è la matrice prodotta scambiando riga i e riga j di A .

Proprietà

• L'inversa di questa matrice è essa stessa: T _ij ⁻¹ = T _ij .
• Poiché il determinante della matrice identità è l'unità, det( T _ij ) = −1. Ne segue che per ogni matrice quadrata A (della dimensione corretta), si ha det( T _ij A ) = −det( A ).

Trasformazioni di moltiplicazione di righe

Il prossimo tipo di operazione di riga su una matrice A moltiplica tutti gli elementi sulla riga i per m dove m è uno scalare diverso da zero (di solito un numero reale). La matrice elementare corrispondente è una matrice diagonale, con elementi diagonali 1 ovunque tranne che nella i- esima posizione, dove è m .

${\displaystyle D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&\\&&&m&&&\\&&&&&&\\&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end}}{bmatri$

Quindi D _i ( m ) A è la matrice prodotta da A moltiplicando la riga i per m .

Proprietà

• L'inversa di questa matrice è data da D _i ( m ) ⁻¹ = D _i (1/ m ).
• La matrice e la sua inversa sono matrici diagonali .
• det( D _i ( m )) = m . Quindi per una matrice quadrata A (della dimensione corretta), abbiamo det( D _i ( m ) A ) = m det( A ).

Trasformazioni di addizione di righe

Il tipo finale di operazione di riga su una matrice A aggiunge la riga j moltiplicata per uno scalare m alla riga i . La matrice elementare corrispondente è la matrice identità ma con m nella posizione ( i , j ).

${\displaystyle L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&{&b&&1\end }}$

Quindi L _ij ( m ) A è la matrice prodotta da A aggiungendo m per riga j a riga i . E A L _ij ( m ) è la matrice prodotta da A sommando m per la colonna i alla colonna j .

Proprietà

• Queste trasformazioni sono una sorta di shear mapping , noto anche come transvections .
• L'inversa di questa matrice è data da L _ij ( m ) ⁻¹ = L _ij (− m ).
• La matrice e la sua inversa sono matrici triangolari .
• det( L _ij ( m )) = 1. Pertanto, per una matrice quadrata A (della dimensione corretta) si ha det( L _ij ( m ) A ) = det( A ).
• Le trasformate di addizione di riga soddisfano le relazioni di Steinberg .

Guarda anche

• Eliminazione gaussiana
• Algebra lineare
• Sistema di equazioni lineari
• Matrice (matematica)
• decomposizione LU
• Matrice di Frobenius

Riferimenti

• Axler, Sheldon Jay (1997), Algebra lineare fatta a destra (2a ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (22 agosto 2005), Algebra lineare e le sue applicazioni (3a ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15 febbraio 2001), Analisi delle matrici e algebra lineare applicata , Società per la matematica industriale e applicata (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archiviato dall'originale il 31-10-2009
• Poole, David (2006), Algebra lineare: un'introduzione moderna (2a ed.), Brooks / Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Algebra lineare elementare (versione delle applicazioni) (9a ed.), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Algebra lineare con applicazioni (7a ed.), Pearson Prentice Hall
• Strang, Gilbert (2016), Introduzione all'algebra lineare (5a ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6