Matrice elementare

Sotto un matrice elementare o eliminazione della matrice è inteso in algebra lineare , una piazza matrice , che sia dal cambiamento di un singolo elemento o scambiando due linee di - unità matrice è diversa. ${\ stile di visualizzazione n \ volte n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$

La moltiplicazione di matrici con matrici elementari porta alle cosiddette trasformazioni elementari di riga e colonna . Queste trasformazioni di matrice includono l'aggiunta di una riga all'altra, lo scambio di due righe e la moltiplicazione di una singola riga per un valore diverso da zero . Se si moltiplica una matrice da sinistra per una matrice elementare, ciò corrisponde a una trasformazione lineare elementare della matrice . Le matrici elementari possono anche essere moltiplicate da destra di una matrice e quindi corrispondere a trasformazioni elementari di colonna di . ${\ displaystyle \ alfa}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle n \ volte p}$${\ stile di visualizzazione A}$${\ stile di visualizzazione A}$${\ stile di visualizzazione A}$${\ stile di visualizzazione A}$

Le matrici elementari sono alla base dell'algoritmo gaussiano . Con essi un sistema lineare di equazioni , che è stato convertito in una matrice, può essere portato in forma di passo per poi leggere la soluzione del sistema secondo regole speciali.

Tipi di matrici elementari

Nel seguito si assume un campo , un - matrice di identità e un - normale matrice , ossia h. una matrice di zero elementi, con l'eccezione che c'è un elemento nel punto , dove vengono utilizzati l'indice di riga e l'indice di colonna delle matrici. ${\ stile di visualizzazione K}$${\ displaystyle I_ {n}}$${\ stile di visualizzazione n \ volte n}$${\ displaystyle E_ {i, j}}$${\ stile di visualizzazione n \ volte n}$${\ stile di visualizzazione (i, j)}$${\ stile di visualizzazione i}$${\ stile di visualizzazione j}$

Esistono tre tipi di matrici elementari:

Tipo 1

Questa matrice ha un solo elemento nella sua diagonale principale , altrimenti solo zero elementi, ad eccezione del luogo in cui è il valore , dove deve essere - cioè h. il valore non deve essere sulla diagonale principale. ${\ stile di visualizzazione (i, j)}$${\ displaystyle \ alfa \ in K}$${\ displaystyle i \ neq j}$${\ displaystyle \ alfa}$

Questo è generato da

${\ displaystyle I_ {n} + \ alpha \ cdot E_ {i, j}}$, dove ed è.${\ displaystyle \ alfa \ in K}$${\ displaystyle i \ neq j}$

Per l'abbreviazione scriviamo

${\ displaystyle R_ {i, j} (\ alpha) = I_ {n} + \ alpha \ cdot E_ {i, j};}$

nota, tuttavia, che questa non è una notazione standard.

Quindi è esplicitamente vero

${\ displaystyle R_ {i, j} (\ alpha) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 \\\ end {pmatrix}} + \ alpha \ cdot {\ begin {pmatrix } 0 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ alpha & 0 \ \ 0 & 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 \\\ end {pmatrix}}}$,

dove si trova nella -esima riga e -esima colonna. ${\ displaystyle \ alfa}$${\ stile di visualizzazione i}$${\ stile di visualizzazione j}$

Esempi

${\ displaystyle R_ {2,1} (- 7) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ - 7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle R_ {1,3} (- 3) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}}}$

Tipo 2

Questa matrice corrisponde a una matrice identità in cui le righe -esima e -esima sono state scambiate (ovviamente ). Nella diagonale principale di , il singolo elemento viene contato ai posti e (per ottenere zero) e il singolo elemento viene aggiunto nuovamente ai posti e . Questo tipo è quindi la matrice di permutazione di una trasposizione . ${\ displaystyle I_ {n}}$${\ stile di visualizzazione i}$${\ stile di visualizzazione j}$${\ displaystyle i \ neq j}$${\ displaystyle I_ {n}}$${\ stile di visualizzazione (i, i)}$${\ stile di visualizzazione (j, j)}$${\ stile di visualizzazione (i, j)}$${\ stile di visualizzazione (j, i)}$

Le seguenti operazioni matriciali fanno questo:

${\ displaystyle I_ {n} -E_ {i, i} -E_ {j, j} + E_ {i, j} + E_ {j, i}}$, Per ${\ displaystyle i \ neq j}$

Per abbreviazione, qui definiamo il tipo 2 come

${\ displaystyle T_ {i, j} = I_ {n} -E_ {i, i} -E_ {j, j} + E_ {i, j} + E_ {j, i}}$

Le operazioni si presentano così in generale:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 &&&& \\ & 1 &&& \\ && \ ddots && \\ &&& 1 & \\ &&&& 1 \\\ end {pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} &&&& \\ & 1 _ {(i, i) } &&& \\ &&&& \\ &&&& \\ &&&& \\\ end {pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} &&&& \\ &&&& \\ &&&& \\ &&& 1 _ {(y, j)} & \\ &&&& \\\ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} &&&& \\ &&& 1 _ {(i, j)} & \\ &&&& \\ &&&& \\ &&&& \\\ end { pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} &&&& \ \ &&&& \\ &&&& \\ & 1 _ {(j, i)} &&& \\ &&&& \\\ end {pmatrix}} =}$

${\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 &&&& \\ & 0 _ {(i, i)} & \ cdots & 1 _ {(i, j)} & \\ & \ vdots & 1 & \ vdots & \ \ & 1 _ {(j, i )} & \ cdots & 0 _ {(j, j)} & \\ &&&& 1 \\\ end {pmatrix}}}$

L'esempio seguente mostra come vengono scambiate le righe -th e -th: ${\ stile di visualizzazione i}$${\ stile di visualizzazione j}$

esempio

${\ displaystyle T_ {1,2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end { pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} + {\ begin { pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}}}$

è analogico?

${\ displaystyle T_ {2,4} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\ fine {pmatrice}}}$

Tipo 3

La diagonale principale di questa matrice è costituita da singoli elementi, ad eccezione del punto in cui è inserito il valore , che deve essere diverso da zero. Al di fuori della diagonale principale ci sono solo zero elementi. ${\ stile di visualizzazione (i, i)}$${\ displaystyle \ gamma \ in K}$

Questo si ottiene tramite

${\ displaystyle I_ {n} + (\ gamma -1) \ cdot E_ {i, i}}$, con e${\ displaystyle \ gamma \ in K}$${\ displaystyle \ gamma \ neq 0}$

(A questo punto si aggiunge e si sottrae.) ${\ stile di visualizzazione (i, i)}$${\ displaystyle \ gamma}$

Per l'abbreviazione, il tipo 3 dovrebbe essere usato qui come

${\ displaystyle S_ {i} (\ gamma) = I_ {n} + (\ gamma -1) \ cdot E_ {i, i}}$

Da definire. Ancora una volta, non è una notazione standard.

Operazioni eseguite:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 &&&& \\ & 1 &&& \\ && \ ddots && \\ &&& 1 & \\ &&&& 1 \\\ end {pmatrix}} + (\ gamma -1) \ cdot {\ begin {pmatrix} &&&&& \ \ & 1 _ {(i, i)} &&&& \\ &&&&& \\ &&&&& \\ &&&&& \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 &&&& \\ & \ gamma _ {(i, i)} &&& \ \ && \ ddots && \\ &&& 1 \\ &&&& 1 \\\ end {pmatrix}}}$

Esempi

${\ displaystyle S_ {2} (8) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle S_ {3} (17) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 17 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ fine {pmatrix}}}$

Influenza delle matrici elementari su altre matrici

Sia A una matrice e , e matrici di tipo 1, tipo 2 e tipo 3 , rispettivamente. ${\ displaystyle n \ volte m}$${\ displaystyle R_ {i, j} (\ alfa)}$${\ displaystyle T_ {i, j}}$${\ displaystyle S_ {i} (\ gamma)}$

La moltiplicazione da sinistra fornisce le trasformazioni di linea:

• ${\ displaystyle S_ {i} (\ gamma) \ cdot A}$moltiplica la i-esima riga di A per il valore , per cui le restanti righe rimangono invariate (EZU I)${\ displaystyle \ gamma}$
• ${\ displaystyle R_ {i, j} (\ alpha) \ cdot A}$aggiunge la piega della j-esima riga di A alla i-esima riga di A. (EZU II)${\ displaystyle \ alfa}$
• ${\ displaystyle T_ {i, j} \ cdot A}$ scambia la i-esima riga di A con la j-esima riga di A. (EZU III)

La moltiplicazione da destra si traduce in trasformazioni di colonna:

• ${\ displaystyle A \ cdot S_ {i} (\ gamma)}$moltiplica la i-esima colonna di A per il valore , lasciando invariate le restanti colonne. (ESU I)${\ displaystyle \ gamma}$
• ${\ displaystyle A \ cdot R_ {i, j} (\ alpha)}$aggiunge la piega della i-esima colonna di A alla j-esima colonna di A. (ESU II) Notare i significati scambiati di i e j in contrasto con la conversione di linea.${\ displaystyle \ alfa}$
• ${\ displaystyle A \ cdot T_ {i, j}}$ scambia la i-esima colonna di A con la j-esima colonna di A. (ESU III)

Vedi anche moltiplicazione matriciale . Queste proprietà sono importanti per i metodi di soluzione dei calcoli matriciali, come l' algoritmo di Gauss-Jordan .

Promemoria: Per costruire la matrice elementare appropriata per una delle suddette trasformazioni, la trasformazione corrispondente deve essere applicata alla matrice identità . Ad esempio, per ottenere la matrice elementare che scambia la prima e la seconda riga di una matrice, vengono scambiate la prima e la seconda riga della matrice identità, il che risulta in. ${\ displaystyle I_ {n}}$${\ displaystyle T_ {1,2}}$

Proprietà generali

• Le trasformazioni elementari di riga (o le trasformazioni di colonna) risultano dalla moltiplicazione a sinistra (o a destra) con una matrice elementare.
• Il rango di una matrice non cambia da operazioni elementari di riga o colonna.
• Se un sistema lineare di equazioni è dato nella forma con e , allora le seguenti operazioni (rese possibili per moltiplicazione con matrici elementari) non cambiano nulla nella soluzione e sono quindi anche dette trasformazioni elementari (dove le operazioni su A e b sono da eseguire contemporaneamente): ${\ stile di visualizzazione (A, b)}$${\ displaystyle A \ in K ^ {m \ volte n}}$${\ displaystyle b \ in K ^ {m \ volte 1}}$
  1. Aggiunta del valore di una riga a un'altra riga.${\ displaystyle \ alfa}$
  2. Scambio di due righe.
  3. Moltiplicare una riga per un valore diverso da zero.

Proprietà teoriche del gruppo

Lascia che sia il gruppo di invertibile n × n matrici . ${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (K)}$

• Le matrici elementari sono invertibili e le assegnazioni

${\ displaystyle K \ a \ mathrm {GL} _ {n} (K), \ quad \ alpha \ mapsto R_ {ij} (\ alpha)}$

come

${\ displaystyle K ^ {\ times} \ to \ mathrm {GL} _ {n} (K), \ quad \ alpha \ mapsto S_ {i} (\ alpha)}$

sono omomorfismi di gruppo . In particolare,

${\ displaystyle R_ {ij} (\ alpha) ^ {- 1} = R_ {ij} (- \ alpha)}$

e

${\ displaystyle S_ {i} (\ alpha) ^ {- 1} = S_ {i} (\ alpha ^ {- 1}).}$

Le matrici sono le proprie inverse: ${\ displaystyle T_ {ij}}$

${\ displaystyle T_ {ij} ^ {- 1} = T_ {ij}.}$

• Ogni matrice invertibile può essere scritta come un prodotto di matrici elementari, i. h. le matrici elementari generano il gruppo . Per questo sono sufficienti il ​​tipo 1 e il tipo 3. Un'importante applicazione delle matrici elementari si basa su questo: Per dimostrare un'affermazione per tutte le matrici invertibili, sono sufficienti i seguenti due punti: ${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (K)}$
  1. Si applica alle matrici elementari.
  2. Se vale per le matrici A e B , vale anche per il tuo prodotto AB .

letteratura

• Gerd Fischer : Geometria Analitica (= Vieweg study. Vol. 35 Corso base di matematica ). 4a edizione riveduta. Vieweg, Braunschweig e altri 1985, ISBN 3-528-37235-4 , pagine 91-97.
• Gerd Fischer: Algebra lineare. Introduzione per gli studenti del primo anno. 17a edizione aggiornata. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4 , pp. 163-173.

link internet

• Helmut Lenzing, Andrew Hubery, Markus Diekämper, Marc Jesse: Lineare Algebra I - semestre invernale 2003/2004 (dispense), Capitolo III, Sezione 3.9 Matrici elementari (pdf; 301 kB)
• Matrici elementari su PlanetMath