Elemi mátrix

Alatt egy mátrixot, vagy eliminációs mátrix értendő lineáris algebra , négyzetes mátrix , amely akár a változás egy egyetlen elemet, vagy a csere két vonal egy - egység mátrix más. ${\ displaystyle n \ alkalommal n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$

A mátrix szorzás elemi mátrixok vezet az úgynevezett elemi sor és oszlop transzformációk . Ezek a mátrixtranszformációk magukban foglalják az egyes idők egymáshoz való hozzáadását , két sor felcserélését és egy sor megszorzását nem nulla értékkel . Ha egy mátrixot balról megsokszoroz egy elemi mátrixszal , akkor ez megfelel a mátrix elemi vonal transzformációjának . Elementary mátrixok is szorozni a jobb egy mátrix , majd megfelelnek az elemi oszlopra transzformációk a . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle n \ alkalommal p}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Az elemi mátrixok képezik a Gauss-algoritmus alapját . Velük egy mátrixsá konvertált lineáris egyenletrendszer léptethető formába , hogy aztán a rendszer megoldását a speciális szabályok szerint felolvassák.

Az elemi mátrixok típusai

A következőkben egy mezőt , egy - azonosság mátrixot és egy - standard mátrixot , azaz. H. nulla elemből álló mátrix, azzal a kivétellel, hogy a pontban egy elem található , ahol a mátrixok sorindexét és oszlopindexét használják. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle I_ {n}}$${\ displaystyle n \ alkalommal n}$${\ displaystyle E_ {i, j}}$${\ displaystyle n \ alkalommal n}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$

Az elemi mátrixoknak három típusa van:

1. típus

Ez a mátrix csak egy eleme annak fő diagonális , egyébként csak nulla elemeket, kivéve az a hely , ahol a értéke van, ahol kell lennie - azaz a H. az érték nem lehet a főátlón. ${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle \ alfa \ K-ban}$${\ displaystyle i \ neq j}$${\ displaystyle \ alpha}$

Ezt generálja

${\ displaystyle I_ {n} + \ alpha \ cdot E_ {i, j}}$, hol és van.${\ displaystyle \ alfa \ K-ban}$${\ displaystyle i \ neq j}$

Az általunk írt rövidítésre

${\ displaystyle R_ {i, j} (\ alpha) = I_ {n} + \ alpha \ cdot E_ {i, j};}$

vegye figyelembe azonban, hogy ez nem szokásos jelölés.

Tehát kifejezetten igaz

${\ displaystyle R_ {i, j} (\ alpha) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 \\\ end {pmatrix}} + \ alpha \ cdot {\ begin {pmatrix } 0 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ alfa & 0 \ \ 0 & 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 \\\ end {pmatrix}}}$,

hol van a -edik sorban és -th oszlopban. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$

Példák

${\ displaystyle R_ {2,1} (- 7) = {\ kezdődik {pmatrix} 1 & 0 és 0 \\ - 7 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle R_ {1,3} (- 3) = {\ kezdődik {pmatrix} 1 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 és 0 és 1 \\\ end {pmatrix}}}$

2. típus

Ez a mátrix egy azonosság-mátrixnak felel meg , amelyben a -th és -th sorokat felcserélték (természetesen ). A fő átlóban az egyes elemeket elszámoljuk a helyeken és (hogy nulla legyen), és az egyes elemeket ismét hozzáadjuk a helyekhez és . Ez a típus tehát egy transzpozíció permutációs mátrixa . ${\ displaystyle I_ {n}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle i \ neq j}$${\ displaystyle I_ {n}}$${\ displaystyle (i, i)}$${\ displaystyle (j, j)}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle (j, i)}$

A következő mátrix műveletek teszik ezt:

${\ displaystyle I_ {n} -E_ {i, i} -E_ {j, j} + E_ {i, j} + E_ {j, i}}$, For ${\ displaystyle i \ neq j}$

Rövidítésként itt a 2. típust definiáljuk

${\ displaystyle T_ {i, j} = I_ {n} -E_ {i, i} -E_ {j, j} + E_ {i, j} + E_ {j, i}}$

A műveletek általában így néznek ki:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 &&&& \ \ & 1 &&& \\ && \ ddots && \\ &&& 1 & \\ &&&&& 1 \\\ end {pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} &&&& \\ & 1 _ {(i, i)} &&& \\&&&& \\ &&&& \\ &&&&& \\\ end {pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} &&&&& \\ &&&& \ \&&&& \ \\ &&& 1 _ {(y, j)} & \\ &&&&& \\\ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} &&&&& \\ &&& 1 _ {(i, j)} & \\ &&&&& \\ &&&& \\ &&&& \\\ end { pmatrix}} + {\ elején {pmatrix} &&&& \ \ &&&& \\ &&&&& \\ & 1 _ {(j, i)} &&& \\ &&&& \\\ end {pmatrix}} =}$

${\ displaystyle = {\ begin {pmatrix} 1 &&&& \\ & 0 _ {(i, i)} & \ cdots & 1 _ {(i, j)} & \\ & \ vdots & 1 & \ vdots & \ \ & 1 _ {(j, i)} & \ cdots & 0 _ {(j, j)} & \\ &&&& 1 \\\ end {pmatrix}}}$

A következő példa bemutatja, hogy a -th és -th sorok felcserélődnek: ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$

példa

${\ displaystyle T_ {1,2} = {\ kezdete {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 és 0 \\\ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} + {\ begin { pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 és 0 és 1 \\\ end {pmatrix}}}$

Analóg

${\ displaystyle T_ {2,4} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}}}$

3. típus

Ennek a mátrixnak a fő átlója egyetlen elemből áll, kivéve az érték beillesztésének helyét , amelynek nem nullának kell lennie. A főátlón kívül csak nulla elem van. ${\ displaystyle (i, i)}$${\ displaystyle \ gamma \ K-ban}$

Ez keresztül érhető el

${\ displaystyle I_ {n} + (\ gamma -1) \ cdot E_ {i, i}}$, és${\ displaystyle \ gamma \ K-ban}$${\ displaystyle \ gamma \ neq 0}$

(Ezen a ponton egy összead és egy kivon.) ${\ displaystyle (i, i)}$${\ displaystyle \ gamma}$

Rövidítésként itt a 3. típust kell használni

${\ displaystyle S_ {i} (\ gamma) = I_ {n} + (\ gamma -1) \ cdot E_ {i, i}}$

Meg kell határozni. Ez megint nem szokásos jelölés.

Végzett műveletek:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 &&&& \\ & 1 &&& \\ && \ ddots && \\ &&& 1 & \\ &&&&& 1 \\\ end {pmatrix}} + (\ gamma -1) \ cdot {\ kezdete {pmatrix} &&&&& \ \ & 1 _ {(i, i)} &&&& \\ &&&&& \\&&&&&& \\&&&&& \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 &&&& \\ & \ gamma _ {(i, i)} &&&& \ \ && \ ddots && \\ &&& 1 \\ &&&& 1 \\\ end {pmatrix}}}$

Példák

${\ displaystyle S_ {2} (8) = {\ kezdés {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle S_ {3} (17) = {\ kezdődik {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 17 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}}}$

Az elemi mátrixok hatása más mátrixokra

Legyen A egy mátrix, és , illetve az 1. típusú, a 2. és a 3. típusú mátrix. ${\ displaystyle n \ alkalommal m}$${\ displaystyle R_ {i, j} (\ alfa)}$${\ displaystyle T_ {i, j}}$${\ displaystyle S_ {i} (\ gamma)}$

A bal oldalról történő szorzás vonalváltozásokat eredményez:

• ${\ displaystyle S_ {i} (\ gamma) \ cdot A}$megszorozza az A i-edik vonalát az értékkel , ezáltal a többi vonal változatlan marad (EZU I)${\ displaystyle \ gamma}$
• ${\ displaystyle R_ {i, j} (\ alpha) \ cdot A}$hozzáadja az A j-edik sorának a hajtását A. i-edik sorához (EZU II)${\ displaystyle \ alpha}$
• ${\ displaystyle T_ {i, j} \ cdot A}$ felcseréli az A i-edik sorát az A j-edik sorával (EZU III)

A jobb oldalról történő szorzás oszloptranszformációkat eredményez:

• ${\ displaystyle A \ cdot S_ {i} (\ gamma)}$megszorozza az A i-edik oszlopát az értékkel , a többi oszlopot változatlanul hagyja. (ESU I)${\ displaystyle \ gamma}$
• ${\ displaystyle A \ cdot R_ {i, j} (\ alpha)}$hozzáadja az A i-edik oszlopának a -szeresét az A. j-edik oszlopához.${\ displaystyle \ alpha}$
• ${\ displaystyle A \ cdot T_ {i, j}}$ kicseréli az A i-edik oszlopát az A. j-edik oszlopával (ESU III)

Lásd még a mátrixszorzást . Ezek a tulajdonságok fontosak a mátrixszámítás megoldási módszereinél, például a Gauss-Jordan algoritmusnál .

Emlékeztető: A fent említett transzformációk egyikéhez a megfelelő elemi mátrix felépítéséhez a megfelelő transzformációt alkalmazni kell az identitásmátrixra . Például annak az elemi mátrixnak a megszerzéséhez, amely felcseréli a mátrix első és második sorát, az azonosító mátrix első és második sorát felcserélik, ami azt eredményezi. ${\ displaystyle I_ {n}}$${\ displaystyle T_ {1,2}}$

Általános tulajdonságok

• Az elemi sortranszformációk (vagy oszloptranszformációk) a bal szorzásból (vagy a jobb szorzásból) származnak egy elemi mátrixszal.
• A mátrix rangja nem változik elemi sor- vagy oszlopműveletekkel.
• Ha egy lineáris egyenletrendszer adott formájában a és , akkor az alábbi műveleteket (tette lehetővé szorzás elemi mátrixok) nem változtat semmit a megoldást, ezért is nevezik elemi transzformációk (ahol a műveleteket a és b értéke egyszerre kell elvégezni): ${\ displaystyle (A, b)}$${\ displaystyle A \ K ^ -ban {m \ szor n}}$${\ displaystyle b \ K ^ -ban {m \ szor 1}}$
  1. Az egyik sor értékének hozzáadása egy másik sorhoz.${\ displaystyle \ alpha}$
  2. Két sor felcserélése.
  3. Egy sor megszorozása nem nulla értékkel.

Csoportelméleti tulajdonságok

Legyen a csoport az invertálható n × n mátrixok . ${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (K)}$

• Az elemi mátrixok megfordíthatók, és a hozzárendelések

${\ displaystyle K \ to \ mathrm {GL} _ {n} (K), \ quad \ alpha \ mapsto R_ {ij} (\ alpha)}$

mint

${\ displaystyle K ^ {\ times} \ to \ mathrm {GL} _ {n} (K), \ quad \ alpha \ mapsto S_ {i} (\ alpha)}$

a csoport homomorphisms . Különösen,

${\ displaystyle R_ {ij} (\ alpha) ^ {- 1} = R_ {ij} (- \ alpha)}$

és

${\ displaystyle S_ {i} (\ alpha) ^ {- 1} = S_ {i} (\ alpha ^ {- 1}).}$

A mátrixok saját inverzük: ${\ displaystyle T_ {ij}}$

${\ displaystyle T_ {ij} ^ {- 1} = T_ {ij}.}$

• Minden invertálható mátrix felírható elemi mátrixok szorzataként, azaz. H. az elemi mátrixok generálják a csoportot . Ehhez elegendő az 1-es és a 3-as típus. Az elemi mátrixok fontos alkalmazása ezen alapul: Annak igazolásához, hogy minden invertálható mátrixra vonatkozó állítást a következő két pont elégséges: ${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (K)}$
  1. Elemi mátrixokra vonatkozik.
  2. Ha az A és B mátrixokra vonatkozik, akkor az AB termékére is vonatkozik .

irodalom

• Gerd Fischer : Analitikai geometria (= Vieweg tanulmány . 35. évf. Matematika alaptanfolyam ). 4. felülvizsgált kiadás. Vieweg, Braunschweig et al., 1985, ISBN 3-528-37235-4 , 91-97.
• Gerd Fischer: Lineáris algebra. Bevezetés az elsőéves hallgatóknak. 17. frissített kiadás. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4 , 163-173.

web Linkek

• Helmut Lenzing, Andrew Hubery, Markus Diekämper, Marc Jesse: Lineare Algebra I - 2003/2004. Téli félév (előadási jegyzetek), III. Fejezet, 3.9. Szakasz Elemi mátrixok (pdf; 301 kB)
• Elemi mátrixok a PlanetMath- on