Podstawowa macierz

Pod osłoną podstawowy matrycy lub eliminacji matrycy jest rozumiane w Algebra liniowej , kwadratowej macierzy , które albo przez zmianę jednego elementu lub przez wymianę dwóch linii o - jednostkę matrycy jest inny. ${\ styl wyświetlania n \ razy n}$ ${\ styl wyświetlania I_ {n}}$

Mnożenie macierzy elementarnych matryce prowadzi do tak zwanych elementarnych wierszy i kolumn przemian . Te przekształcenia macierzy obejmują dodawanie razy jeden wiersz do drugiego, zamianę dwóch wierszy i mnożenie pojedynczego wiersza przez wartość niezerową . Jeśli pomnożysz macierz od lewej przez macierz elementarną, odpowiada to elementarnej transformacji liniowej macierzy . Elementarnymi macierzy mogą być mnożone z prawej strony matrycy , a następnie odpowiada podstawowej przemian kolumny o . ${\ styl wyświetlania \ alfa}$${\ styl wyświetlania \ gamma}$${\ styl wyświetlania n \ razy p}$${\ styl wyświetlania A}$${\ styl wyświetlania A}$${\ styl wyświetlania A}$${\ styl wyświetlania A}$

Podstawowe macierze są podstawą algorytmu Gaussa . Za ich pomocą liniowy układ równań , który został przekształcony w macierz, można sprowadzić do postaci krokowej , aby następnie odczytać rozwiązanie układu według specjalnych reguł.

Rodzaje macierzy elementarnych

W dalszej zakładamy w polu , jak - macierz tożsamości i o - standardowe matrycy , to znaczy H. macierz zerowych elementów, z wyjątkiem jednego elementu w punkcie , w którym używany jest indeks wiersza i indeks kolumny macierzy. ${\ styl wyświetlania K}$${\ styl wyświetlania I_ {n}}$${\ styl wyświetlania n \ razy n}$${\ styl wyświetlania E_ {i, j}}$${\ styl wyświetlania n \ razy n}$${\ styl wyświetlania (i, j)}$${\ styl wyświetlania i}$${\ styl wyświetlania j}$

Istnieją trzy rodzaje macierzy elementarnych:

Typ 1

Ta macierz ma tylko jeden element na swojej głównej przekątnej , w przeciwnym razie tylko zero elementów, z wyjątkiem miejsca, w którym znajduje się wartość , gdzie musi być - tj. H. wartość nie może znajdować się na głównej przekątnej. ${\ styl wyświetlania (i, j)}$${\ styl wyświetlania \ alfa \ w K}$${\ styl wyświetlania i \ neq j}$${\ styl wyświetlania \ alfa}$

Jest to generowane przez

${\ styl wyświetlania I_ {n} + \ alfa \ cdot E_ {i, j}}$, gdzie i jest.${\ styl wyświetlania \ alfa \ w K}$${\ styl wyświetlania i \ neq j}$

Dla skrótu piszemy

${\ displaystyle R_ {i, j} (\ alfa) = I_ {n} + \ alfa \ cdot E_ {i, j};}$

zauważ jednak, że nie jest to standardowa notacja.

Więc to jest wyraźnie prawda

${\ displaystyle R_ {i, j} (\ alfa) = {\ początek {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 \\\ end {pmatrix}} + \ alpha \ cdot {\ begin {pmatrix } 0 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ alfa & 0 \ \ 0 & 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 \\\ end {pmatrix}}}$,

gdzie znajduje się w -tym wierszu i -tej kolumnie. ${\ styl wyświetlania \ alfa}$${\ styl wyświetlania i}$${\ styl wyświetlania j}$

Przykłady

${\ displaystyle R_ {2,1} (-7) = {\ początek {pmatrix} 1 i 0 i 0 \\ - 7 i 1 i 0 \\ 0 i 0 i 1 \\\ koniec {pmatrix}}}$

${\ displaystyle R_ {1,3} (- 3) = {\ rozpocznij {pmatrix} 1 i 0 i -3 i 0 \\ 0 i 1 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 1 \\\ koniec {pmatrix}}}$

Wpisz 2

Ta macierz odpowiada macierzy jednostkowej, w której -ty i -ty wiersz zostały zamienione miejscami (oczywiście ). Na głównej przekątnej , pojedynczy element jest odliczany w miejscach i (aby uzyskać zero), a pojedynczy element jest dodawany ponownie w miejscach i . Ten rodzaj jest więc matryca permutacją do transpozycji . ${\ styl wyświetlania I_ {n}}$${\ styl wyświetlania i}$${\ styl wyświetlania j}$${\ styl wyświetlania i \ neq j}$${\ styl wyświetlania I_ {n}}$${\ styl wyświetlania (i, i)}$${\ styl wyświetlania (j, j)}$${\ styl wyświetlania (i, j)}$${\ styl wyświetlania (j, i)}$

Robią to następujące operacje na macierzach:

${\ displaystyle I_ {n} -E_ {i, i} -E_ {j, j} + E_ {i, j} + E_ {j, i}}$, Dla ${\ styl wyświetlania i \ neq j}$

Dla skrótu definiujemy tutaj typ 2 jako

${\ displaystyle T_ {i, j} = I_ {n} -E_ {i, i} -E_ {j, j} + E_ {i, j} + E_ {j, i}}$

Ogólnie rzecz biorąc, operacje wyglądają tak:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 &&&& \\ & 1 &&& \\ && \ ddots && \\ &&& 1 & \\ &&&& 1 \\\ end {pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} &&&& \\ & 1 _ {(i, i) } &&& \\ &&&& \\ &&&& \\ &&&& \\\ end {pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} &&&& \\ &&&& \\ &&&& \\ &&& 1 _ {(y, j)} & \\ &&&& \\\ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} &&&& \\ &&& 1 _ {(i, j)} & \\ &&&& \\ &&&& \\ &&&& \\\ end { pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} &&&& \ \ &&&& \\ &&&& \\ & 1 _ {(j, i)} &&& \\ &&&& \\\ end {pmatrix}} =}$

${\ displaystyle = {\ zacząć {pmatrix} 1 &&&& \\ & 0 _ {(i, i)} & \ cdots & 1 _ {(i, j)} & \\ & \ vdots & 1 & \ vdots & \ \ & 1 _ {(j, i )} & \ cdots & 0 _ {(j, j)} & \\ &&&& 1 \\\ end {pmatrix}}}$

Poniższy przykład pokazuje, jak zamienione są -ty i -ty wiersz: ${\ styl wyświetlania i}$${\ styl wyświetlania j}$

przykład

${\ displaystyle T_ {1,2} = {\ begin {pmatrix} 1 i 0 i 0 \\ 0 i 1 i 0 \\ 0 i 0 i 1 \\\ end {pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end { pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} + {\ begin { pmmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 i 0 i 1 \\\ koniec {pmatrix}}}$

jest analogowy

${\ displaystyle T_ {2,4} = {\ rozpocznij {pmatrix} 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 1 \\ 0 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i 1 i 0 i 0 \\\ koniec {pmatrix}}}$

Wpisz 3

Główna przekątna tej macierzy składa się z pojedynczych elementów, z wyjątkiem miejsca wstawienia wartości , które musi być niezerowe. Poza główną przekątną są tylko elementy zero. ${\ styl wyświetlania (i, i)}$${\ styl wyświetlania \ gamma \ w K}$

Osiąga się to poprzez

${\ Displaystyle I_ {n} + (\ gamma -1) \ cdot E_ {i, i}}$, z i${\ styl wyświetlania \ gamma \ w K}$${\ styl wyświetlania \ gamma \ neq 0}$

(W tym momencie , jeden dodaje i odejmuje). ${\ styl wyświetlania (i, i)}$${\ styl wyświetlania \ gamma}$

Jako skrót należy tutaj użyć typu 3 jako

${\ displaystyle S_ {i} (\ gamma) = I_ {n} + (\ gamma -1) \ cdot E_ {i, i}}$

Zostać określone. Znowu nie jest to standardowa notacja.

Wykonane operacje:

${\ displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 1 &&&& \\ & 1 &&& \\ && \ ddots && \\ &&& 1 & \\ &&&& 1 \\\ koniec {pmatrix}} + (\ gamma -1) \ cdot {\ begin {pmatrix} &&&&& \ \ & 1 _ {(i, i)} &&&& \\ &&&&& \\ &&&&& \\ &&&&& \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 &&&& \\ & \ gamma _ {(i, i)} &&& \ \ && \ ddots && \\ &&& 1 \\ &&&& 1 \\\ end {pmatrix}}}$

Przykłady

${\ displaystyle S_ {2} (8) = {\ początek {pmatrix} 1 i 0 i 0 \\ 0 i 8 i 0 \\ 0 i 0 i 1 \\\ koniec {pmatrix}}}$

${\ displaystyle S_ {3} (17) = {\ zacząć {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 17 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ koniec {pmatrix}}}$

Wpływ macierzy elementarnych na inne macierze

Niech A będzie macierzą i , oraz macierzami odpowiednio typu 1, typu 2 i typu 3 . ${\ styl wyświetlania n \ razy m}$${\ styl wyświetlania R_ {i, j} (\ alfa)}$${\ styl wyświetlania T_ {i, j}}$${\ styl wyświetlania S_ {i} (\ gamma)}$

Mnożenie od lewej daje przekształcenia linii:

• ${\ displaystyle S_ {i} (\ gamma) \ cdot A}$mnoży i-ty wiersz A przez wartość , przy czym pozostałe wiersze pozostają bez zmian (EZU I)${\ styl wyświetlania \ gamma}$
• ${\ displaystyle R_ {i, j} (\ alfa) \ cdot A}$dodaje -krotność j-tego rzędu A do i-tego rzędu A. (EZU II)${\ styl wyświetlania \ alfa}$
• ${\ displaystyle T_ {i, j} \ cdot A}$ zamienia i-ty rząd A z j-tym rzędem A. (EZU III)

Mnożenie od prawej powoduje przekształcenia kolumn:

• ${\ styl wyświetlania A \ cdot S_ {i} (\ gamma)}$mnoży i-tą kolumnę A przez wartość , pozostawiając pozostałe kolumny bez zmian. (ESU I)${\ styl wyświetlania \ gamma}$
• ${\ displaystyle A \ cdot R_ {i, j} (\ alfa)}$dodaje -krotność i-tej kolumny A do j-tej kolumny A. (ESU II) Zwróć uwagę na zamienione znaczenia i oraz j w przeciwieństwie do konwersji linii.${\ styl wyświetlania \ alfa}$
• ${\ styl wyświetlania A \ cdot T_ {i, j}}$ zamienia i-tą kolumnę A z j-tą kolumną A. (ESU III)

Zobacz także mnożenie macierzy . Właściwości te są ważne dla metod rozwiązywania obliczeń macierzowych, takich jak algorytm Gaussa-Jordana .

Przypomnienie: Aby skonstruować odpowiednią macierz elementarną dla jednej z wyżej wymienionych transformacji, odpowiednią transformację należy zastosować do macierzy jednostkowej . Na przykład, w celu uzyskania macierzy elementarnej, która zamienia pierwszy i drugi wiersz macierzy, zamieniane są pierwsze i drugie wiersze macierzy identyfikacyjnej, co skutkuje. ${\ styl wyświetlania I_ {n}}$${\ styl wyświetlania T_ {1,2}}$

Ogólne właściwości

• Elementarne przekształcenia wierszy (lub przekształcenia kolumn) wynikają z mnożenia od lewej (lub mnożenia od prawej) za pomocą macierzy elementarnej.
• Stopień matrycy nie zmienia się o elementarnych operacji wiersza lub kolumny.
• Jeśli liniowy układ równań podany jest w postaci z i , to następujące operacje (umożliwiające mnożenie z macierzami elementarnymi) nie zmieniają niczego w rozwiązaniu i dlatego nazywane są również przekształceniami elementarnymi (gdzie operacje na A i b są do przeprowadzenia jednocześnie): ${\ styl wyświetlania (A, b)}$${\ displaystyle A \ w K ^ {m \ razy n}}$${\ displaystyle b \ w K ^ {m \ razy 1}}$
  1. Dodanie wartości jednego wiersza do drugiego.${\ styl wyświetlania \ alfa}$
  2. Zamiana dwóch linii.
  3. Mnożenie wiersza przez wartość niezerową.

Grupuj właściwości teoretyczne

Niech będzie grupę o odwracania sygnału n x n macierzy . ${\ styl wyświetlania \ matematyka {GL} _ {n} (K)}$

• Macierze elementarne są odwracalne, a przypisania

${\ displaystyle K \ do \ mathrm {GL} _ {n} (K), \ quad \ alpha \ mapsto R_ {ij} (\ alfa)}$

tak jak

${\ displaystyle K ^ {\ razy} \ do \ mathrm {GL} _ {n} (K), \ quad \ alfa \ mapsto S_ {i} (\ alfa)}$

są homomorfizmami grupowymi . W szczególności,

${\ displaystyle R_ {ij} (\ alfa) ^ {- 1} = R_ {ij} (- \ alfa)}$

i

${\ displaystyle S_ {i} (\ alfa) ^ {-1} = S_ {i} (\ alfa ^ {-1}).}$

Macierze są własnymi odwrotnościami: ${\ displaystyle T_ {ij}}$

${\ displaystyle T_ {ij} ^ {- 1} = T_ {ij}.}$

• Każdą macierz odwracalną można zapisać jako iloczyn macierzy elementarnych, tj. H. elementarnymi macierzy generuje na grupę . Wystarczą do tego typ 1 i typ 3. Na tym opiera się ważne zastosowanie macierzy elementarnych: Aby udowodnić zdanie dla wszystkich macierzy odwracalnych, wystarczą dwa następujące punkty: ${\ styl wyświetlania \ matematyka {GL} _ {n} (K)}$
  1. Dotyczy macierzy elementarnych.
  2. Jeśli dotyczy macierzy A i B , dotyczy to również Twojego produktu AB .

literatura

• Gerd Fischer : Geometria analityczna (= Studium Vieweg. Vol. 35 Podstawowy kurs matematyki ). Czwarte wydanie poprawione. Vieweg, Braunschweig i wsp. 1985, ISBN 3-528-37235-4 , s. 91-97.
• Gerd Fischer: Algebra Liniowa. Wprowadzenie dla studentów pierwszego roku. 17 wydanie zaktualizowane. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4 , s. 163-173.

linki internetowe

• Helmut Lenzing, Andrew Hubery, Markus Diekämper, Marc Jesse: Lineare Algebra I - semestr zimowy 2003/2004 (noty do wykładu), rozdział III, sekcja 3.9 Matryce podstawowe (pdf; 301 kB)
• Podstawowe macierze na PlanetMath