Másodfokú egyenlet

A matematikában a másodfokú vagy másodfokú egyenlet ismeretlennel olyan algebrai egyenlet , amelyben az ismeretlen megjelenésének maximális foka 2, és mindig a következő alaknak tulajdonítható: $x$

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0 \ qquad {\ mbox {(with}} a \ neq 0 {\ mbox {)}}}$,

ahol valós vagy komplex számok . $a, b, c$

Az algebra alaptétele szerint a másodfokú egyenletek megoldásai (az egyenlet gyökeinek vagy nulláinak is nevezik ) a komplex mezőben mindig kettő, ha a multiplicitásukkal számoljuk . Ezzel szemben a valós területen a másodfokú egyenletek két megoldást engedhetnek meg, kettős megoldást vagy megoldást nem.

Sőt, az úgynevezett hiányos egyenletek , ahol néhány együttható nullával egyenlő , különösen egyszerűen megoldható .

A függvény grafikonja _

${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$

a derékszögű síkban egy parabola , amelynek homorúsága a jelétől függ . Pontosabban: ha a parabola homorúsága felfelé néz, ha a parabola homorúsága lefelé néz. $nak nek$$a> 0$$a <0$

Történelem

Az ókori babilóniaiak hagyták meg az első bizonyítékot a másodfokú egyenletek felfedezésére agyagtáblákban, és találták meg az első technikákat ezek megoldására. Mezopotámiában az egyenleteket gyakran geometriai jellegű feladatok vezették be : például egy négyzet oldalának megkeresésére van szükség, tudva, hogy a terület mínusz az egyik oldala 870; probléma, amely megfelel az egyenletünknek (normál alakra redukálva, mint ). A babilóniaiak azonban nem fogadták el az egyenletek negatív és nulla megoldását, és nem fogadták el azt a tényt, hogy az együtthatók pozitív és negatív értékeket is felvehetnek, egyetlen normális alakot sem ismertek fel, hanem három pozitív együtthatós esetet különböztettek meg: $x ^ 2 - x = 870$${\ displaystyle x ^ {2} -x-870 = 0}$

• ${\ displaystyle x ^ {2} + bx = c}$
• ${\ displaystyle x ^ {2} + c = bx}$
• ${\ displaystyle x ^ {2} = bx + c}$

A modern formában kifejezve az első az ismert negatív taggal, a második az elsőfokú negatív együtthatóval, a harmadik pedig mindkét együttható nullánál kisebb. Az összes pozitív tagot tartalmazó egyenletet nem is vettük figyelembe, mivel csak negatív megoldásokat enged meg.

A normál babilóniai formában a másodfokú együttható egységes, de nem jutottak el ehhez a formához, mivel ezt követően az arabok minden tagot osztottak -vel . Például az egyenlet alapján mindkét tagot megszoroztuk a következővel , majd végrehajtottuk a helyettesítést annak érdekében, hogy a változóban normális formájú egyenletet kapjunk ; . Ez az eljárás a babiloni algebra által elért nagyfokú rugalmasságról tanúskodik . $nak nek$${\ displaystyle ax ^ {2} + bx = c}$$nak nek$${\ displaystyle a ^ {2} x ^ {2} + bax = ac}$${\ displaystyle y = ax}$$y$${\ displaystyle y ^ {2} + by = ac}$

A megoldást olyan képletek adtak meg, amelyek nagyon emlékeztetnek a maiakra. Például az első eset megoldási képlete modern jelöléssel kifejezve a következő volt:

${\ displaystyle x = {\ sqrt {{\ frac {b ^ {2}} {4}} + c}} - {\ frac {b} {2}},}$

amely egyszerű algebrai lépésekkel redukálható a modern megoldási képletre ebben az esetben:

${\ displaystyle x = {\ frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} + 4c}}} {2}}}$.

Baudhāyana indiai matematikus , aki Shulba-szútrát írt az ókori Indiában az ie 8. század körül , először használta a forma másodfokú egyenleteit és a megoldási módszereket. $ax ^ 2 = c$$ax ^ 2 + bx = c$

A babiloni (i.e. 400 körül) és a kínai matematikusok a négyzetkiegészítés módszerét alkalmazták különböző pozitív gyökű másodfokú egyenletek megoldására, de általános képletet nem kaptak.

Eukleidész egy elvontabb geometriai módszert írt le ie 300 körül; Alexandriai Diophantus a másodfokú egyenletek megoldásával foglalkozott, munkája azonban nem járt jelentős következményekkel, mivel a görög matematika a hanyatlás szakaszában volt. A Bakshali kézirat , amelyet Indiában írtak ie 200 és i.sz. 400 között, bevezette a másodfokú egyenletek megoldási képletét.

Az első ismert matematikus, aki alkalmazta az általános algebrai képletet, amely lehetővé tette a pozitív és negatív megoldásokat is, Brahmagupta volt ( India , 7. század ).

Al-Khwarizmi ( BagdĀd , Kr. u. 9. század ) önállóan dolgozott ki egy olyan képletkészletet, amely pozitív megoldásokhoz működött. Az al-Dzsabrban al-Khwarizmi 5 egyenlettípust különböztet meg: a babilóniaiak által már ismert hármat, valamint a tiszta és a hamis egyenletet . Itt is a másodfokú együtthatót egyenlőnek állítjuk be , de osztással is elérhető. A negatív megoldásokat ezúttal sem fogadják el. ${\ displaystyle x ^ {2} = c}$ ${\ displaystyle x ^ {2} = bx}$$1$

Az al-Khwarizmi által használt módszer a négyzet kitöltése . Az egyenletet például úgy lehetett volna megoldani, hogy mindkét tagot hozzáadtuk volna, hogy „teljesítsük” a négyzetet az első tagon: azaz . Ebből a pozitív megoldást kaptuk és így találtuk meg . ${\ displaystyle x ^ {2} + 8x = 33}$$16$${\ displaystyle x ^ {2} + 8x + 16 = 49}$${\ megjelenítési stílus (x + 4) ^ {2} = 49}$${\ displaystyle x + 4 = 7}$$x = 3$

Az arab matematikus grafikus átültetést is javasolt. Tegyük fel, hogy ugyanazt az egyenletet kell megoldanunk . A perzsa által használt módszer ebben az esetben a következőhöz hasonló lehetett : rajzoljunk egy négyzetet, amelynek oldala van (az ábrán a kék). Két nagy téglalap szegélyezi és ez (az ábrán a zöldek). A zöld és kék ábra területe . Tegyük fel most, hogy ez a terület egyenlő . Most adjuk hozzá a piros négyzetet az oldalához , hogy "teljesítsük" a nagy négyzetet. A teljes terület tehát 7 lesz , a nagy négyzet oldala tehát 7. Mivel a nagy oldalt a kék négyzet oldala (azaz ) adja a zöld téglalap oldalához (azaz 4); . Al-Khwaritzmi először hangsúlyozza a diszkrimináns előjelét, amelynek pozitívnak kell lennie ahhoz, hogy az egyenlet megoldható legyen. ${\ displaystyle x ^ {2} + 8x = 33}$$x$$x$$4$${\ displaystyle {\ frac {b} {2}}}$${\ displaystyle x ^ {2} + 8x}$$33$$4$${\ displaystyle 33 + 16 = 49}$$x$${\ displaystyle x = 7-4 = 3}$

A másodfokú egyenlet megoldására szolgáló általános képlet felfedezésének elsőbbségét Sridharának (870-930 körül) tulajdonították , bár az ő idejében volt egy vita. A szabály (amint azt II. Bhaskara közölte ):

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát ismert mennyiséggel, amely egyenlő az ismeretlen négyzetének négyszeresével; adjunk hozzá mindkét oldalhoz egy ismert mennyiséget, amely egyenlő az ismeretlen együtthatójának négyzetével; akkor ez határozza meg a négyzetgyököt. "

Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (más néven Savasorda ) volt az első, aki a Liber embadorum nevű komplett megoldást bevezette Európában . A modern kor Európában elkezdtük elfogadni a negatív, majd az összetett megoldásokat, és az egyenletet egyetlen normális formába tenni.

Viète volt az első, aki bevezetett betűket az egyenletek együtthatóinak kifejezésére, először is feltételezve, hogy negatív értékeket is felvehetnek. Ezután felfedezte a képleteket, amelyek az ő nevét viselik, és amelyek az egyenlet együtthatóit a gyökökhöz kapcsolják. Konkrétan a másodfokú egyenletre azt mondják, hogy ha a másodfokú együttható 1, akkor a gyökök szorzata adja az ismert tagot, és az összegük ellentéte az elsőfokú együtthatót. $nak nek$

Descartes a 17. században bevezette az előjelek szabályát , amely szerint egy másodfokú egyenletnek annyi pozitív megoldása van, ahány előjel változik két egymást követő együttható között. Az egyenlet például, amelynek előjelének állandósága (az első és második együttható között) és előjelváltozata (a második és a harmadik együttható között) negatív és pozitív megoldást tesz lehetővé, helyette az egyenlet , amely két előjelváltozást mutat be egymást követő együtthatók, két pozitív gyökeret ismer fel. ${\ displaystyle x ^ {2} + 8x-33 = 0}$${\ displaystyle x ^ {2} -8x + 33 = 0}$

Hiányos másodfokú egyenletek

Hamis egyenlet

A hamis egy másodfokú egyenlet, amelyből hiányzik az ismert kifejezés, vagyis a következő alakja van:

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx = 0.}$

Egy ilyen típusú egyenlet könnyen megoldható közös faktorgyűjtéssel :

${\ displaystyle x (ax + b) = 0.}$

A szorzat érvénytelenítésének törvénye szerint ez az egyenlet ekvivalens a kettővel:

${\ displaystyle x_ {1} = 0 \ quad {\ mbox {e}} \ quad ax_ {2} + b = 0.}$

és végül a megoldásai a következők:

${\ displaystyle x_ {1} = 0 \ quad {\ mbox {e}} \ quad x_ {2} = - {\ frac {b} {a}}.}$

Ha a hamis egyenlet együtthatói valós számok, akkor erre az egyenletre jellemző, hogy mindig két különböző valós megoldása van, amelyek közül az egyik nulla.

Tiszta egyenlet

A tiszta másodfokú egyenlet egy másodfokú polinomiális egyenlet, amelyből hiányzik az elsőfokú tag:

${\ displaystyle ax ^ {2} + c = 0.}$

A második tagra hozva és elosztva a következőt kapjuk: $c$$nak nek$

${\ displaystyle x ^ {2} = - {\ frac {c} {a}}.}$

Ha , az egyenlet nem fogad megoldást a valós mezőben, mivel nincsenek olyan valós számok, amelyek egy negatív szám négyzetgyökei (például ), de a komplex számok területén két megoldás létezik. ${\ displaystyle - {\ tfrac {c} {a}} <0}$$\ négyzetméter {-4}$

Ha , az egyenletet a következőképpen oldjuk meg: ${\ displaystyle - {\ tfrac {c} {a}}> 0}$

${\ displaystyle x_ {1,2} = \ pm {\ sqrt {- {\ frac {c} {a}}}}.}$

Ha a tiszta egyenlet együtthatói valós számok, a megoldás mindig vagy két ellentétes valós szám vagy két konjugált komplex szám lesz .

Monómiaegyenlet

A monomia egyenlet egy másodfokú egyenlet, amelyben és ezért a formában . Ebben az esetben az egyenlet egyetlen megoldásként a dupla, vagy a kettes multiplicitást fogadja el . $b = 0$$c = 0$${\ displaystyle ax ^ {2} = 0}$${\ megjelenítési stílus x_ {1} = x_ {2} = 0}$

Teljes egyenletek és általános megoldási képlet

A másodfokú polinomi egyenletet "teljes másodfokú egyenletnek" nevezzük, ha minden együtthatója különbözik a -tól . Megoldása az úgynevezett négyzetkiegészítési módszerrel történik, amit azért hívnak, mert az egyenlet addig módosul, amíg az első tagja egy binomiális négyzete lesz a következő formában: ${\ displaystyle 0}$

${\ megjelenítési stílus (A + B) ^ {2} = A ^ {2} + 2AB + B ^ {2}}$.

Először is menjen a második taghoz: $c$

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx = -c.}$

Mindkét oldallal megszorozva a következőket kapjuk: $4a$

${\ displaystyle 4a ^ {2} x ^ {2} + 4abx = -4ac.}$

Vegye figyelembe, hogy:

$4a ^ 2x ^ 2 = (2ax) ^ 2$

az, hogy a:

${\ displaystyle 4abx = 2 \ cdot (2ax) \ cdot b}$,

ezért lehet tekinteni a tagot a binomiális négyzet képletének és a kettős szorzatnak, ahol la egyenlő ; ezért, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy az első tagnak binomiális négyzete van, hozzáadjuk az egyenlet mindkét oldalához : $2ax$$NAK NEK$$4abx$$2AB$$B.$$b$$b ^ 2$

$4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + b ^ 2 = b ^ 2 - 4ac$,

vagyis:

${\ displaystyle (2ax + b) ^ {2} = b ^ {2} -4ac.}$

Ennek az egyenletnek a második tagját diszkriminánsnak nevezik , és általában a görög delta nagybetűvel jelölik . Ha negatív, akkor nincsenek valós megoldások, mivel az első tag, mivel négyzet, mindig nagyobb vagy egyenlő, mint . Ha nem, írhatod: $\Delta$$b ^ 2 - 4ac$${\ displaystyle 0}$

${\ displaystyle 2ax + b = \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}}$

amely egyszerű lépésekkel átírható a következőre:

$x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}$

Ez utóbbi kifejezés "másodfokú egyenletek megoldási képlete" néven ismert.

Megoldások számítása

Az előző bizonyítás fényében világos, hogy egy másodfokú egyenlet megoldásánál mindenekelőtt a diszkriminánst kell kiszámítani . Három eset létezik: ${\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac}$

• Ha , két valódi és különálló megoldás létezik: $\ Delta> 0$

  ${\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {-b + {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}}}$

  ${\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {-b - {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}}}$

• Ha , a megoldás képlete a következő lesz: $\ Delta = 0$

  ${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm 0} {2a}} = - {\ frac {b} {2a}}}$

  Ezért , és csak egy gyöke van a kettes multiplicitásnak. $x_ {1} = x_ {2}$
• Végül, ha az egyenletnek nincsenek valós megoldásai. Konkrétan a megoldás mindig kettő, de a komplex számok területéhez tartoznak: két konjugált komplex szám , és a két képlet alapján számítjuk ki: $\ Delta <0$

  ${\ displaystyle x _ {+} = {\ frac {-b} {2a}} + i \ bal ({\ frac {\ sqrt {4ac-b ^ {2}}} {2a}} \ jobb)}$

  ${\ displaystyle x _ {-} = {\ frac {-b} {2a}} - i \ left ({\ frac {\ sqrt {4ac-b ^ {2}}} {2a}} \ right),}$

  hol van a képzeletbeli egység ( ). $az$$i ^ 2 = -1$

Geometriai értelmezés

A másodfokú függvénynél:, egy valós változónál azon pontok abszcisszán, ahol a gráf érinti a tengelyt , és , a : másodfokú egyenlet gyökei .${\ megjelenítési stílus f (x) = x ^ {2} -x-2 = (x + 1) (x-2)}$ $x$$x$$x = -1$$x = 2$${\ displaystyle x ^ {2} -x-2 = 0}$

A másodfokú egyenlet gyökerei

$ax ^ 2 + bx + c = 0,$

azok a pontok is, ahol a függvény

${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c,}$

null értéket vesz fel, mivel ezek az értékek, amelyek: $x$

${\ displaystyle f (x) = 0.}$

Ha , és valós számok, és a tartomány a valós számok halmaza, akkor a nullák pontosan azon pontok abszcisszái , ahol a grafikon érinti az x tengelyt . $nak nek$$b$$c$$f$$f$$f$

Az előző megfontolások alapján a következőkre lehet következtetni:

• ha a diszkrimináns pozitív, a gráf két pontban metszi az abszcissza tengelyt;
• ha nulla, akkor a gráf érinti a tengelyt , azaz metszi azt a parabola csúcsában ;$x$
• ha negatív, a grafikon soha nem érinti a tengelyt .$x$

A megoldási képlet redukált formája

A másodfokú egyenlet megoldási képlete "egyszerűsíthető" a nevező és a számláló szorzásával : $\ tfrac {1} {2}$

${\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} = {\ frac {- {\ frac {1} {2}} b \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {a}} = {\ frac {- {\ frac {b} {2}} \ pm {\ sqrt { \ bal ({\ frac {b} {2}} \ jobb) ^ {2} -ac}}} {a}},}$

és a helyettesítést alkalmazva a következőt kapjuk: ${\ displaystyle t = {\ tfrac {b} {2}}}$

${\ displaystyle x = {\ frac {- {\ frac {b} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} -ac}} } {a}} = {\ frac {-t \ pm {\ sqrt {t ^ {2} -ac}}} {a}}.}$

Ez a képlet akkor lehet hasznos, ha a ,, egyenlet elsőfokú ismeretlen együtthatója pontosan osztható kettővel, és redukált képletnek nevezzük . $b$

Ebben az esetben a képlet leegyszerűsödik: $a = 1$

${\ displaystyle x = - {\ frac {b} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {b} {2}} \ right) ^ {2} -c}}}$

A gyökök és az együtthatók közötti kapcsolatok

Tegyük egyenlővé a másodfokú egyenlet két megoldásának és szorzatának összegét, ezért és . A két megoldás tagonkénti hozzáadásával a következőket kapjuk: $s$$p$$s = x_1 + x_2$$p = x_ {1} x_2$

${\ displaystyle s = x_ {1} + x_ {2} = {\ frac {-b - {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} + {\ frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} = {\ frac {-2b} {2a}} = - {\ frac {b} {a}}.}$

Ehelyett, ha a terméket taggá teszi, a következőket kapja:

${\ displaystyle p = x_ {1} x_ {2} = {\ frac {(-b - {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}) (- b + {\ sqrt {b ^ {2} - 4ac }})} {4a ^ {2}}} = {\ frac {(-b) ^ {2} - ({\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}) ^ {2}} {4a ^ { 2}}} = {\ frac {b ^ {2} -b ^ {2} + 4ac} {4a ^ {2}}} = {\ frac {c} {a}}.}$

Ez a két összefüggés lehetővé teszi a gyökök összegének és szorzatának meghatározását a egyenlet megoldása nélkül ; ezek a Viète-képletek sajátos esetei . Továbbá, ha az általános másodfokú egyenletet átírjuk az úgynevezett normál alakra , azaz mindkét tagot elosztjuk -val : $nak nek$

${\ displaystyle x ^ {2} + {\ frac {b} {a}} x + {\ frac {c} {a}} = 0,}$

triviális helyettesítésekkel a következő formát kapjuk:

$x ^ 2 - sx + p = 0$

Kevésbé használt, de ugyanolyan fontos a kapcsolat:

${\ displaystyle | x_ {1} -x_ {2} | = {\ frac {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}} {| a |}},}$

egyszerű algebrai lépésekkel kimutatható.

Trinomial Factorization

Tekintsük a teljes másodfokú polinomot:

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c,}$

és tegyük fel azt is, hogy a polinom nullával való egyenlővé tételével kapott egyenlet diszkriminánsa pozitív (egy szükségtelen hipotézis a komplex számok területén). A gyűjtéssel a következőket kapod: $nak nek$

${\ displaystyle a \ left (x ^ {2} + {\ frac {b} {a}} x + {\ frac {c} {a}} \ right).}$

Már korábban is megállapították, hogy e . Így: $x_1 + x_2 = - \ tfrac {b} {a}$$x_ {1} x_2 = \ tfrac {c} {a}$

$\ kezdődik {igazítás} a \ balra (x ^ 2 - (x_1 + x_2) x + x_ {1} x_2 \ right) & = a \ balra (x ^ 2 - x_ {1} x - x_ {2} x + x_ {1} x_2 \ jobbra) \\ & = a (x (x - x_1) - x_ {2} (x - x_1)) \\ & = a (x - x_1) (x - x_2) \ vége {igazítás }$

Ezért lehetséges egy másodfokú polinomot két elsőfokú binomira bontani, kiszámítva a nullával egyenlő polinom által adott egyenlet megoldásait:

$ax ^ 2 + bx + c = a (x - x_1) (x - x_2).$

Ha a társított egyenletnek csak egy valós megoldása van kettes multiplicitásúnak, akkor a másodfokú trinomiális dekompozíciója a következőképpen írható át: $\ Delta = 0$

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a (x-x_ {1}) ^ {2}.}$

A jelek szabálya

Az előjelek szabálya vagy a Descartes -szabály lehetővé teszi egy teljes egyenlet gyökeinek előjelének meghatározását nem negatív diszkriminánssal. Tekintsük sorrendben a , és a jeleit . Feltételezheti, hogy igen , hacsak nem szorozza meg mindkét kifejezést -vel . Lehetséges kombinációk: $nak nek$$b$$c$$a> 0$$-1$$4$

nak nek	b	c
+	+	+
+	+	-
+	-	+
+	-	-

1. Első eset :. Felidézve, hogy és , ebből az következik, hogy a szorzatuk pozitív, az összegük pedig negatív, tehát mindkét megoldás negatív.$a, b, c> 0$$x_1 + x_2 = - \ tfrac {b} {a}$$x_ {1} x_2 = \ tfrac {c} {a}$
2. Második eset: e . Ekkor a gyökök szorzata negatív (ami azt jelenti, hogy diszkordánsak), az összeg pedig negatív (ami azt jelenti, hogy a negatív megoldás abszolút értékben nagyobb, mint a pozitív).$a, b> 0$$c <0$
3. Harmadik eset: e . Ekkor a gyökerek szorzata pozitív, valamint az összegük; ezért mindkét gyökér pozitív.$a, c> 0$$b <0$
4. Negyedik eset: e . Ekkor a gyökök szorzata negatív (ami ismét azt jelenti, hogy diszkordánsak), de az összeg pozitív (ezért a pozitív megoldás abszolút értékben nagyobb).$a> 0$$b, c <0$

Állandóságnak nevezve minden két egyenlőségjel sorozatát, variációnak pedig minden ellentétes előjel sorozatát, az előző eredményeket úgy foglalhatjuk össze, hogy minden állandóság negatív megoldásnak, minden változatnak pedig pozitív megoldásnak felel meg. Ha a gyökök diszkordánsak, a pozitív érték abszolút értékben nagyobb, ha a változás megelőzi az állandóságot; a negatív, ha az állandóság megelőzi a változást.

Példa a megoldásra a négyzet kitöltésével

Van:

$f (x) = x ^ 2 + 3x + 2 = 0$

így:

$(x ^ 2 + 3x + \ tfrac {9} {4}) - \ tfrac {9} {4} + 2 = 0$

$(x + \ tfrac {3} {2}) ^ 2 - \ tfrac {9} {4} + 2 = 0$

$(x + \ tfrac {3} {2}) ^ 2 = \ tfrac {1} {4}$

amelyből:

1. $x + \ tfrac {3} {2} = \ tfrac {1} {2} \ iff x_1 = -1$
2. $x + \ tfrac {3} {2} = - \ tfrac {1} {2} \ iff x_2 = -2$

Ezen a ponton megrajzolható a grafikonja , lefordítva a -hoz tartozó parabolát a tengely mentén és a tengely mentén . $f (x)$$y = x ^ 2$${\ displaystyle - {\ frac {3} {2}}}$$x$${\ displaystyle - {\ frac {1} {4}}}$$y$

Végül is metódus

Egyes egyenletekre különböző módszerek alkalmazhatók a gyökereik megtalálásához. A Ruffini -féle maradéktételt használjuk , az ismert tag lehetséges osztóit ellenőrizzük és egyszer -egyszer felvesszük ; akkor a Ruffini-féle maradéktétel képletét figyelembe véve azonnal megtudhatjuk, hogy , és az egyenletben a helyett a -t behelyettesítve ellenőrizhetjük azt a maradékot, amelyből a polinom osztva lesz : ha igen, akkor ez lesz az osztó , ahol egy megoldási egyenlet . Ezen a ponton a másik megoldást kétféleképpen találhatjuk meg: $c$$+$$-$$(xy)$$x = y$$y$$x$$(xy)$${\ displaystyle 0}$$(xy)$$y$

• Ruffini :

A Ruffini-féle osztás vagy a kanonikus módszer alkalmazásával olyan binomiálist kapunk, amelyben az együttható lehetséges gyűjtése után az ismert tag előjelben változtatva lesz a második keresett megoldás: $nak nek$

${\ displaystyle (ax ^ {2} + bx + c) :( xy) = a \ cdot (xz) \ Longrightarrow x = z.}$

Ezért:$x_1 = y;$ ${\ displaystyle x_ {2} = z.}$

• Roots módszer :

Ennek tudatában:

${\ displaystyle - {\ frac {b} {a}} = x_ {1} + x_ {2}.}$

az, hogy a:

${\ displaystyle {\ frac {c} {a}} = x_ {1} x_ {2}.}$,

Miután megtaláltuk az első megoldást a fent látható módszerrel, a második megoldást rövidebb úton, osztás alkalmazása nélkül megtalálhatjuk a következő beállítással:

${\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {c} {ax_ {1}}},}$

${\ displaystyle x_ {2} = - {\ frac {b} {a}} - x_ {1}.}$

Ennek a fordítottja is igaz.

Különleges esetek

Két speciális eset a vagy . Az első esetben a megoldások és , míg a második esetben a megoldások az és$a + c = -b$$a + c = b$$x_1 = + 1$$x_2 = \ frac {c} {a}$$x_1 = -1$${\ displaystyle x_ {2} = - {\ frac {c} {a}}.}$

Alternatív képlet

Bizonyos helyzetekben célszerű a gyökereket alternatív formában kifejezni:

${\ displaystyle x = {\ frac {2c} {- b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}}}.}$

Ez a képlet azonban csak azzal a további feltétellel helyes, hogy nem nulla. Ha , ez a képlet helyesen adja meg a megoldást , de nem kapja meg a nullától eltérő gyöket (mivel a osztást kapná , ami nincs definiálva). $c$$c = 0$$x = 0$$0/0$

Természetesen a két gyök értéke egyenlő, függetlenül attól, hogy a "klasszikus" vagy az alternatív képletet használjuk, ami valójában az első egyszerű algebrai változata:

$\ kezdődik {align} \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2-4ac \}} {2a} & = \ frac {\ left (-b + \ sqrt {b ^ 2-4ac \} \ right) \ bal (-b - \ sqrt {b ^ 2-4ac \} \ jobb)} {2a \ bal (-b - \ sqrt {b ^ 2-4ac \} \ jobb)} \\ & = \ frac {4ac} {2a \ left (-b - \ sqrt {b ^ 2-4ac} \ right)} \\ & = \ frac {2c} {- b - \ sqrt {b ^ 2-4ac \}}. \ end {align}$

A lebegőpontos műveletekkel felszerelt számológépen végzett gondos megvalósítás mindkét képlettől eltér az eredmény robusztusságának biztosítása érdekében. Feltételezve, hogy a diszkrimináns pozitív és , a következő kód használható: ${\ displaystyle b \ neq 0}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} t & = - {\ frac {\ left (b + \ operatorname {sgn} (b) {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}} \ right)} {2} } \ \ r_ {1}: & = {\ frac {t} {a}} \\ r_ {2}: & = {\ frac {c} {t}} \ vége {igazítva}}}$

ahol az előjelfüggvényt jelöli , amely akkor érvényes, ha pozitív és negatív; ez az elrendezés biztosítja két azonos előjelű mennyiség hozzáadását, elkerülve a pontosság elvesztését . A második gyök kiszámítása azt a tényt használja ki, hogy a gyökök szorzata egyenlő . ${\ displaystyle \ operátornév {sgn} (b)}$$+1$$b$$-1$$b$${\ displaystyle r_ {2}}$$\ tfrac {c} {a}$

Bibliográfia

• Carl Benjamin Boyer , A matematika története, Adriano Carugo fordítása, Mondadori, 1991, ISBN  88-04-33431-2 .
• Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN  978-88-08-31344-7 .
• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, A matematika alapelvei (3. kötet) , Atlas, 2012, ISBN  978-88-268-1711-8 .
• Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 3 , Ghisetti és Corvi, 2012, ISBN  978-88-538-0431-0 .

Kapcsolódó elemek

• Egyenlet
• Lineáris egyenlet
• Köbös egyenlet
• Kvartikus egyenlet
• Radikális (matematika)
• Parabola (geometria)
• Másodfokú egyenlőtlenség
• Másodfokú egyenletrendszer

Egyéb projektek

Egyéb projektek

• Wikiversitás
• Wikimedia Commons

• A Wikiversitás forrásokat tartalmaz a másodfokú egyenlethez
• A Wikimedia Commons képeket vagy más fájlokat tartalmaz másodfokú egyenlet szerint

Külső linkek

• ( EN ) Másodfokú egyenlet , az Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.