Viète képletek

A matematikában , pontosabban az algebrában a Viète-képletek , amelyeket François Viète (1540-1603) nevezett el , olyan képletek , amelyek a polinom gyökereit az együtthatóihoz kapcsolják .

Ezeket a képleteket Viète-Girard formuláknak is nevezik, mivel Albert Girard ( 1590-1633 ) matematikus munkája is jelentős hozzájárulást jelent .

A képletek

Maga

${\ displaystyle P (X) = a_ {n} X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} X + a_ {0}}$

fokos polinom összetett együtthatókkal (azaz a számok komplexek -val ), az algebra alaptétele szerint összetett gyökei vannak (nem feltétlenül különállóak)$n \ ge 1$${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ dots, a_ {n-1}, a_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}$ $P (X)$$n$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}.}$

Viète képletei azt állítják

${\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n} = - {\ frac {a_ {n-1}} {a_ {n}}}}$

${\ megjelenítési stílus (x_ {1} x_ {2} + x_ {1} x_ {3} + \ cdots + x_ {1} x_ {n}) + (x_ {2} x_ {3} + x_ {2} x_ {4} + \ cdots + x_ {2} x_ {n}) + \ cdots + x_ {n-1} x_ {n} = {\ frac {a_ {n-2}} {a_ {n}}}}$

$\ cdots$

${\ displaystyle x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} = (- 1) ^ {n} {\ frac {a_ {0}} {a_ {n}}}.}$

Ezeket a képleteket egyetlen formába lehet foglalni

${\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq n} x_ {i_ {1}} x_ {i_ {2}} \ cdots x_ {i_ {k}} = (-1) ^ {k} {\ frac {a_ {nk}} {a_ {n}}}}$

mindegyikért . Más szóval, a gyökök összes lehetséges szorzatának összege (az egyes szorzatok indexeivel, növekvő sorrendben, hogy elkerüljük a monomok ismétlődését) egyenértékű${\ displaystyle k = 1,2, \ pontok, n}$$k$$P (X)$${\ displaystyle (-1) ^ {k} {\ frac {a_ {nk}} {a_ {n}}},}$

Ez a Viète-képlet általánosabb formában érvényes olyan polinomokra, amelyek együtthatói bármely kommutatív gyűrűben vannak, mivel egy ilyen gyűrűben a fokszámú polinomnak gyökei vannak . $n$$n$

Példa

Másodfokú polinom esetén a Viète-képlet kimondja, hogy az egyenlet megoldásai és megoldásai teljesülnek ${\ displaystyle P (X) = aX ^ {2} + bX + c}$$x_1$$x_2$${\ displaystyle P (X) = 0}$

${\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = - {\ frac {b} {a}}, \ quad x_ {1} x_ {2} = {\ frac {c} {a}}.}$

Ezen egyenletek közül az első használható P minimum (vagy maximum) meghatározására . Lásd a másodrendű polinomot .

Bemutató

Viète képlete az egyenlőség átdolgozásával igazolható

${\ displaystyle a_ {n} X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} X + a_ {0} = a_ {n} (X-x_ { 1}) (X-x_ {2}) \ cdots (X-x_ {n})}$ ;

ez igaz, mivel ezek mind és csak a szóban forgó polinom gyökerei. Ezután az egyenlet második tagjának szorzatának kidolgozásáról és a változó minden hatványának együtthatóinak azonosításáról van szó.${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}}$${\ displaystyle X.}$

Alkalmazások

Binomiális tétel

Ezekkel a képletekkel bizonyíthatjuk a binomiális tételt . A polinomnak valójában egybeeső gyöke lesz (különösen ). Mivel a fokos együttható nyilvánvalóan , a Viète-képletekből a következőt kapjuk: ${\ megjelenítési stílus (x + y) ^ {n}}$$Nem.$${\ displaystyle = -y}$$n$$1$

${\ displaystyle (-y) + (- y) + \ cdots + (- y) = - a_ {n-1}}$

${\ megjelenítési stílus (y ^ {2} + y ^ {2} + \ cdots + y ^ {2}) + (y ^ {2} + y ^ {2} + \ cdots + y ^ {2}) + \ cdots + y ^ {2} = a_ {n-2}}$

$\ cdots$

${\ displaystyle y ^ {n} = a_ {0}}$

Az egy tagban hozzáadandó kifejezések száma megegyezik az összes képezhető kifejezéscsoporttal . Ez a szám megfelel: ${\ displaystyle y ^ {a}}$$nak nek$$n$

${\ displaystyle {n \ select a}}$

így az előző képleteket a következőképpen lehet újrafogalmazni:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} - {n \ select 1} y ^ {1} & = - a_ {n-1} \\ {n \ select 2} y ^ {2} & = a_ {n-2 } \\ - {n \ 3} y ^ {3} & = - a_ {n-3} \\\ pontok \\ {n \ válasszon n} y ^ {n} & = a_ {0}. \ vége {igazított}}}$

Ezért, ha esetleg megszorozzuk mindkét kifejezéssel, azt kapjuk, hogy: $-1$

${\ displaystyle {n \ select k} y ^ {k} = a_ {nk}}$

Vagy:

${\ megjelenítési stílus (x + y) _ {} ^ {n} = \ összeg _ {k = 0} ^ {n} a_ {nk} x ^ {nk} = \ összeg _ {k = 0} ^ {n} {n \ válasszon k} x ^ {nk} y ^ {k}}$

Elsőfokú term együttható

Ezekkel a képletekkel egy nagyon fontos eredményre jutunk, amelyet Euler is használt a bázeli probléma megoldásában , az elsőfokú együtthatóval kapcsolatban. Valójában ez a Viète-képletek esetében egyenlő lesz az előjelben megváltozott gyökök szorzata által alkotott összes tag összegével , megszorozva a -edik fokú együtthatóval; vagy: $n-1$$n$

${\ megjelenítési stílus (-1) ^ {n-1} {\ frac {a_ {1}} {a_ {n}}} = x_ {2} x_ {3} \ pontok x_ {n} + x_ {1} x_ {3} \ pontok x_ {n} + x_ {1} x_ {2} x_ {4} \ pontok x_ {n} + \ pontok + x_ {1} x_ {2} x_ {3} \ pontok x_ {n- 1}}$

Ha a konstans tag eltér 0-tól, akkor az összes előjelben megváltozott kifejezést eloszthatjuk vele, ami teljesül (ismét Viète képleteire):

${\ displaystyle (-1) ^ {n} {\ frac {a_ {0}} {a_ {n}}} = x_ {1} x_ {2} x_ {3} \ pontok x_ {n}}$

És kapunk:

${\ displaystyle {\ frac {-a_ {1}} {a_ {0}}} = {\ frac {- (x_ {2} x_ {3} \ pontok x_ {n} + x_ {1} x_ {3} \ pontok x_ {n} + x_ {1} x_ {2} x_ {4} \ pontok x_ {n} + \ pontok + x_ {1} x_ {2} x_ {3} \ pontok x_ {n-1}) (-1) ^ {n} a_ {n}} {(x_ {1} x_ {2} x_ {3} \ pontok x_ {n}) (- 1) ^ {n-1} a_ {n}}} =}$

${\ displaystyle = {\ frac {x_ {2} x_ {3} \ dots x_ {n} + x_ {1} x_ {3} \ dots x_ {n} + x_ {1} x_ {2} x_ {4} \ pontok x_ {n} + \ pontok + x_ {1} x_ {2} x_ {3} \ pontok x_ {n-1}} {x_ {1} x_ {2} x_ {3} \ pontok x_ {n} }} = {\ frac {1} {x_ {1}}} + {\ frac {1} {x_ {2}}} + {\ frac {1} {x_ {3}}} + \ pont {\ frac {1} {x_ {n}}}}$

Az elsőfokú együttható és az ismert tag közötti arány ellentéte egyenlő a gyökök reciprokainak összegével. Ebből az következik, hogy ha egy polinom állandó tagja 1, akkor gyökeinek reciprokainak összege egyenlő az előjelben megváltoztatott lineáris tag együtthatójával.