Véletlen változó - Random variable

Része egy statisztikai sorozatnak
Valószínűségi elmélet
Valószínűség Axiómák Determinizmus Rendszer Határozatlanság Véletlenszerűség
Valószínűségi tér Mintahely Esemény Összességében kimerítő események Elemi esemény Kölcsönös kizárólagosság Eredmény Szingli Kísérlet Bernoulli tárgyalás Valószínűségi eloszlás Bernoulli eloszlás Binomiális eloszlás Normális eloszlás Valószínűségi mérték Véletlen változó Bernoulli folyamat Folyamatos vagy diszkrét Várható érték Markov lánc Megfigyelt érték Véletlen séta Sztochasztikus folyamat
Kiegészítő esemény Közös valószínűség Határ valószínűsége Feltételes valószínűség
Függetlenség Feltételes függetlenség A teljes valószínűség törvénye A nagy számok törvénye Bayes tétele Boole egyenlőtlensége
Venn-diagram Fa diagram
v t e

A valószínűség és a statisztika , a véletlen változó , véletlen mennyiség , aleatory változó , vagy sztochasztikus változó írja le hivatalosan a változó, amelynek értéke függ az eredmény egy véletlenszerű jelenség. A formális matematikai kezelése valószínűségi változók egy téma valószínűségszámítás . Ebben az összefüggésben a véletlen változó egy olyan valószínűségi térben meghatározott mérhető függvény , amely a mintaterületről a valós számokra térképez fel .

Ez a grafikon azt mutatja, hogy a véletlen változó mennyire függvény az összes lehetséges eredménytől a valós értékekig. Azt is bemutatja, hogyan használják a véletlen változót a valószínűségi tömegfüggvények meghatározására.

Egy véletlen változó lehetséges értékei a még nem elvégzendő kísérlet lehetséges kimenetelét, vagy egy korábbi kísérlet lehetséges kimenetelét jelenthetik, amelynek a már meglévő értéke bizonytalan (például pontatlan mérések vagy kvantumbizonytalanság miatt ). Fogalmilag képviselhetik akár egy "objektíven" véletlenszerű folyamat eredményeit (például a kockák dobását), vagy azt a "szubjektív" véletlenszerűséget, amely a mennyiség hiányos ismeretéből adódik. A véletlen változó potenciális értékeihez rendelt valószínűségek jelentése nem része a valószínűségelméletnek, hanem a valószínűség értelmezésével kapcsolatos filozófiai érvekkel függ össze . A matematika ugyanúgy működik, függetlenül a használt értelmezéstől.

Függvényként egy véletlen változónak mérhetőnek kell lennie , ami lehetővé teszi a valószínűségek hozzárendelését potenciális értékeinek halmazaihoz. Gyakori, hogy az eredmények bizonyos fizikai változóktól függenek, amelyek nem előre jelezhetők. Például egy tisztességes érme feldobásakor a fejek vagy farok végeredménye a bizonytalan fizikai körülményektől függ, így a megfigyelt eredmény bizonytalan. Az érme beleakadhat a padlórepedésbe, de ez a lehetőség kizárt.

A tartomány egy véletlen változó nevezzük minta tér, halmazából lehetséges kimenetelek egy nem determinisztikus esemény. Például egy érme feldobása esetén csak két lehetséges kimenetel lehetséges: fej vagy farok.

Egy véletlen változó valószínűségi eloszlással rendelkezik , amely meghatározza tartományának Borel részhalmazainak valószínűségét . A véletlen változók lehetnek diszkrétek , azaz bármely meghatározott véges vagy megszámlálható értéklista (számolható tartományú) bármelyikét veszik fel , és a valószínűségi változó valószínűségi eloszlására jellemző valószínűségi tömegfüggvénnyel felruházva ; vagy folyamatos , bármilyen numerikus értéket vesz fel egy intervallumban vagy intervallumok gyűjteményében ( számolhatatlan tartományban) egy valószínűségi sűrűségfüggvényen keresztül, amely a véletlen változó valószínűségi eloszlására jellemző; vagy mindkettő keveréke.

Két véletlen változó azonos valószínűség -eloszlással még mindig különbözhet más véletlen változókkal való összefüggésük vagy függetlenségük tekintetében . A felismerések egy véletlenszerű változó, vagyis az eredmények a véletlenszerűen kiválasztott értékek szerint a változó valószínűségi eloszlásfüggvénye, az úgynevezett véletlen variates .

Bár az ötletet eredetileg Christiaan Huygens vezette be, Pafnuty Chebyshev volt az első, aki szisztematikusan gondolkodott a véletlen változókban .

Meghatározás

A véletlen változó egy mérhető függvény a lehetséges eredmények halmazától a mérhető térig . A technikai axiomatikus definíció megköveteli , hogy egy valószínűségi hármas mintatere legyen (lásd a mértékelméleti meghatározást ). Egy véletlen változó gyakran nevezik a tőke római betűkkel , mint a , , , . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X \ colon \ Omega \ to E}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatornév {P})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle T}$

Annak a valószínűségét, amely egy mérhető halmazban értéket vesz fel , úgy írjuk ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ subseteq E}$

${\ displaystyle \ operatornév {P} (X \ in S) = \ operatorname {P} (\ {\ omega \ in \ Omega \ mid X (\ omega) \ in S \})}$

Standard tok

Sok esetben a valós értékű , azaz . Bizonyos összefüggésekben a véletlenszerű elem (lásd a kiterjesztéseket ) a nem ilyen alakú véletlen változót jelöli. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E = \ mathbb {R}}$

Amikor a kép (vagy tartomány) a jelentése megszámlálható , a valószínűségi változó nevezzük diszkrét véletlen változó , és annak eloszlása a diszkrét valószínűségi eloszlás , azaz leírható egy valószínűségi tömegfüggvény , hogy hozzárendel egy valószínűségi minden egyes értéket a kép . Ha a kép megszámlálhatatlanul végtelen (általában intervallum ), akkor folytonos véletlen változónak nevezzük . Abban az esetben, ha abszolút folytonos , eloszlását egy valószínűségi sűrűségfüggvénnyel írhatjuk le , amely valószínűségeket rendel az intervallumokhoz; különösen minden egyes pontnak feltétlenül nulla valószínűséggel kell rendelkeznie egy abszolút folytonos véletlen változó esetén. Nem minden folyamatos véletlen változó abszolút folytonos, a keverékeloszlás egy ilyen ellenpélda; az ilyen véletlen változókat nem lehet leírni valószínűségi sűrűséggel vagy valószínűségi tömegfüggvénnyel. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Bármely véletlen változó leírható kumulatív eloszlásfüggvényével , amely leírja annak valószínűségét, hogy a véletlen változó kisebb vagy egyenlő lesz egy bizonyos értékkel.

Bővítmények

A "véletlenszerű változó" kifejezés a statisztikákban hagyományosan a valós értékű esetre korlátozódik ( ). Ebben az esetben a valós számok szerkezete lehetővé teszi olyan mennyiségek meghatározását, mint egy véletlen változó várható értéke és varianciája , halmozott eloszlási függvénye és eloszlási pillanatai . ${\ displaystyle E = \ mathbb {R}}$

A fenti definíció azonban érvényes minden mérhető értékterületre. Így figyelembe lehet venni más halmazok véletlenszerű elemeit , például véletlenszerű logikai értékeket , kategorikus értékeket , komplex számokat , vektorokat , mátrixokat , sorozatokat , fákat , halmazokat , alakzatokat , sokaságokat és függvényeket . Ekkor kifejezetten utalhatunk egy típusú véletlen változóra , vagy egy értékű véletlen változóra . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

A véletlen elem általánosabb fogalma különösen hasznos olyan tudományágakban, mint a gráfelmélet , a gépi tanulás , a természetes nyelvfeldolgozás és a diszkrét matematika és számítástechnika más területein , ahol gyakran érdekli a nem numerikus adatok véletlen variációjának modellezése szerkezetek . Bizonyos esetekben mégis kényelmes ábrázolni az egyes elemeket egy vagy több valós szám használatával. Ebben az esetben egy véletlenszerű elemet tetszés szerint valós értékű véletlen változók vektoraként is fel lehet tüntetni (mindegyiket ugyanazon a valószínűségi téren határozzák meg , ami lehetővé teszi a különböző véletlen változók kovariálását ). Például: ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ Omega}$

• Egy véletlenszerű szó ábrázolható véletlenszerű egész számként, amely indexként szolgál a lehetséges szavak szókincsében. Alternatív megoldásként képviselheti egy véletlen mutató vektor, amelynek hossza megegyezik a mérete a szókincs, ahol az egyetlen értékeinek pozitív valószínűséggel vannak , , és a helyzet az 1 azt a szót.${\ displaystyle (1 \ 0 \ 0 \ 0 \ \ cdots)}$${\ displaystyle (0 \ 1 \ 0 \ 0 \ \ cdots)}$${\ displaystyle (0 \ 0 \ 1 \ 0 \ \ cdots)}$
• Egy adott hosszúságú véletlenszerű mondat véletlenszerű szavak vektoraként ábrázolható .${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$
• A véletlen gráf az adott csúcsot lehet leírni, mint egy mátrix valószínűségi változók, amelyek értékét adja meg a szomszédsági mátrix a véletlen gráf.${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N \ x N}$
• Egy véletlen függvényt véletlenszerű változók gyűjteményeként lehet ábrázolni , megadva a függvény értékeit a függvény tartományának különböző pontjain . Ezek a szokásos valós értékű véletlen változók, feltéve, hogy a függvény valós értékű. Például a sztochasztikus folyamat az idő véletlen függvénye, a véletlen vektor valamilyen indexhalmaz véletlen függvénye, például , és a véletlen mező bármely halmaz (általában idő, tér vagy diszkrét halmaz) véletlen függvénye.${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle F (x)}$${\ displaystyle 1,2, \ ldots, n}$

Elosztási funkciók

Ha a valószínűségi térben meghatározott véletlen változót adunk meg, akkor olyan kérdéseket tehetünk fel, mint "Mennyi valószínű, hogy a értéke egyenlő 2 -vel?". Ez megegyezik az esemény valószínűségével, amelyet gyakran úgy vagy rövidre írnak . ${\ displaystyle X \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatornév {P})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ {\ omega: X (\ omega) = 2 \} \, \!}$${\ displaystyle P (X = 2) \, \!}$${\ displaystyle p_ {X} (2)}$

A valós értékű valószínűségi változó kimeneti tartományainak mindezen valószínűségeinek rögzítése a valószínűségi eloszlást eredményezi . A valószínűség -eloszlás "elfelejti" az adott valószínűségi teret, amelyet a definiáláshoz használnak, és csak rögzíti a különböző értékek valószínűségét . Egy ilyen valószínűségi eloszlást mindig megragadhat a halmozott eloszlásfüggvénye${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle F_ {X} (x) = \ operatornév {P} (X \ leq x)}$

és néha még egy sűrűségfüggvény , . Az intézkedés-elméleti szempontból, akkor használja a véletlen változó a „push-előre” az intézkedés az , hogy az intézkedés az . Az alapul szolgáló valószínűségi mezőn egy technikai eszköz, amellyel létét garantáló valószínűségi változók, néha építésére őket, és meg kell határozni fogalmak, mint a korreláció vagy függetlenség alapuló együttes eloszlása két vagy több valószínűségi változók ugyanazon a valószínűségi mezőn. A gyakorlatban az ember gyakran teljesen elhagyja a teret , és csak olyan mértéket tesz rá , amely az egész valós vonalhoz rendeli az 1. mértéket, azaz valószínűségi eloszlásokkal dolgozik a véletlen változók helyett. Lásd a kvantilis függvényekről szóló cikket a teljesebb fejlődés érdekében. ${\ displaystyle p_ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle p_ {X}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Példák

Diszkrét véletlen változó

Egy kísérletben egy személy kiválasztható véletlenszerűen, és egy véletlen változó lehet a személy magassága. Matematikailag a véletlen változót olyan függvényként értelmezzük, amely a személyt a személy magasságához rendeli. A véletlen változóhoz kapcsolódik egy valószínűségi eloszlás, amely lehetővé teszi annak kiszámítását, hogy a magasság a lehetséges értékek bármely részhalmazában van, például annak valószínűsége, hogy a magasság 180 és 190 cm között van, vagy annak valószínűsége, hogy a magasság kisebb 150 vagy 200 cm -nél nagyobb.

Egy másik véletlen változó lehet a személy gyerekszáma; ez egy diszkrét véletlen változó, nem negatív egész értékekkel. Lehetővé teszi a valószínűségek kiszámítását az egyes egész értékekre - a valószínűségi tömegfüggvényre (PMF) - vagy az értékkészletekre, beleértve a végtelen halmazokat. Például az érdeklődésre számot tartó esemény „páros számú gyermek” lehet. Mind a véges, mind a végtelen eseményhalmazok esetén valószínűségeiket az elemek PMF -jeinek összeadásával találjuk meg; vagyis a páros számú gyermek valószínűsége a végtelen összeg . ${\ displaystyle \ operatornév {PMF} (0)+\ operatornév {PMF} (2)+\ operatornév {PMF} (4)+\ cdots}$

Az ilyen példákban a mintaterület gyakran le van tiltva, mivel matematikailag nehéz leírni, és a véletlen változók lehetséges értékeit mintaterületként kezeljük. De ha két véletlen változót mérnek az eredmények ugyanazon mintaterületén, mint például a gyermekek magasságát és számát ugyanazon véletlenszerű személyeken, akkor könnyebb nyomon követni kapcsolatukat, ha elismerik, hogy mind a magasság, mind a gyermekek száma ugyanaztól a véletlen személytől, például azért, hogy feltehessük a kérdéseket, hogy az ilyen véletlen változók korrelálnak -e vagy sem.

Ha számolható valós számok halmazai, és , akkor diszkrét eloszlásfüggvény. Itt az , az . Ha figyelembe vesszük például az összes racionális számot , akkor diszkrét eloszlásfüggvényt kapunk, amely nem lépésfüggvény vagy darabállandó. ${\ texttyle \ {a_ {n} \}, \ {b_ {n} \}}$${\ texttyle b_ {n}> 0}$${\ displaystyle \ sum _ {n} b_ {n} = 1}$${\ displaystyle F = \ összeg _ {n} b_ {n} \ delta _ {a_ {n}}}$${\ displaystyle \ delta _ {t} (x) = 0}$${\ displaystyle x <t}$${\ displaystyle \ delta _ {t} (x) = 1}$${\ displaystyle x \ geq t}$${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$

Pénzfeldobás

Egy érmefeldobás lehetséges eredményeit a minta térben lehet leírni . Bemutathatunk egy valós értékű véletlen változót, amely 1 dolláros kifizetést modellez a sikeres fogadásért a fejek szerint: ${\ displaystyle \ Omega = \ {{\ text {heads}}, {\ text {tails}} \}}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle Y (\ omega) = {\ begin {case} 1, & {\ text {if}} \ omega = {\ text {heads}}, \\ [6pt] 0 és {\ text {if} } \ omega = {\ text {tails}}. \ end {case}}}$

Ha az érme egy pénzérmét , Y egy valószínűségi tömegfüggvény által adott: ${\ displaystyle f_ {Y}}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = {\ begin {case} {\ tfrac {1} {2}} és {\ text {if}} y = 1, \\ [6pt] {\ tfrac {1 } {2}}, és {\ text {if}} y = 0, \ end {case}}}$

Dobás

Ha a minta tér a beállított lehetséges számok hengerelt két kocka, és a valószínűségi változó az érdeklődés az összege S a számok a két kocka, akkor S egy diszkrét véletlen változó, amelynek eloszlása által leírt valószínűségi tömegfüggvény ábrázoltuk mint itt a képoszlopok magassága.

Véletlen változó is használható a kockadobás folyamatának és a lehetséges eredményeknek a leírására. A kétkockás eset legnyilvánvalóbb ábrázolása az, hogy mintának vesszük az {1, 2, 3, 4, 5, 6} számokból az n ₁ és n ₂ számpárok halmazát (ami a két kockán lévő számokat jelenti). tér. Az összes görgetett szám (az egyes párok számainak összege) ekkor egy véletlenszerű X változó , amelyet a függvény ad meg, amely leképezi a párt az összegre:

${\ displaystyle X ((n_ {1}, n_ {2})) = n_ {1}+n_ {2}}$

és (ha a dobókocka korrekt ) valószínűségi tömegfüggvénye ƒ _X, amelyet a következő ad:

${\ displaystyle f_ {X} (S) = {\ frac {\ min (S-1,13-S)} {36}}, {\ text {for}} S \ in 2,3,4, 5,6,7,8,9,10,11,12 \}}$

Folyamatos véletlen változó

Formálisan, egy folytonos valószínűségi változó egy valószínűségi változó, amelynek eloszlásfüggvény a folyamatos mindenütt. Nincsenek „ rések ”, ami megfelel a számok, amelyek véges valószínűséggel előforduló . Ehelyett a folytonos véletlen változók szinte soha nem kapnak pontos c előírt értéket (formálisan, ), de pozitív valószínűsége van annak, hogy értéke bizonyos időközönként, amely tetszőlegesen kicsi lehet . A folytonos véletlen változók általában valószínűségi sűrűségfüggvényeket (PDF) fogadnak el, amelyek jellemzik a CDF -t és a valószínűségi mérőszámokat ; az ilyen eloszlásokat abszolút folyamatosnak is nevezik ; de egyes folytonos eloszlások szingulárisak , vagy egy abszolút folytonos rész és egy egyes rész keverékei. ${\ texttyle \ forall c \ in \ mathbb {R}: \; \ Pr (X = c) = 0}$

A folytonos véletlen változóra példa lehet egy olyan fonó, amely vízszintes irányt választhat. Ekkor a véletlen változó által vett értékek irányok. Ezeket az irányokat észak, nyugat, kelet, dél, délkelet stb. Ezt megteheti például úgy, hogy északról az óramutató járásával megegyező irányban mért irányba irányítja a csapágyat. A véletlen változó ezután olyan értékeket vesz fel, amelyek valós számok a [0, 360] intervallumból, és a tartomány minden része "egyformán valószínű". Ebben az esetben X = a pörgetett szög. Bármely valós szám nulla valószínűséggel kerül kiválasztásra, de pozitív valószínűség hozzárendelhető bármely értéktartományhoz . Például a [0, 180] szám kiválasztásának valószínűsége 1 ⁄ 2 . Ahelyett, hogy beszél egy valószínűségi súlyfüggvény, azt mondjuk, hogy a valószínűsége sűrűsége az X jelentése 1/360. A [0, 360] részhalmaz valószínűsége kiszámítható úgy, hogy a halmaz mértékét megszorozzuk 1/360 -mal. Általánosságban elmondható, hogy egy adott folyamatos véletlen változó halmazának valószínűsége úgy számítható ki, hogy a sűrűséget az adott halmazba integráljuk.

Formálisabban, bármely intervallumot figyelembe véve egy véletlen változót " folyamatos egyenletes véletlen változónak" (CURV) neveznek, ha annak valószínűsége, hogy egy alintervallumban értéket vesz fel, csak a részintervallum hosszától függ. Ez azt jelenti, hogy a valószínűsége, csökkenő bármely alintervallumot van arányos a hossza a alintervallumot, vagyis ha egy ≤ c ≤ d ≤ b , az egyik, ${\ texttyle I = [a, b] = \ {x \ in \ mathbb {R}: a \ leq x \ leq b \}}$${\ displaystyle X_ {I} \ sim \ operatornév {U} (I) = \ operatornév {U} [a, b]}$${\ displaystyle X_ {I}}$${\ displaystyle [c, d] \ subseteq [a, b]}$

$${\ displaystyle \ Pr \ left (X_ {I} \ in [c, d] \ right) = {\ frac {dc} {ba}}}$$

ahol az utolsó egyenlőség a valószínűség egységének axiómájából adódik. A CURV valószínűségi sűrűségfüggvényét a támogatási intervallum indikátorfüggvénye adja meg , az intervallum hosszával normalizálva:${\ displaystyle X \ sim \ operatornév {U} [a, b]}$

$${\ displaystyle f_ {X} (x) = {\ begin {case} \ displaystyle {1 \ over ba}, & a \ leq x \ leq b \\ 0, és {\ text {egyébként}}. \ end {case }}}$$

, amelyek egységes keretet képeznek minden véletlen változó számára. ${\ displaystyle [0,1]}$ ${\ displaystyle \ operatornév {D}}$${\ displaystyle \ operatornév {D}}$

Vegyes típus

A kevert véletlen változó olyan véletlen változó, amelynek halmozott eloszlási függvénye nem darabonkénti konstans (diszkrét véletlen változó), és nem mindenütt folytonos . Egy diszkrét véletlen változó és egy folytonos véletlen változó összegeként valósítható meg; ebben az esetben a CDF az összetevőváltozók

van -measurable; , hol . Ez a definíció lehetővé teszi számunkra, hogy a célterület bármely részhalmazát megmérjük az előképének megtekintésével, amely feltételezéssel mérhető. ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$${\ displaystyle X \ colon \ Omega \ to E}$${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X^{-1} (B) \ in {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X^{-1} (B) = \ {\ omega: X (\ omega) \ in B \}}$${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {E}}}$

Intuitívabban fogalmazva, a tagja egy lehetséges kimenetel, egy tagja a lehetséges kimenetek mérhető részhalmaza, a függvény megadja minden ilyen mérhető részhalmaz valószínűségét, reprezentálja a véletlen változó által felvehető értékek halmazát (pl. valós számok halmaza), és tagja egy "jól viselkedő" (mérhető) részhalmaza (azoknak, amelyeknek a valószínűsége meghatározható). A véletlen változó ekkor függvény az eredményektől a mennyiségekig, így a véletlen változónak a mennyiségek bármely hasznos alcsoportjához vezető eredmények jól meghatározott valószínűséggel rendelkeznek. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle E}$

Amikor egy

nevezzük . ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (E)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Valós értékű véletlen változók

Ebben az esetben a megfigyelési tér a valós számok halmaza. Emlékezz, ez a valószínűségi tér. Valódi megfigyelési tér esetén a függvény egy valós értékű véletlen változó, ha ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle X \ colon \ Omega \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ {\ omega: X (\ omega) \ leq r \} \ in {\ mathcal {F}} \ qquad \ forall r \ in \ mathbb {R}.}$

Ez a definíció a fentiek különleges esete, mivel a halmaz a valós számok halmazán generálja a Borel σ-algebrat, és elegendő bármely generáló halmaz mérhetőségét ellenőrizni. Itt bizonyíthatjuk a mérhetőséget ezen a generátorhalmazon azzal, hogy . ${\ displaystyle \ {(-\ infty, r]: r \ in \ mathbb {R} \}}$${\ displaystyle \ {\ omega: X (\ omega) \ leq r \} = X^{-1} ((-\ infty, r])}$

Pillanatok

Egy véletlen változó valószínűségi eloszlását gyakran kis számú paraméter jellemzi, amelyek gyakorlati értelmezéssel is rendelkeznek. Például gyakran elég tudni, hogy mi az "átlagos értéke". Ezt rögzíti a véletlen változó várható értékének matematikai fogalma , amelyet jelölünk , és az

ad választ . intuitív módon végtelen sokaságból kapott átlagnak tekinthető, amelynek tagjai különös értékelések . ${\ displaystyle \ operatornév {E} [X]}$${\ displaystyle \ operatornév {E} [f (X)]}$${\ displaystyle f (\ operatornév {E} [X])}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatornév {E} [X]}$${\ displaystyle X}$

Matematikailag ez az úgynevezett (generalizált) problémáját pillanatok : egy adott osztály valószínűségi változók , talál egy gyűjtemény a funkciók, hogy a várható értékek teljes mértékben jellemezni

a véletlen változó . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ {f_ {i} \}}$${\ displaystyle \ operatornév {E} [f_ {i} (X)]}$${\ displaystyle X}$

A pillanatokat csak a véletlen változók (vagy komplex értékű stb.) Valós értékű függvényeihez lehet definiálni. Ha a véletlen változó maga is valós értékű, akkor magának a változónak a momentumai vehetők fel, amelyek egyenértékűek a véletlen változó azonosságfüggvényének pillanataival . Mindazonáltal még a nem valós értékű véletlen változók esetében is lehet pillanatokat venni ezeknek a változóknak a valós értékű függvényeiből. Például egy

és egyéb mozzanatai. ${\ displaystyle f (X) = X}$${\ displaystyle [X = {\ text {green}}]}$${\ displaystyle X}$

Véletlen változók függvényei

Egy új Y véletlen változót úgy lehet definiálni, hogy egy valós Borel-mérhető függvényt alkalmazunk egy valós értékű véletlenszerű változó kimenetelére . Vagyis , . A kumulatív eloszlásfüggvény az ezután ${\ displaystyle g \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y = g (X)}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle F_ {Y} (y) = \ operatornév {P} (g (X) \ leq y).}$

Ha függvény invertálható (azaz, fennáll, ahol a „s

, akkor az előző kapcsolatban lehet terjeszteni kapjunk ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h = g^{-1}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle F_ {Y} (y) = \ operatorname {P} (g (X) \ leq y) = {\ begin {case} \ operatorname {P} (X \ leq h (y)) = F_ {X } (h (y)), & {\ text {if}} h = g^{-1} {\ text {növekvő}}, \\\\\ operatornév {P} (X \ geq h (y)) = 1-F_ {X} (h (y)), és {\ text {if}} h = g^{-1} {\ text {csökkenő}}. \ End {case}}}$

Ugyanazzal a hipotézisek invertibility a feltételezve is

megtalálható differenciálásával mindkét oldalán a fenti kifejezés tekintetében , annak érdekében, hogy ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} {\ bigl (} h (y) {\ bigr)} \ bal | {\ frac {dh (y)} {dy}} \ jobb |.}$

Ha nincs megfordíthatóság, de mindegyik legfeljebb megszámlálható számú gyököt enged meg (azaz véges vagy megszámlálhatatlanul végtelen számú ilyen gyököt ), akkor a

közötti korábbi összefüggés általánosítható ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle y = g (x_ {i})}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ összeg _ {i} f_ {X} (g_ {i}^{-1} (y)) \ bal | {\ frac {dg_ {i}^{-1 } (y)} {dy}} \ jobb |}$

ahol az

. A sűrűség képletei nem igényelnek növekedést. ${\ displaystyle x_ {i} = g_ {i}^{-1} (y)}$${\ displaystyle g}$

Az intézkedés-elméleti, axiomatikus megközelítés a valószínűsége, ha egy véletlen változó a és a

.) Ugyanez az eljárás, amely lehetővé tette az egyik megy egy valószínűségi mezőn , hogy lehet használni, hogy megkapjuk a eloszlását . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle g \ colon \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle Y = g (X)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle (\ Omega, P)}$${\ displaystyle (\ mathbb {R}, dF_ {X})}$${\ displaystyle Y}$

1. példa

Legyen egy valós értékű,

és hagyja . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y = X^{2}}$

${\ displaystyle F_ {Y} (y) = \ operatornév {P} (X^{2} \ leq y).}$

Ha , akkor igen ${\ displaystyle y <0}$${\ displaystyle P (X^{2} \ leq y) = 0}$

${\ displaystyle F_ {Y} (y) = 0 \ qquad {\ hbox {if}} \ quad y <0.}$

Ha , akkor ${\ displaystyle y \ geq 0}$

${\ displaystyle \ operatornév {P} (X^{2} \ leq y) = \ operatorname {P} (| X | \ leq {\ sqrt {y}}) = \ operatorname {P} (-{\ sqrt { y}} \ leq X \ leq {\ sqrt {y}}),}$

így

${\ displaystyle F_ {Y} (y) = F_ {X} ({\ sqrt {y}})-F_ {X} (-{\ sqrt {y}}) \ qquad {\ hbox {if}} \ quad y \ geq 0.}$

2. példa

Tegyük fel , hogy egy véletlen változó kumulatív eloszlással ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle F_ {X} (x) = P (X \ leq x) = {\ frac {1} {(1+e^{-x})^{\ theta}}}}$

hol van egy fix paraméter. Tekintsük a véletlen változót , akkor ${\ displaystyle \ theta> 0}$${\ displaystyle Y = \ mathrm {log} (1+e^{-X}).}$

${\ displaystyle F_ {Y} (y) = P (Y \ leq y) = P (\ mathrm {log} (1+e^{ -X}) \ leq y) = P (X \ geq -\ mathrm { napló} (e^{y} -1)). \,}$

Az utolsó kifejezés kiszámítható az így halmozott eloszlás alapján${\ displaystyle X,}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} F_ {Y} (y) & = 1-F_ {X} (-\ log (e^{y} -1)) \\ [5pt] & = 1-{\ frac {1} {(1+e^{\ log (e^{y} -1)})^{\ theta}}} \\ [5pt] & = 1-{\ frac {1} {(1+e ^{y} -1)^{\ theta}}} \\ [5pt] & = 1-e^{-y \ theta}. \ end {aligned}}}$

amely az

3. példa

Tegyük fel , hogy egy normál eloszlású véletlen változó , amelynek sűrűsége ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f_ {X} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e^{-x^{2}/2}.}$

Tekintsük a véletlen változót. A sűrűséget a fenti képlet segítségével találjuk meg a változók változásához: ${\ displaystyle Y = X^{2}.}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ összeg _ {i} f_ {X} (g_ {i}^{-1} (y)) \ bal | {\ frac {dg_ {i}^{-1 } (y)} {dy}} \ jobbra..}$

Ebben az esetben a változás nem monoton , mert minden értéknek két megfelelő értéke van (egy pozitív és egy negatív). A szimmetria miatt azonban mindkét fél azonos módon fog átalakulni, azaz ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = 2f_ {X} (g^{-1} (y)) \ bal | {\ frac {dg^{-1} (y)} {dy}} \ jobb | .}$

A fordított transzformáció az

${\ displaystyle x = g^{-1} (y) = {\ sqrt {y}}}$

és származéka az

${\ displaystyle {\ frac {dg^{-1} (y)} {dy}} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {y}}}}.}$

Azután,

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = 2 {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e^{-y/2} {\ frac {1} {2 {\ sqrt {y} }}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi y}}} e^{-y/2}.}$

Ez egy chi-négyzet eloszlás , egy fokú szabadsággal .

4. példa

Tegyük fel , hogy egy normál eloszlású véletlen változó , amelynek sűrűsége ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f_ {X} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma^{2}}}} e^{-(x- \ mu)^{2}/(2 \ sigma ^{2})}.}$

Tekintsük a véletlen változót. A sűrűséget a fenti képlet segítségével találjuk meg a változók változásához: ${\ displaystyle Y = X^{2}.}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = \ összeg _ {i} f_ {X} (g_ {i}^{-1} (y)) \ bal | {\ frac {dg_ {i}^{-1 } (y)} {dy}} \ jobbra..}$

Ebben az esetben a változás nem monoton , mert minden értéknek két megfelelő értéke van (egy pozitív és egy negatív). Az előző példától eltérően ebben az esetben azonban nincs szimmetria, és ki kell számolnunk a két különböző kifejezést: ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} (g_ {1}^{-1} (y)) \ left | {\ frac {dg_ {1}^{-1} (y)} { dy}} \ jobb |+f_ {X} (g_ {2}^{-1} (y)) \ bal | {\ frac {dg_ {2}^{-1} (y)} {dy}} \ igaz |.}$

A fordított transzformáció az

${\ displaystyle x = g_ {1,2}^{-1} (y) = \ pm {\ sqrt {y}}}$

és származéka az

${\ displaystyle {\ frac {dg_ {1,2}^{-1} (y)} {dy}} = \ pm {\ frac {1} {2 {\ sqrt {y}}}}.}$

Azután,

${\ displaystyle f_ {Y} (y) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^{2}}}} {\ frac {1} {2 {\ sqrt {y}}}} (e^{-({\ sqrt {y}}-\ mu)^{2}/(2 \ sigma^{2})}+e^{-(-{\ sqrt {y}}-\ mu) ^{2}/(2 \ sigma ^{2})}).}$

Ez egy noncentrális chi-négyzet eloszlás , egy fokú szabadsággal .

Néhány tulajdonság

• Két független véletlen változó összegének valószínűségi eloszlása minden eloszlásuk konvolúciója .
• A valószínűségi eloszlások nem vektortér- nincsenek bezárva lineáris kombinációk alatt , mivel ezek nem őrzik meg a nemnegativitást vagy a teljes integrált 1-, hanem konvex kombinációban vannak lezárva , így a függvények (vagy mértékek) domború részhalmazát képezik ).

Véletlen változók ekvivalenciája

Számos érzék létezik, amelyekben a véletlen változókat egyenértékűnek tekinthetjük. Két véletlen változó lehet egyenlő, szinte biztos, vagy egyenlő eloszlású.

A növekvő erősségi sorrendben az alábbiakban ezeknek az egyenértékűségnek a pontos meghatározását adjuk meg.

Egyenlőség az elosztásban

Ha a minta tér egy részhalmaza a számegyenesen, valószínűségi változók X és Y jelentése azonos eloszlásban (jele ), ha ugyanazt a forgalmazási funkciók: ${\ displaystyle X {\ stackrel {d} {=}} Y}$

${\ displaystyle \ operatornév {P} (X \ leq x) = \ operatorname {P} (Y \ leq x) \ quad {\ text {for all}} x.}$

Annak érdekében, hogy az eloszlás egyenlő legyen, a véletlen változókat nem kell azonos valószínűségi térben definiálni. Két véletlen változó, amelyek egyenlő momentumgeneráló funkciókkal rendelkeznek, azonos eloszlásúak. Ez például hasznos módszert kínál a független, azonos eloszlású (IID) véletlen változók egyes funkcióinak egyenlőségének ellenőrzésére . A pillanatgeneráló függvény azonban csak azoknál az eloszlásoknál létezik, amelyek meghatározott Laplace -transzformációval rendelkeznek .

Szinte biztos az egyenlőség

Két valószínűségi változók X és Y jelentése megegyezik szinte biztosan (jele ) akkor, és csak akkor, ha annak a valószínűsége, hogy különböző a nulla : ${\ displaystyle X \; {\ stackrel {\ text {as}} {=}} \; Y}$

${\ displaystyle \ operatornév {P} (X \ neq Y) = 0.}$

A valószínűség -elméletben minden gyakorlati célból ez az egyenértékűség olyan erős, mint a tényleges egyenlőség. A következő távolsághoz kapcsolódik:

${\ displaystyle d _ {\ infty} (X, Y) = \ operatornév {ess} \ sup _ {\ omega} | X (\ omega) -Y (\ omega) |,}$

ahol az "ess sup" a mértékelmélet értelmében vett lényeges szupremumot képviseli .

Egyenlőség

Végül a két valószínűségi változók X és Y jelentése azonos , ha azok egyenlőek a funkciók azok mérhető tér:

${\ displaystyle X (\ omega) = Y (\ omega) \ qquad {\ hbox {for all}} \ omega.}$

Ez a felfogás tipikusan a legkevésbé hasznos a valószínűség -elméletben, mivel a gyakorlatban és elméletben a kísérlet alapjául szolgáló mérőtér ritkán kifejezetten jellemezhető vagy akár jellemezhető.

Konvergencia

A matematikai statisztikák jelentős témája a konvergencia -eredmények megszerzése a véletlen változók bizonyos szekvenciáihoz ; például a nagy számok törvénye és a központi határtétel .

Különféle érzékek léteznek, amelyekben a véletlenszerű változók sorozata összeolvadhat egy véletlen változóval . Ezeket a véletlen változók konvergenciájáról szóló cikk ismerteti . ${\ displaystyle X_ {n}}$${\ displaystyle X}$

Lásd még

Hivatkozások

Soros idézetek

Irodalom

Külső linkek

• "Véletlen változó" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Zukerman, Moshe (2014), Bevezetés a sorba állítás elméletébe és a sztochasztikus távközlési modellekbe (PDF) , arXiv : 1307.2968
• Zukerman, Moshe (2014), alapvető valószínűségi témák (PDF)