Mérhető tér - Measurable space

A matematika , a mérhető tér vagy Borel tér alapvető tárgy intézkedés elmélet . Ez egy halmazból és egy σ-algebrából áll , amely meghatározza a mérendő részhalmazokat .

Meghatározás

Tekintsünk egy sor és egy σ-algebra a . Ekkor a duplát mérhető térnek nevezzük. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$

Ne feledje, hogy a mérőtérrel ellentétben a mérhető térhez nincs szükség mérésre .

Példa

Nézd meg a készletet:

${\ displaystyle X = \ {1,2,3 \}.}$

Az egyik lehetséges -algebra a következő lenne: ${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {1} = \ {X, \ emptyyset}.}$

Ekkor van egy mérhető tér. Egy másik lehetséges -algebra lenne áramfejlesztőt on : ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}} _ {1})}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {2} = {\ mathcal {P}} (X).}$

Ezzel a halmaz második mérhető terét adja meg . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}} _ {2})}$

Közös mérhető terek

Ha véges vagy megszámlálhatóan végtelen, a -algebra leggyakrabban az áramfejlesztőt a , így . Ez a mérhető térhez vezet . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {P}} (X))}$

Ha egy topológiai tér , akkor az -algebra leggyakrabban a Borel -algebra , tehát . Ez ahhoz a mérhető térhez vezet , amely közös az összes topológiai térben, például a valós számokban . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {B}} (X)}$${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}} (X))}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Kétértelműség a Borel-terekkel

A Borel-tér kifejezést különböző típusú mérhető terekre használják. Hivatkozhat

• bármilyen mérhető tér, tehát a fent definiált mérhető tér szinonimája
• egy mérhető tér, amely Borel izomorf a valós számok mérhető részhalmazával szemben (ismét a Borel -algebrával) ${\ displaystyle \ sigma}$

Hivatkozások