Helyi korlátok - Local boundedness

A matematika , a funkció a helyi korlátos , ha korlátos körbe minden pontján. A család a különböző funkciókat lokálisan korlátos , ha bármely pontján a tartomány minden funkció határolt e pont körül és ugyanazt a számot.

Helyileg korlátozott funkció

Egy valós értékű vagy komplex értékű függvény f meghatározott néhány topologikus tér X nevezhető úgynevezett helyileg határolt , ha bármely x ₀ a X létezik olyan szomszédságában egy a x ₀ oly módon, hogy az f  ( A ) egy korlátos halmaz , azaz, a néhány M > 0 számnak van

${\ displaystyle | f (x) | \ leq M}$

minden x -re A-ban .

Vagyis minden x-nél megtalálható egy x-től függő állandó , amely nagyobb, mint az x szomszédságában lévő függvény összes értéke . Hasonlítsa össze ezt egy korlátozott funkcióval, amelynek állandója nem függ x-től . Nyilvánvaló, hogy ha egy függvény korlátozott, akkor azt lokálisan is korlátozza. Ezzel szemben általában nem igaz.

Ez a meghatározás kiterjeszthető arra az esetre, amikor f valamilyen metrikus térben értékeket vesz . Akkor a fenti egyenlőtlenséget fel kell cserélni

${\ displaystyle d \ balra (f (x), a \ jobbra) \ leq M}$

minden x esetében A-ban , ahol d a távolságfüggvény a metrikus térben, és a a metrikus tér valamilyen pontja. A választás egy nem befolyásolja a meghatározást. Másik a kiválasztása legfeljebb azt az M állandó értéket növeli , amelyre ez az egyenlőtlenség igaz.

Példák

• Az f : R → R függvényt definiálja

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} +1}}}$

határolt, mert 0≤ f  ( x ) ≤ 1 minden x esetében . Ezért lokálisan is korlátozott.

• Az f : R → R függvényt definiálja

${\ displaystyle f (x) = 2x + 3}$

a nem korlátos, mint válik tetszőlegesen nagy. Azonban a helyi korlátos, mivel minden egy , | f ( x ) | ≤ M a környéken ( a - 1, a + 1), ahol M = 2 | a | +5.

• Az f : R → R függvényt definiálja

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}$

az x ≠ 0 és az a értéke 0 X = 0 nem lokálisan korlátos. A 0 bármelyik szomszédságában ez a függvény tetszőlegesen nagy értékű értékeket vesz.

Helyileg korlátozott család

Egy sor (más néven családi ) U valós értékű vagy komplex értékű függvények meghatározott bizonyos topológiai tér X nevezhető úgynevezett helyileg határolt ha bármely x ₀ az X létezik olyan környéken A a x ₀ és pozitív szám M oly módon, hogy

${\ displaystyle | f (x) | \ leq M}$

minden x esetén A-ban és f- ben U-ban . Más szavakkal, a családban levő összes funkciónak lokálisan korlátozottnak kell lennie, és minden pont körül ugyanazzal az állandóval kell őket határolni.

Ez a meghatározás kiterjeszthető arra az esetre is, amikor az U család funkciói valamilyen metrikus térben értékeket vesznek, az abszolút értéket ismét a távolsági függvénnyel helyettesítve.

Példák

• Az f _n funkciócsalád : R → R

${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {x} {n}}}$

ahol n = 1, 2, ... lokálisan határolt. Valóban, ha x ₀ valós szám, lehet választani a környéken A legyen az intervallum ( x ₀ -1, x ₀ 1). Akkor az x minden ebben az intervallumban, és az n ≥1 mindegyikének van

${\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq M}$

a M = | x ₀ | +1. Ezen túlmenően, a család egyenletesen korlátos, mert sem a környéken A , sem az állandó M függ az index n .

• Az f _n funkciócsalád : R → R

${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + n ^ {2}}}}$

lokálisan korlátozódik, ha n nagyobb, mint nulla. Bármely x ₀ lehet választani a környéken A lenni R magát. Akkor megvan

${\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq M}$

az M = 1. Megjegyezzük, hogy az értéke M nem függ a választott x ₀ és környékén A . Ez a család tehát nemcsak lokálisan, hanem egyenletesen is korlátozott .

• Az f _n funkciócsalád : R → R

${\ displaystyle f_ {n} (x) = x + n}$

a nem helyben korlátos. Valójában bármely x _{0 esetén} az f _n ( x ₀ ) értékeket nem lehet határolni, mivel n hajlamos a végtelenség felé.

Topológiai vektor terek

A lokális határtartomány utalhat a topológiai vektorterek egy tulajdonságára , vagy a topológiai térből a topológiai vektor térbe történő függvények tulajdonságaira is .

Helyileg korlátozott topológiai vektorterek

Legyen X topológiai vektortér. Ezután egy részhalmaza B ⊂ X jelentése korlátos , ha minden egyes szomszédos U 0 a X számra létezik olyan s > 0, hogy

B ⊂ tU minden t > s esetén .

Azt mondják, hogy egy topológiai vektortér lokálisan korlátozott, ha X elfogadja a 0-os határolt szomszédságot.

Helyileg korlátozott funkciók

Legyen X topológiai tér, Y topológiai vektor tér, és f  : X → Y egy függvény. Ezután f van helyileg határolt , ha minden pontja X egyik kerülete, amelynek képe alapján f korlátos.

A következő tétel a függvények lokális határtartalmát a topológiai vektorterek lokális határaihoz köti:

Tétel. Az X topológiai vektortér lokálisan akkor korlátozódik, ha és csak akkor, ha az 1  : X → X térképezés lokálisan van korlátozva.

Külső linkek

• "Helyileg korlátozva" . PlanetMath .