Fonction sous-harmonique - Subharmonic function

${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$

${\style d'affichage x}$

${\style d'affichage r}$

${\style d'affichage G}$

${\style d'affichage h}$

${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$

${\style d'affichage B(x,r)}$

${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$

${\style d'affichage y}$

${\displaystyle \partial B(x,r)}$

${\style d'affichage B(x,r)}$

${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$

${\displaystyle y\in B(x,r).}$

Notez que par ce qui précède, la fonction qui est identiquement −∞ est sous-harmonique, mais certains auteurs excluent cette fonction par définition.

Une fonction est appelée

${\displaystyle u}$

${\style d'affichage -u}$

Propriétés

• Une fonction est harmonique si et seulement si elle est à la fois subharmonique et superharmonique.
• Si est

La limite d'une suite décroissante de fonctions sous-harmoniques est sous-harmonique (ou identiquement égale à ).${\displaystyle -\infty }$

Exemples

Si est

${\style d'affichage f}$

${\displaystyle \log |f|}$

Théorème de représentation de Riesz

Si est sous-harmonique dans une région , dans l'

${\style d'affichage v}$

${\style d'affichage \mu }$

${\style d'affichage D}$

Fonctions sous-harmoniques dans le plan complexe

Les fonctions sous-harmoniques sont d'une importance particulière dans l' analyse complexe , où elles sont intimement liées aux fonctions holomorphes .

On peut montrer qu'une fonction continue à valeur réelle d'une variable complexe (c'est-à-dire de deux variables réelles) définie sur un ensemble est sous-harmonique si et seulement si pour tout disque fermé de centre et de rayon on a ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle G\sous-ensemble \mathbb {C} }$${\displaystyle D(z,r)\sous-ensemble G}$${\style d'affichage z}$${\style d'affichage r}$

$${\displaystyle \varphi (z)\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\varphi (z+re^{i\theta })\,d \thêta .}$$

Intuitivement, cela signifie qu'une fonction sous-harmonique n'est en aucun point supérieure à la moyenne des valeurs dans un cercle autour de ce point, un fait qui peut être utilisé pour dériver le principe du

Si est une fonction holomorphe, alors ${\style d'affichage f}$

$${\displaystyle \varphi (z)=\log \left|f(z)\right|}$$

${\style d'affichage \varphi (z)}$

${\style d'affichage f}$

$${\displaystyle \psi _{\alpha }(z)=\left|f(z)\right|^{\alpha }}$$

Dans le contexte du plan complexe, la connexion aux fonctions convexes peut également être réalisée par le fait qu'une fonction sous-harmonique sur un domaine constant dans la direction imaginaire est convexe dans la direction réelle et vice versa. ${\style d'affichage f}$${\displaystyle G\sous-ensemble \mathbb {C} }$

Majorants harmoniques des fonctions sous-harmoniques

Si est sous-harmonique dans une

${\displaystyle u}$

${\displaystyle \Oméga }$

${\style d'affichage h}$

${\displaystyle \Oméga }$

${\style d'affichage h}$

${\displaystyle u}$

${\displaystyle \Oméga }$

${\style d'affichage u\leq h}$

${\displaystyle \Oméga }$

${\displaystyle u}$

Fonctions sous-harmoniques dans le disque de l'unité. Fonction radiale maximale

Soit φ sous-harmonique, continue et non négative dans un ouvert Ω du plan complexe contenant le disque unité fermé D (0, 1). La fonction radiale maximale pour la fonction φ (limité au disque de l' unité) est défini sur le cercle unité par

$${\displaystyle (M\varphi )(e^{i\theta })=\sup _{0\leq r<1}\varphi (re^{i\theta }).}$$

$${\displaystyle 0\leq \varphi (re^{i\theta })\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}\left( \theta -t\right)\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,\ \ \ r<1.}$$

$${\displaystyle \varphi ^{*}(e^{i\theta })=\sup _{0<\alpha \leq \pi }{\frac {1}{2\alpha }}\int _{\theta -\alpha }^{\theta +\alpha }\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,}$$

$${\displaystyle \|M\varphi \|_{L^{2}(\mathbf {T} )}^{2}\leq C^{2}\,\int _{0}^{2\pi } \varphi (e^{i\theta })^{2}\,d\theta .}$$

Si f est une fonction holomorphe dans Ω et 0 < p  < ∞, alors l'inégalité précédente s'applique à φ  = | f  | ^{p /2} . On peut déduire de ces faits que toute fonction F dans l'espace de Hardy classique H ^p satisfait

$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left(\sup _{0\leq r<1}\left|F(re^{i\theta })\right|\right)^{ p}\,d\theta \leq C^{2}\,\sup _{0\leq r<1}\int _{0}^{2\pi }\left|F(re^{i\theta })\right|^{p}\,d\theta .}$$

Fonctions sous-harmoniques sur les variétés riemanniennes

Les fonctions sous-harmoniques peuvent être définies sur une variété riemannienne arbitraire .

Définition : Soit M une variété riemannienne et une fonction

${\displaystyle f:\;M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle U\sous-ensemble M}$

${\displaystyle f_{1}\geq f}$

${\displaystyle f_{1}\geq f}$

Cette définition est équivalente à celle donnée ci-dessus. De plus, pour les fonctions deux fois dérivables, la sous-harmonie est équivalente à l'inégalité , où est le

${\displaystyle \Delta f\geq 0}$

${\style d'affichage \Delta }$

Voir également

• Fonction plurisous-harmonique — généralisation à plusieurs variables complexes
• Topologie fine classique

Remarques

Les références

• Conway, John B. (1978). Fonctions d'une variable complexe . New York : Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
• Krantz, Steven G. (1992). Théorie des fonctions de plusieurs variables complexes . Providence, Rhode Island : Éditions AMS Chelsea. ISBN 0-8218-2724-3.
• Doob, Joseph Léo (1984). La théorie du potentiel classique et son homologue probabiliste . Berlin Heidelberg New York : Springer-Verlag . ISBN 3-540-41206-9.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994). Sujets dans les classes Hardy et les fonctions univalentes . Birkhauser Advanced Texts : Manuels de Bâle. Bâle : Birkhauser Verlag.

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