Função subarmônica - Subharmonic function

${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle {\ overline {B (x, r)}}}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle {\ overline {B (x, r)}}}$

${\ displaystyle B (x, r)}$

${\ displaystyle \ varphi (y) \ leq h (y)}$

${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle \ parcial B (x, r)}$

${\ displaystyle B (x, r)}$

${\ displaystyle \ varphi (y) \ leq h (y)}$

${\ displaystyle y \ in B (x, r).}$

Observe que pelo acima, a função que é identicamente − ident é sub-harmônica, mas alguns autores excluem esta função por definição.

Uma função é chamada de

${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle -u}$

Propriedades

• Uma função é harmônica se e somente se for sub-harmônica e super-harmônica.
• Se é

${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle \ Delta \ phi \ geq 0}$

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ Delta}$

O limite de uma sequência decrescente de funções sub-harmônicas é sub-harmônica (ou igual a ).${\ displaystyle - \ infty}$

Exemplos

Se for

${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ log | f |}$

Teorema da Representação de Riesz

Se é subharmônico em uma região , no

${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle D}$

Funções subarmônicas no plano complexo

As funções subarmônicas são de particular importância na análise complexa , onde estão intimamente conectadas às funções holomórficas .

Pode-se mostrar que uma função contínua de valor real de uma variável complexa (isto é, de duas variáveis ​​reais) definida em um conjunto é sub-harmônica se e somente se para qualquer disco fechado de centro e raio que se tenha ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle G \ subset \ mathbb {C}}$${\ displaystyle D (z, r) \ subset G}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle r}$

$${\ displaystyle \ varphi (z) \ leq {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ varphi (z + re ^ {i \ theta}) \, d \ theta.}$$

Intuitivamente, isso significa que uma função sub-harmônica em qualquer ponto não é maior do que a média dos valores em um círculo em torno desse ponto, um fato que pode ser usado para derivar o princípio do

Se for uma função holomórfica, então ${\ displaystyle f}$

$${\ displaystyle \ varphi (z) = \ log \ left | f (z) \ right |}$$

${\ displaystyle \ varphi (z)}$

${\ displaystyle f}$

$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} (z) = \ left | f (z) \ right | ^ {\ alpha}}$$

No contexto do plano complexo, a conexão com as funções convexas pode ser realizada também pelo fato de que uma função sub-harmônica em um domínio que é constante na direção imaginária é convexa na direção real e vice-versa. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle G \ subset \ mathbb {C}}$

Maiorantes harmônicos de funções sub-harmônicas

Se é sub-harmônico em uma

${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle u \ leq h}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle u}$

Funções subharmônicas no disco da unidade. Função máxima radial

Seja φ subharmônico, contínuo e não negativo em um subconjunto aberto Ω do plano complexo contendo o disco unitário fechado D (0, 1). A função máxima radial para a função φ (restrita ao disco da unidade) é definida no círculo da unidade por

$${\ displaystyle (M \ varphi) (e ^ {i \ theta}) = \ sup _ {0 \ leq r <1} \ varphi (re ^ {i \ theta}).}$$

$${\ displaystyle 0 \ leq \ varphi (re ^ {i \ theta}) \ leq {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} P_ {r} \ left ( \ theta -t \ right) \ varphi \ left (e ^ {it} \ right) \, dt, \ \ \ r <1.}$$

$${\ displaystyle \ varphi ^ {*} (e ^ {i \ theta}) = \ sup _ {0 <\ alpha \ leq \ pi} {\ frac {1} {2 \ alpha}} \ int _ {\ theta - \ alpha} ^ {\ theta + \ alpha} \ varphi \ left (e ^ {it} \ right) \, dt,}$$

$${\ displaystyle \ | M \ varphi \ | _ {L ^ {2} (\ mathbf {T})} ^ {2} \ leq C ^ {2} \, \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ varphi (e ^ {i \ theta}) ^ {2} \, d \ theta.}$$

Se f é uma função holomórfica em Ω e 0 < p  <∞, então a desigualdade anterior se aplica a φ  = | f  | ^{p / 2} . Pode-se deduzir a partir desses fatos que qualquer função F no espaço clássico de Hardy H ^p satisfaz

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left (\ sup _ {0 \ leq r <1} \ left | F (re ^ {i \ theta}) \ right | \ right) ^ { p} \, d \ theta \ leq C ^ {2} \, \ sup _ {0 \ leq r <1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | F (re ^ {i \ theta }) \ right | ^ {p} \, d \ theta.}$$

Funções subarmônicas em variedades Riemannianas

As funções subarmônicas podem ser definidas em uma variedade Riemanniana arbitrária .

Definição: Seja M uma variedade Riemanniana e uma função

${\ displaystyle f: \; M \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle U \ subset M}$

${\ displaystyle f_ {1} \ geq f}$

${\ displaystyle f_ {1} \ geq f}$

Esta definição é equivalente a uma dada acima. Além disso, para funções duas vezes diferenciáveis, a subarmonicidade é equivalente à desigualdade , onde é o

${\ displaystyle \ Delta f \ geq 0}$

${\ displaystyle \ Delta}$

Veja também

• Função plurissubarmônica - generalização para várias variáveis ​​complexas
• Topologia fina clássica

Notas

Referências

• Conway, John B. (1978). Funções de uma variável complexa . Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
• Krantz, Steven G. (1992). Teoria da Função de Diversas Variáveis ​​Complexas . Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-2724-3.
• Doob, Joseph Leo (1984). Teoria do potencial clássico e sua contraparte probabilística . Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-41206-9.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994). Tópicos em aulas de Hardy e funções univalentes . Birkhauser Advanced Texts: Basel Textbooks. Basel: Birkhauser Verlag.

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