Funzione subarmonica - Subharmonic function

${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$

${\displaystyle x}$

${\displaystyle r}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyleh}$

${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$

${\displaystyle B(x,r)}$

${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$

${\displaystyle y}$

${\displaystyle \partial B(x,r)}$

${\displaystyle B(x,r)}$

${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$

${\displaystyle y\in B(x,r).}$

Si noti che per quanto sopra, la funzione che è identicamente −∞ è subarmonica, ma alcuni autori escludono questa funzione per definizione.

Una funzione è detta

${\displaystyle u}$

${\displaystyle -u}$

Proprietà

• Una funzione è armonica se e solo se è sia subarmonica che superarmonica.
• Se è

${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \Delta \phi \geq 0}$

${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Delta}$

Il limite di una sequenza decrescente di funzioni subarmoniche è subarmonico (o identicamente uguale a ).${\displaystyle -\infty}$

Esempi

Se è

${\displaystyle f}$

${\displaystyle \log |f|}$

Teorema di rappresentazione di Riesz

Se è subarmonica in una regione ,

${\displaystyle v}$

${\displaystyle\mu}$

${\displaystyle D}$

Funzioni subarmoniche nel piano complesso

Le funzioni subarmoniche sono di particolare importanza nell'analisi complessa , dove sono intimamente connesse alle funzioni olomorfe .

Si può dimostrare che una funzione continua a valori reali di una variabile complessa (cioè di due variabili reali) definita su un insieme è subarmonica se e solo se per ogni disco chiuso di centro e raggio si ha ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle D(z,r)\subset G}$${\displaystyle z}$${\displaystyle r}$

$${\displaystyle \varphi (z)\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\varphi (z+re^{i\theta })\,d \theta .}$$

Intuitivamente, ciò significa che una funzione subarmonica è in qualsiasi punto non maggiore della media dei valori in un cerchio attorno a quel punto, un fatto che può essere utilizzato per derivare il principio di massimo .

Se è una funzione olomorfa, allora ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \varphi (z)=\log \left|f(z)\right|}$$

${\displaystyle \varphi (z)}$

${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \psi _{\alpha }(z)=\left|f(z)\right|^{\alpha }}$$

Nell'ambito del piano complesso, il collegamento con le funzioni convesse può realizzarsi anche dal fatto che una funzione subarmonica su un dominio costante nella direzione immaginaria è convessa nella direzione reale e viceversa. ${\displaystyle f}$${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$

Maggiori armoniche di funzioni subarmoniche

Se è subarmonica in una

${\displaystyle u}$

${\displaystyle\Omega}$

${\displaystyleh}$

${\displaystyle\Omega}$

${\displaystyleh}$

${\displaystyle u}$

${\displaystyle\Omega}$

${\displaystyle u\leq h}$

${\displaystyle\Omega}$

${\displaystyle u}$

Funzioni subarmoniche nel disco dell'unità. Funzione massima radiale

Sia φ subarmonico, continuo e non negativo in un aperto del piano complesso contenente il disco unitario chiuso D (0, 1). La funzione radiale massima per la funzione φ (limitato al disco unità) è definita sul cerchio unitario da

$${\displaystyle (M\varphi )(e^{i\theta })=\sup _{0\leq r<1}\varphi (re^{i\theta }).}$$

$${\displaystyle 0\leq \varphi (re^{i\theta })\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}\left( \theta -t\right)\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,\ \ \ r<1.}$$

$${\displaystyle \varphi ^{*}(e^{i\theta })=\sup _{0<\alpha \leq \pi }{\frac {1}{2\alpha }}\int _{\theta -\alpha }^{\theta +\alpha }\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,}$$

$${\displaystyle \|M\varphi \|_{L^{2}(\mathbf {T} )}^{2}\leq C^{2}\,\int _{0}^{2\pi } \varphi (e^{i\theta })^{2}\,d\theta .}$$

Se f è una funzione olomorfa in Ω e 0 < p  < ∞, allora la disuguaglianza precedente si applica a φ  = | f  | ^{p /2} . Si può dedurre da questi fatti che qualsiasi funzione F nello spazio di Hardy classico H ^p soddisfa

$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left(\sup _{0\leq r<1}\left|F(re^{i\theta })\right|\right)^{ p}\,d\theta \leq C^{2}\,\sup _{0\leq r<1}\int _{0}^{2\pi }\left|F(re^{i\theta })\right|^{p}\,d\theta .}$$

Funzioni subarmoniche su varietà Riemanniane

Le funzioni subarmoniche possono essere definite su una varietà Riemanniana arbitraria .

Definizione: Sia M una varietà Riemanniana e una funzione

${\displaystyle f:\;M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle U\subset M}$

${\displaystyle f_{1}\geq f}$

${\displaystyle f_{1}\geq f}$

Questa definizione è equivalente a quella data sopra. Inoltre, per funzioni due volte differenziabili, la subarmonia è equivalente alla disuguaglianza , dove è il solito

${\displaystyle \Delta f\geq 0}$

${\displaystyle \Delta}$

Guarda anche

• Funzione plurisubarmonica — generalizzazione a più variabili complesse
• Topologia fine classica

Appunti

Riferimenti

• Conway, John B. (1978). Funzioni di una variabile complessa . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
• Krantz, Steven G. (1992). Teoria delle funzioni di più variabili complesse . Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-2724-3.
• Doob, Joseph Leo (1984). La teoria del potenziale classico e la sua controparte probabilistica . Berlino Heidelberg New York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-41206-9.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994). Argomenti nelle classi Hardy e funzioni univalenti . Birkhauser Advanced Texts: libri di testo di Basilea. Basilea: Birkhauser Verlag.

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