Homogeeninen tila - Homogeneous space

Torus . Tavallinen torus on homogeeninen sen diffeomorfismi- ja homeomorfismiryhmien osalta ja litteä torus on homogeeninen sen diffeomorfismi-, homeomorfismi- ja isometriaryhmissä .

On matematiikka , erityisesti teoriat Lie ryhmien , algebrallinen ryhmä ja topologinen ryhmät , joka on homogeeninen tila varten ryhmä G on ei-tyhjä jakoputken tai topologinen tilaa X , johon G toimii transitiivisesti . Elementit G kutsutaan symmetriat ja X . Erikoistapaus tämä on silloin, kun ryhmä G kyseessä on automorphism ryhmä tilan X - tässä "automorphism ryhmä" voi tarkoittaaisometriaryhmä , diffeomorfismiryhmä tai homeomorfismiryhmä . Tässä tapauksessa X on homogeeninen, jos intuitiivisesti X näyttää paikallisesti samalta jokaisessa kohdassa joko isometrian (jäykkä geometria), diffeomorfismin (differentiaaligeometria) tai homeomorfismin (topologia) merkityksessä. Jotkut kirjoittajat vaativat, että G: n toiminta on uskollista (ei-identiteettielementit toimivat ei-triviaalisesti), vaikka tämä artikkeli ei sitä tee. Näin ollen G: llä on X: n ryhmätoiminta , jonka voidaan ajatella säilyttävän jonkin "geometrisen rakenteen" X : ssä ja tekevän X : stä yhden G -kiertoradan .

Muodollinen määritelmä

Olkoon X ei-tyhjä joukko ja G ryhmä. Sitten X: ää kutsutaan G -avaruudeksi, jos se on varustettu G: n toiminnalla X: llä . Huomaa, että automaattisesti G vaikuttaa sarjassa oleviin automorfismeihin (bijisioihin). Jos X lisäksi kuuluu johonkin luokkaan , G: n elementtien oletetaan toimivan saman luokan automorfismeina . Toisin sanoen X: n kartat, jotka tulevat G : n elementeistä, säilyttävät luokkaan liittyvän rakenteen (esimerkiksi jos X on objekti Diff: ssä, toiminnon on oltava diffeomorfismin ). Homogeeninen tila on G -tila, jossa G toimii väliaikaisesti.

Lyhyesti sanottuna, jos X on luokan C kohde , G -tilan rakenne on homomorfismi :

{\ displaystyle \ rho: G \ to \ mathrm {Aut} _ {\ mathbf {C}} (X)}

ryhmään ja automorphisms esineen X luokkaan C . Pari ( X , ρ ) määrittelee homogeenisen tilan, jos ρ ( G ) on X: n taustalla olevan joukon transitiivinen symmetriaryhmä .

Esimerkkejä

Esimerkiksi, jos X on topologinen avaruus , sitten alkuaineet oletetaan toimivan homeomorphisms on X . Rakennetta G -space on homomorfismi ρ : G → homeo ( X ) tulee homeomorfismi ryhmä ja X .

Samoin, jos X on erilaistuva jakoputki , niin ryhmäelementit ovat diffeomorfismeja . Rakennetta G -space on homomorfismi ρ : G → Diffeo ( X ) otetaan diffeomorfismi ryhmä X .

Riemannin symmetriset tilat ovat tärkeä homogeenisten tilojen luokka, ja ne sisältävät monia alla luetelluista esimerkeistä.

Konkreettisia esimerkkejä ovat:

Isometriaryhmät

Positiivinen kaarevuus:

Pallo ( ortogonaalinen ryhmä ): . Tämä pätee seuraavien havaintojen vuoksi: Ensinnäkin se on vektorisarja normin kanssa . Jos pidämme yhtä näistä vektoreista perusvektorina, mikä tahansa muu vektori voidaan rakentaa käyttämällä ortogonaalista muunnosta. Jos katsomme tämän vektorin mittaa yhden ulottuvuuden aliavaruudeksi , niin komplementti on -ulotteinen vektoriavaruus, joka on invariantti ortogonaalisen muunnoksen aikana . Tämä osoittaa meille, miksi voimme rakentaa homogeeniseksi tilaksi. ${\ displaystyle S^{n-1} \ cong \ mathrm {O} (n)/\ mathrm {O} (n-1)}$ ${\ displaystyle S^{n-1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle (n-1)}$ ${\ displaystyle {\ text {O}} (n-1)}$ ${\ displaystyle S^{n-1}}$
Suunnattu pallo ( erityinen ortogonaalinen ryhmä ): ${\ displaystyle S^{n-1} \ cong \ mathrm {SO} (n)/\ mathrm {SO} (n-1)}$
Projektiivinen tila ( projektiivinen ortogonaalinen ryhmä ): ${\ displaystyle \ mathrm {P} ^{n-1} \ cong \ mathrm {PO} (n)/\ mathrm {PO} (n-1)}$

Tasainen (nollakaarevuus):

Euklidinen avaruus ( euklidinen ryhmä , pisteen vakaaja on ortogonaalinen ryhmä): A ⁿ ≅ E ( n )/O ( n )

Negatiivinen kaarevuus:

Hyperbolinen tila ( ortokroninen Lorentz -ryhmä , pistevakaaja ortogonaalinen ryhmä, joka vastaa hyperboloidimallia ): H ⁿ ≅ O ⁺ (1, n )/O ( n )
Suunnattu hyperbolinen tila: SO ⁺ (1, n )/SO ( n )
Anti-de Sitter -tila: AdS _{n +1} = O (2, n )/O (1, n )

Muut

Affiinitila ( affiiniryhmälle , pistevakaajan yleinen lineaarinen ryhmä ): A ⁿ = Aff ( n , K )/GL ( n , k ).
Grassmannian : ${\ displaystyle \ mathrm {Gr} (r, n) = \ mathrm {O} (n)/(\ mathrm {O} (r) \ times \ mathrm {O} (nr))}$
Topologiset vektorivälit (topologian merkityksessä)

Geometria

Näkökulmasta tarkasteltuna Erlangenin ohjelman , voidaan ymmärtää, että "kaikki kohdat ovat samat", että geometria on X . Tämä pätee olennaisesti kaikkiin geometriaihin, joita ehdotettiin ennen Riemannin geometriaa 1800 -luvun puolivälissä.

Siten esimerkiksi euklidinen avaruus , affininen tila ja projektiivinen tila ovat kaikki luonnollisella tavalla homogeenisia tiloja omille symmetriaryhmilleen . Sama pätee malleihin, jotka on löydetty ei-euklidisesta jatkuvan kaarevuuden geometriasta , kuten hyperbolisesta avaruudesta .

Toinen klassinen esimerkki on viivojen tila kolmen ulottuvuuden projektiivisessa tilassa (vastaavasti nelidimensioisen vektoriavaruuden kaksiulotteisten alitilojen tila ). On yksinkertainen lineaarinen algebra osoittaa, että GL ₄ vaikuttaa niihin väliaikaisesti. Voimme parametroidaan ne linja koordinaatit : nämä ovat 2 x 2 alaikäiset on 4 x 2 matriisi pylväineen kaksi kantavektorit varten aliavaruuden. Tuloksena olevan homogeenisen tilan geometria on Julius Plückerin viivageometria .

Homogeeniset tilat kosetiikkatiloina

Yleensä, jos X on homogeeninen tila G , ja H _o on stabilointiaine joidenkin merkitty pisteen o on X (valinta alkuperä ), pisteiden X vastaavat vasemmalle sivuluokkia G / H _o , ja merkitty kohta o vastaa identiteetin yhdistelmää. Päinvastoin, kun otetaan huomioon kosettitila G / H , se on homogeeninen tila G: lle, jolla on erottuva piste, nimittäin identiteetin yhdistelmä. Siten homogeenista tilaa voidaan ajatella kosetiikkatilana ilman alkuperän valintaa.

Yleensä eri valinta alkuperää o johtaa osamäärä G , jonka eri alaryhmän H _{o "} , joka liittyy H _o jota sisempi automorphism on G . Erityisesti,

{\ displaystyle H_ {o '} = gH_ {o} g^{-1} \ qquad \ qquad (1)}

jossa g on mikä tahansa osa G , joiden mennä = o ". Huomaa, että sisäinen automorfismi (1) ei riipu siitä, mikä tällainen g valitaan; se riippuu vain g modulo H _o .

Jos toiminnan G on X on jatkuva ja X on Hausdorff, niin H on suljettu alaryhmä on G . Erityisesti, jos G on Lie ryhmä , niin H on Lie alaryhmä , jonka Cartan lause . Siksi G / H on tasainen jakotukki, joten X: llä on ainutlaatuinen sileä rakenne, joka on yhteensopiva ryhmätoiminnan kanssa.

Jos H on identiteetin alaryhmä { e }, niin X on pääasiallinen homogeeninen avaruus .

Voidaan mennä pidemmälle kaksinkertaisiin kosteisiin tiloihin, erityisesti Clifford – Klein -muotoihin Γ \ G / H , missä Γ on ( G: n ) erillinen alaryhmä, joka toimii oikein epäjatkuvasti .

Esimerkki

Esimerkiksi viivageometrian tapauksessa voimme tunnistaa H: n 16-ulotteisen yleisen lineaarisen ryhmän GL (4) 12-ulotteisena alaryhmänä , joka on määritelty matriisimerkintöjen ehdoilla

h ₁₃ = h ₁₄ = h ₂₃ = h ₂₄ = 0,

etsimällä kahden ensimmäisen vakiopohjaisen vektorin kattaman aliavaruuden stabilointiainetta. Tämä osoittaa, että X: llä on ulottuvuus 4.

Koska alaikäisten antamat homogeeniset koordinaatit ovat 6, tämä tarkoittaa, että jälkimmäiset eivät ole toisistaan riippumattomia. Itse asiassa kuuden alaikäisen välillä on yksi toisen asteen suhde, kuten 1800-luvun geometrit tiesivät.

Tämä esimerkki oli ensimmäinen tunnettu esimerkki ruoholaisesta , muu kuin projektiivinen tila. Matematiikassa on yleisesti käytössä monia muita klassisten lineaaristen ryhmien homogeenisia tiloja.

Prehomogeeniset vektoriavaruudet

Mikio Sato esitteli ajatuksen esihomogeenisesta vektoriavaruudesta .

Se on rajallinen-ulotteinen vektori tila V , jossa on ryhmä toiminta , joka algebrallinen ryhmä G , niin että on olemassa rata G , joka on avoinna Zariski topologia (ja niin, tiheä). Esimerkki on GL (1), joka toimii yksiulotteisessa avaruudessa.

Määritelmä on rajoittavampi kuin miltä se aluksi näyttää: tällaisilla tiloilla on merkittäviä ominaisuuksia, ja on olemassa luokitus irredusoituvista esihomogeenisista vektoritiloista aina "castling" -muunnokseen asti.

Homogeeniset tilat fysiikassa

Fyysinen kosmologia, joka käyttää yleistä suhteellisuusteoriaa, käyttää Bianchin luokitusjärjestelmää . Homogeeninen avaruus suhteellisuusteoria edustavat väliosa taustan mittarit joidenkin kosmologisen malleja ; Esimerkiksi Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker -mittarin kolme tapausta voidaan esittää Bianchi I (tasainen), V (avoin), VII (tasainen tai avoin) ja IX (suljettu) -tyyppien osajoukoilla, kun taas Mixmaster maailmankaikkeus edustaa anisotrooppista esimerkkiä Bianchi IX: n kosmologiasta.

N -ulottuvuuksien homogeeninen tila sallii joukon tappamisvektoreita . Kolmen ulottuvuuden osalta tämä antaa yhteensä kuusi lineaarisesti riippumatonta Killing -vektorikenttää; homogeenisilla 3-avaruuksilla on ominaisuus, että näiden lineaaristen yhdistelmien avulla voidaan löytää kolme kaikkialta katoamatonta Killing-vektorikenttää , ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} N (N+1)}$ ${\ displaystyle \ xi _ {i}^{(a)}}$

{\ displaystyle \ xi _ {[i; k]}^{(a)} = C _ {\ bc}^{a} \ xi _ {i}^{(b)} \ xi _ {k}^{( c)}}

jossa kohde , The "rakenne vakiot", muodostavat vakio järjestyksessä kolme tensor antisymmetrinen alemmassa kaksi indeksiä (vasemmalla puolella, hakasuluilla on merkitty antisymmetrisation ja "" edustaa covariant ero operaattori ). Kun kyseessä on tasainen isotrooppinen maailmankaikkeus , yksi mahdollisuus on (tyyppi I), mutta kun kyseessä on suljettu FLRW maailmankaikkeus, jossa on Levi-Civita symboli . ${\ displaystyle C _ {\ bc}^{a}}$ ${\ displaystyle C _ {\ bc}^{a} = 0}$ ${\ displaystyle C _ {\ bc}^{a} = \ varepsilon _ {\ bc}^{a}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ bc}^{a}}$