Homogent rum - Homogeneous space

En torus . Standard torus er homogen under dens diffeomorphism og homeomorphism grupper, og den flade torus er homogen under dens diffeomorphism, homeomorphism og isometri grupper .

I matematik , især i teorier om løgn-grupper , algebraiske grupper og topologiske grupper , er et homogent rum for en gruppe G et ikke-tomt mangfoldigt eller topologisk rum X, hvorpå G virker transitivt . Elementerne i G kaldes symmetrier af X . Et specielt tilfælde af dette er, når den pågældende gruppe G er automorfismegruppen i rummet X - her kan "automorfisme -gruppe" betyde isometri -gruppe , diffeomorfismegruppe eller homeomorfisme -gruppe . I dette tilfælde er X homogen, hvis intuitivt X ser lokalt ens ud på hvert punkt, enten i betydningen isometri (stiv geometri), diffeomorfisme (differentialgeometri) eller homeomorfisme (topologi). Nogle forfattere insisterer på, at G 's handling er trofast (ikke-identitetselementer virker ikke-trivielt), selvom denne artikel ikke gør det. Således er der en gruppeaktion af G på X, som kan opfattes som at bevare en eller anden "geometrisk struktur" på X og gøre X til en enkelt G -bane .

Formel definition

Lad X være et ikke-tomt sæt og G en gruppe. Så X kaldes en G- -space hvis den er udstyret med en handling af G på X . Bemærk, at G automatisk virker ved hjælp af automorfismer (bijections) på sættet. Hvis X derudover tilhører en eller anden kategori , antages elementerne i G at fungere som automorfismer i samme kategori. Det vil sige, at kortene på X, der kommer fra elementer af G, bevarer strukturen, der er knyttet til kategorien (for eksempel, hvis X er et objekt i Diff, skal handlingen udføres af diffeomorfismer ). Et homogent rum er et G -rum, hvorpå G virker transitivt.

Kort sagt, hvis X er et objekt i kategorien C , så er strukturen af et G -rum et homomorfisme :

{\ displaystyle \ rho: G \ to \ mathrm {Aut} _ {\ mathbf {C}} (X)}

i gruppen af automorphisms af objektet X i kategorien C . Parret ( X , ρ ) definerer en homogen felt ρ ( G ) er en transitiv gruppe af symmetrier i den underliggende sæt af X .

Eksempler

For eksempel, hvis X er en topologisk rum , derefter -gruppeelementerne antages at virke som homeomorphisms på X . Strukturen af en G -space er en gruppehomomorfi ρ : G → Homeo ( X ) i homeomorfi gruppe af X .

På samme måde, hvis X er en differentierbar manifold , så er gruppeelementerne diffeomorfismer . Strukturen af en G -space er en gruppehomomorfi ρ : G → Diffeo ( X ) ind diffeomorphismen gruppe X .

Riemanniske symmetriske rum er en vigtig klasse af homogene rum og indeholder mange af eksemplerne nedenfor.

Konkrete eksempler omfatter:

Isometri grupper

Positiv krumning:

Sphere ( ortogonal gruppe ): . Dette er sandt på grund af følgende observationer: For det første er det sæt af vektorer, der er i norm . Hvis vi betragter en af disse vektorer som en basisvektor, kan enhver anden vektor konstrueres ved hjælp af en ortogonal transformation. Hvis vi betragter spændet af denne vektor som et endimensionelt underrum af , så er komplementet et -dimensionelt vektorrum, som er invariant under en ortogonal transformation fra . Dette viser os, hvorfor vi kan konstruere som et homogent rum. ${\ displaystyle S^{n-1} \ cong \ mathrm {O} (n)/\ mathrm {O} (n-1)}$ ${\ displaystyle S^{n-1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle (n-1)}$ ${\ displaystyle {\ text {O}} (n-1)}$ ${\ displaystyle S^{n-1}}$
Orienteret sfære ( særlig ortogonal gruppe ): ${\ displaystyle S^{n-1} \ cong \ mathrm {SO} (n)/\ mathrm {SO} (n-1)}$
Projektivt rum ( projektiv ortogonal gruppe ): ${\ displaystyle \ mathrm {P} ^{n-1} \ cong \ mathrm {PO} (n)/\ mathrm {PO} (n-1)}$

Flad (nul krumning):

Euklidisk rum ( euklidisk gruppe , punktstabilisator er ortogonal gruppe): A ⁿ ≅ E ( n )/O ( n )

Negativ krumning:

Hyperbolisk rum ( ortokron Lorentz -gruppe , punktstabilisator ortogonal gruppe, svarende til hyperboloid model ): H ⁿ ≅ O ⁺ (1, n )/O ( n )
Orienteret hyperbolsk rum: SO ⁺ (1, n )/SO ( n )
Anti-de Sitter plads : AdS _{n +1} = O (2, n )/O (1, n )

Andre

Affinrum (for affinegruppe , punktstabilisator generel lineær gruppe ): A ⁿ = Aff ( n , K )/GL ( n , k ).
Grassmannian : ${\ displaystyle \ mathrm {Gr} (r, n) = \ mathrm {O} (n)/(\ mathrm {O} (r) \ times \ mathrm {O} (nr))}$
Topologiske vektorrum (i betydningen topologi)

Geometri

Fra synspunkt af Erlangen-programmet , kan man forstå, at "alle punkter er de samme", i geometrien af X . Dette gjaldt stort set alle geometrier, der blev foreslået før Riemannian geometri , i midten af det nittende århundrede.

Således er f.eks. Euklidisk rum , affin rum og projektivt rum alle på naturlige måder homogene rum for deres respektive symmetri grupper . Det samme gælder de modeller, der findes for ikke-euklidisk geometri med konstant krumning , såsom hyperbolsk rum .

Et yderligere klassisk eksempel er linierummet i projektivt rum med tre dimensioner (tilsvarende rummet i todimensionelle underrum i et firedimensionelt vektorrum ). Det er simpel lineær algebra at vise, at GL ₄ virker transitivt på dem. Vi kan parameterisere dem efter linjekoordinater : disse er 2 × 2 mindreårige i 4 × 2 matrix med kolonner to basisvektorer for underrummet. Geometrien af resulterende homogene rum er linje geometri af Julius Plücker .

Homogene rum som coset -rum

Generelt, hvis X er et homogent rum for G , og H _o er stabilisatoren for et markeret punkt o i X (et valg af oprindelse ), svarer punkterne i X til de venstre cosets G / H _o , og det markerede punkt o svarer til identiteten for identiteten. Omvendt, givet et coset -rum G / H , er det et homogent rum for G med et fornem punkt, nemlig identitetens coset. Således kan et homogent rum opfattes som et coset -rum uden valg af oprindelse.

Generelt et andet valg af oprindelse o vil føre til en kvotient af G af en anden undergruppe H _{o '} som er relateret til H _o af en indre automorfi af G . Specifikt,

{\ displaystyle H_ {o '} = gH_ {o} g^{-1} \ qquad \ qquad (1)}

hvor g er et hvilket som helst element i G, som går = o ′. Bemærk, at den indre automorfisme (1) ikke afhænger af, hvilken sådan g er valgt; det afhænger kun af g modulo H _o .

Hvis virkningen af G på X er kontinuert og X er Hausdorff, derefter H er en lukket undergruppe af G . Især hvis G er en Lie -gruppe , så er H en Lie -undergruppe efter Cartans sætning . Derfor er G / H en glat manifold, og derfor bærer X en unik glat struktur, der er kompatibel med gruppeaktionen.

Hvis H er identitetsundergruppen { e }, er X et hovedhomogent mellemrum .

Man kan gå videre til dobbelte coset -mellemrum , især Clifford – Klein former Γ \ G / H , hvor Γ er en diskret undergruppe (af G ), der fungerer korrekt diskontinuerligt .

Eksempel

For eksempel i linjegeometri-tilfælde kan vi identificere H som en 12-dimensionel undergruppe af den 16-dimensionelle generelle lineære gruppe , GL (4), defineret af betingelser på matrixposterne

h ₁₃ = h ₁₄ = h ₂₃ = h ₂₄ = 0,

ved at kigge efter stabilisatoren af underrummet, der spænder over de to første standardbasisvektorer. Det viser, at X har dimension 4.

Da de homogene koordinater givet af mindreårige er 6 i antal, betyder det, at sidstnævnte ikke er uafhængige af hinanden. Faktisk er der et enkelt kvadratisk forhold mellem de seks mindreårige, som det var kendt for nittende århundredes geometre.

Dette eksempel var det første kendte eksempel på en Grassmannian , bortset fra et projektivt rum. Der er mange yderligere homogene rum for de klassiske lineære grupper, der er almindeligt anvendt i matematik.

Præhomogene vektorrum

Ideen om et præhomogent vektorrum blev introduceret af Mikio Sato .

Det er et endeligt-dimensionelt vektorrum V med en gruppeaktion af en algebraisk gruppe G , således at der er en bane af G, der er åben for Zariski-topologien (og så tæt). Et eksempel er GL (1), der virker på et endimensionelt rum.

Definitionen er mere restriktiv end den oprindeligt ser ud til: sådanne rum har bemærkelsesværdige egenskaber, og der er en klassificering af ureducerbare præhomogene vektorrum op til en transformation kendt som "castling".

Homogene rum i fysik

Fysisk kosmologi ved hjælp af den generelle relativitetsteori gør brug af Bianchi -klassifikationssystemet . Homogene rum i relativitet repræsentere rummet del af baggrundsniveauet metrics for nogle kosmologiske modeller ; for eksempel kan de tre tilfælde af metrerne Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker repræsenteres af undersæt af Bianchi I (flad), V (åben), VII (flad eller åben) og IX (lukket), mens Mixmaster univers repræsenterer et anisotropisk eksempel på en Bianchi IX -kosmologi.

Et homogent rum med N -dimensioner indrømmer et sæt Killing -vektorer . For tre dimensioner giver dette i alt seks lineært uafhængige Killing -vektorfelter; homogene 3-mellemrum har den egenskab, at man kan bruge lineære kombinationer af disse til at finde tre overalt ikke-forsvindende dræbende vektorfelter , ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} N (N+1)}$ ${\ displaystyle \ xi _ {i}^{(a)}}$

{\ displaystyle \ xi _ {[i; k]}^{(a)} = C _ {\ bc}^{a} \ xi _ {i}^{(b)} \ xi _ {k}^{( c)}}

hvor objektet , "strukturkonstanterne", danner en konstant orden-tre tensor antisymmetrisk i sine to nederste indekser (i venstre side angiver parenteserne antisymmetrisation og ";" repræsenterer den kovariante differentialoperator ). I tilfælde af et fladt isotropisk univers er en mulighed (type I), men i tilfælde af et lukket FLRW-univers, hvor er Levi-Civita-symbolet . ${\ displaystyle C _ {\ bc}^{a}}$ ${\ displaystyle C _ {\ bc}^{a} = 0}$ ${\ displaystyle C _ {\ bc}^{a} = \ varepsilon _ {\ bc}^{a}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ bc}^{a}}$