Jednorodna przestrzeń - Homogeneous space

Torus . Standardowy torus jest jednorodny pod swoimi grupami dyfeomorfizmu i homeomorfizmu , a płaski torus jest jednorodny pod swoimi grupami dyfeomorfizmu, homeomorfizmu i izometrii .

W matematyce , zwłaszcza w teorii Lie grup , grupy algebraicznych i grupy topologiczne , A jednorodnej przestrzeni dla grupy G jest niepusty kolektora lub topologiczna przestrzeni X , w którym G działa przechodni . Elementy G nazywane są symetrie o X . Szczególnym przypadkiem jest, gdy grupa G w pytaniu jest grupa automorfizmem przestrzeni X - tutaj „grupa automorfizmem” może oznaczać isometry grupę , grupę dyfeomorfizmu lub grupę homeomorfizm . W tym przypadku X jest jednorodne, jeśli intuicyjnie X wygląda lokalnie tak samo w każdym punkcie, albo w sensie izometrii (geometria sztywna), dyfeomorfizmu (geometria różniczkowa) lub homeomorfizmu (topologii). Niektórzy autorzy nalegają, aby działanie G było wierne (elementy nietożsamości działają nietrywialnie), chociaż niniejszy artykuł tego nie robi. Zatem istnieje grupa działania z G na X , które mogą być traktowane jako „zachowując pewną strukturę geometryczną” na X , a co X w jednym G -orbit .

Formalna definicja

Niech X będzie zbiorem niepustym, a G grupą. Wtedy X nazywamy przestrzenią G, jeśli jest wyposażone w działanie G na X . Zauważ, że automatycznie G działa na zbiorze przez automorfizmy (bijekcje). Jeśli X dodatkowo należy do jakiejś kategorii , to zakłada się , że elementy G działają jako automorfizmy w tej samej kategorii. Oznacza to, że mapy na X pochodzące z elementów G zachowują strukturę związaną z kategorią (na przykład, jeśli X jest obiektem w Diff, to działanie musi być wykonane przez diffeomorfizmy ). Przestrzeń jednorodna to przestrzeń G, na którą G działa przechodnie.

Krótko mówiąc, jeśli X jest obiektem kategorii C , to struktura przestrzeni G jest homomorfizmem :

{\ Displaystyle \ rho : G \ do \ operatorname {autor} _ {\ mathbf {C}} (X)}

do grupy automorfizmów obiektu X w kategorii C . Para ( X , ρ ) definiuje jednorodną przestrzeń pod warunkiem , że ρ ( G ) jest przechodnią grupą symetrii podstawowego zbioru X .

Przykłady

Na przykład, jeśli X jest przestrzenią topologiczną , to zakłada się, że elementy grupy działają jako homeomorfizmy na X . Struktura G -kosmiczna oznacza grupę homomorfizm ρ : G → Homeo ( X ) do grupy homeomorfizm z X .

Podobnie, jeśli X jest rozmaitością różniczkowalną , to elementy grupowe są diffeomorfizmami . Struktura przestrzeni G to homomorfizm grupowy ρ : G → Diffeo( X ) do grupy dyfeomorficznej X .

Przestrzenie symetryczne Riemanna są ważną klasą przestrzeni jednorodnych i obejmują wiele przykładów wymienionych poniżej.

Konkretne przykłady obejmują:

Grupy izometryczne

Krzywizna dodatnia:

Kula ( grupa ortogonalna ): . Dzieje się tak ze względu na następujące obserwacje: Po pierwsze, to zbiór wektorów w normie . Jeśli uznamy jeden z tych wektorów za wektor bazowy, to każdy inny wektor można skonstruować za pomocą transformacji ortogonalnej. Jeśli rozważymy rozpiętość tego wektora jako jednowymiarową podprzestrzeń , to dopełnieniem jest dwuwymiarowa przestrzeń wektorowa, która jest niezmiennicza przy przekształceniu ortogonalnym z . To pokazuje nam, dlaczego możemy budować jako jednorodną przestrzeń. ${\ Displaystyle S ^ {n-1} \ cong \ operatorname {O} (n) / \ operatorname {O} (n-1)}$ ${\ Displaystyle S ^ {n-1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle (n-1)}$ ${\ Displaystyle {\ tekst {O}} (n-1)}$ ${\ Displaystyle S ^ {n-1}}$
Kula zorientowana ( specjalna grupa ortogonalna ): ${\ Displaystyle S ^ {n-1} \ cong \ operatorname {SO} (n) / \ operatorname {SO} (n-1)}$
Przestrzeń rzutowa ( rzutowa grupa ortogonalna ): ${\ Displaystyle \ operatorname {P} ^ {n-1} \ cong \ operatorname {PO} (n) / \ operatorname {PO} (n-1)}$

Płaski (zero krzywizny):

Przestrzeń euklidesowa ( grupa euklidesowa , stabilizator punktowy jest grupą ortogonalną): A ⁿ ≅ E( n )/O( n )

Krzywizna ujemna:

Przestrzeń hiperboliczna ( ortochroniczna grupa Lorentza , ortogonalna grupa stabilizatora punktowego, odpowiadająca modelowi hiperboloidowemu ): H ⁿ ≅ O ⁺ (1, n )/O( n )
Zorientowana przestrzeń hiperboliczna: SO ⁺ (1, n )/SO( n )
Przestrzeń anty-de Sitter : AdS _{n +1} = O(2, n )/O(1, n )

Inni

Przestrzeń afiniczna (dla grupy afinicznej , ogólnej grupy liniowej stabilizatora punktowego ): A ⁿ = Aff( n , K )/GL( n , k ).
Grassmannian : ${\ Displaystyle \ operatorname {Gr} (r, n) = \ operatorname {O} (n) / (\ operatorname {O} (R) \ razy \ operatorname {O} (nr))}$
Topologiczne przestrzenie wektorowe (w sensie topologii)

Geometria

Z punktu widzenia programu Erlangen , można zrozumieć, że „wszystkie punkty są takie same”, w geometrii z X . Dotyczyło to zasadniczo wszystkich geometrii proponowanych przed geometrią riemannowską , w połowie XIX wieku.

Tak więc, na przykład przestrzeni euklidesowej , afiniczny miejsca i przestrzeni rzutowej są w naturalny sposób jednorodne miejsca dla odpowiednich grup symetrii . To samo dotyczy modeli znalezionych w geometrii nieeuklidesowej o stałej krzywiźnie , takiej jak przestrzeń hiperboliczna .

Kolejnym klasycznym przykładem jest przestrzeń prostych w przestrzeni rzutowej trzech wymiarów (odpowiednik przestrzeni dwuwymiarowych podprzestrzeni czterowymiarowej przestrzeni wektorowej ). Prostą algebrą liniową jest pokazanie, że GL ₄ działa na nie przechodnie. Można parametryzacji ich linii współrzędnych : są to 2 x 2 nieletni matrycy 4 x 2 kolumny z dwóch wektorów bazowych dla podprzestrzeni. Geometria przestrzeni powstałej jednorodnej jest geometria linii z Julius plucker .

Przestrzenie jednorodne jako przestrzenie coset

W ogóle, jeśli X jest jednorodną przestrzeń G i H _O to stabilizator niektórych zaznaczonego punktu O w X (wybór pochodzenia ), punkty X odpowiadają lewej cosets G / H _ö i zaznaczonym punktem o odpowiada coset tożsamości. Odwrotnie, przy danej przestrzeni coset G / H , jest to jednorodna przestrzeń dla G z wyróżnionym punktem, czyli coset tożsamości. W ten sposób jednorodną przestrzeń można traktować jako przestrzeń kosetową bez możliwości wyboru pochodzenia.

Na ogół, wybór innego pochodzenia O spowoduje iloraz G przez inną podgrupę H _{o '} , które są związane z H _O o o wewnętrznej automorfizm o G . Konkretnie,

{\ Displaystyle H_ {o'} = gH_ {o} g ^ {-1} \ qquad \ qquad (1)}

gdzie g jest dowolnym elementem G, dla którego go = o ′. Zauważ, że wewnętrzny automorfizm (1) nie zależy od tego, które takie g jest wybrane; zależy tylko od g modulo H _o .

Jeżeli działanie G na X jest ciągła i X jest Hausdorff, a H jest zamknięty podgrupa o G . W szczególności, jeśli G jest grupą Liego , to H jest podgrupą Liego według twierdzenia Cartana . Stąd G / H jest gładką rozmaitością, a więc X ma unikalną gładką strukturę zgodną z działaniem grupowym.

Jeśli H jest podgrupą tożsamości { e }, to X jest główną przestrzenią jednorodną .

Można pójść dalej podwójne warstwa przestrzeni, zwłaszcza Clifford-Klein tworzy Γ \ G / H , gdzie Γ jest dyskretnym podgrupie (w G ), działający prawidłowo w sposób nieciągły .

Przykład

Na przykład w przypadku geometrii linii możemy zidentyfikować H jako 12-wymiarową podgrupę 16-wymiarowej ogólnej grupy liniowej GL(4), zdefiniowanej przez warunki na wpisach macierzy

h ₁₃ = h ₁₄ = h ₂₃ = h ₂₄ = 0,

szukając stabilizatora podprzestrzeni rozpiętej przez dwa pierwsze standardowe wektory bazowe. To pokazuje, że X ma wymiar 4.

Ponieważ jednorodne współrzędne podane przez nieletnich mają liczbę 6, oznacza to, że te ostatnie nie są od siebie niezależne. W rzeczywistości między sześcioma nieletnimi zachodzi pojedyncza relacja kwadratowa, jaka była znana dziewiętnastowiecznym geometrom.

Ten przykład był pierwszym znanym przykładem Grassmannianu , innym niż przestrzeń rzutowa. Istnieje wiele dalszych jednorodnych przestrzeni klasycznych grup liniowych powszechnie stosowanych w matematyce.

Prejednorodne przestrzenie wektorowe

Ideę prehomogenicznej przestrzeni wektorowej wprowadził Mikio Sato .

Jest to skończona-wymiarowej przestrzeni wektor V o działaniu grupy o a algebraicznych grupy G , tak, że nie stanowi orbitę G , która jest otwarta na topologii Zariski (a więc, gęste). Przykładem jest GL(1) działający na przestrzeni jednowymiarowej.

Definicja jest bardziej restrykcyjna niż się początkowo wydaje: takie przestrzenie mają niezwykłe właściwości i istnieje klasyfikacja nieredukowalnych prehomogenicznych przestrzeni wektorowych, aż do przekształcenia znanego jako „roszada”.

Przestrzenie jednorodne w fizyce

Kosmologia fizyczna wykorzystująca ogólną teorię względności wykorzystuje system klasyfikacji Bianchi . Przestrzenie jednorodne w teorii względności stanowią część przestrzenną metryk tła dla niektórych modeli kosmologicznych ; na przykład trzy przypadki metryki Friedmanna-Lemaître-Robertsona-Walkera mogą być reprezentowane przez podzbiory typów Bianchi I (płaski), V (otwarty), VII (płaski lub otwarty) i IX (zamknięty), podczas gdy Mixmaster Wszechświat reprezentuje anizotropowy przykład kosmologii Bianchi IX.

Jednorodna przestrzeń o wymiarach N dopuszcza zbiór wektorów zabijania . Dla trzech wymiarów daje to w sumie sześć liniowo niezależnych pól wektorów zabijania; jednorodne 3-przestrzenie mają tę właściwość, że można użyć ich kombinacji liniowych, aby znaleźć trzy wszędzie nieznikające pola wektorów zabijania , ${\tfrac {1}{2}}N(N+1)$ ${\ Displaystyle \ xi _ {i} ^ {(a)}}$

{\ Displaystyle \ xi _ {[i; k]} ^ {(a)} = C_ {\ bc} ^ {a} \ xi _ {i} ^ {(b)} \ xi _ {k} ^ {( C)}}

gdzie obiekt , „stałe struktury”, tworzą stały antysymetryczny tensor rzędu trzeciego w swoich dwóch dolnych indeksach (po lewej stronie nawiasy oznaczają antysymetryzację, a „;” reprezentuje kowariantny operator różniczkowy ). W przypadku płaskiego wszechświata izotropowego jedną z możliwości jest (typ I), ale w przypadku zamkniętego wszechświata FLRW, gdzie występuje symbol Levi-Civita . ${\ Displaystyle C_ {\ bc} ^ {a}}$ ${\ Displaystyle C_ {\ bc} ^ {a} = 0}$ ${\ Displaystyle C_ {\ bc} ^ {a} = \ varepsilon _ {\ bc} ^ {a}}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ bc} ^ {a}}$