D-brane - D-brane

Vuonna säieteorian , D-branes , lyhyt Dirichlet kalvo , ovat luokan laajennettu esineitä, johon avoimen jouset voi päättyä Dirichlet reunaehdot , jonka jälkeen ne on nimetty. D-branes löydettiin Dai, Leigh ja Polchinski , ja itsenäisesti Hořava , vuonna 1989. Vuonna 1995, Polchinski tunnistettu D-branes kanssa musta p-brane ratkaisuja supergravitaatio , löydön, joka käynnisti toisen Superstring vallankumouksen ja johti sekä holografinen ja M-teorian kaksinaisuudet.

D-branes luokitellaan tyypillisesti niiden spatiaalinen ulottuvuus , joka on merkitty numero kirjallinen jälkeen D. D0-brane on piste, D1-brane on linja (joskus kutsutaan "D-string"), joka on D2-brane on taso, ja D25-brane täyttää korkeimman ulottuvuuden tilan, jota bosonijonoteoriassa tarkastellaan . On myös instantonic D (-1) -branes, jotka ovat paikallisia sekä tilaa ja aikaa .

Teoreettinen tausta

Merkkijonoteorian liikkeen yhtälöt edellyttävät, että avoimen merkkijonon (päätepisteillä merkkijono) päätepisteet täyttävät yhden kahdesta rajaehto tyypistä: Neumannin rajaehto , joka vastaa vapaita päätepisteitä, jotka liikkuvat avaruuden aikana valon nopeudella, tai Dirichlet-rajaehdot , jotka kiinnittävät merkkijonon päätepisteen. Jokaisen merkkijonon koordinaatin on täytettävä yksi tai toinen näistä ehdoista. On myös olemassa merkkijonoja, joilla on sekoitetut rajaehdot, joissa nämä kaksi päätepistettä täyttävät NN-, DD-, ND- ja DN-rajaehdot. Jos p-avaruusmitat täyttävät Neumannin rajaehdon, merkkijonon päätepiste on rajoitettu liikkumaan p-ulotteisessa hypertasossa. Tämä hypertaso tarjoaa yhden kuvauksen Dp-braneista.

Vaikka nollakytkennän raja on jäykkä, D-braneille päättyvien avoimien merkkijonojen spektri sisältää sen vaihteluihin liittyviä moodeja, mikä tarkoittaa, että D-branes ovat dynaamisia objekteja. Kun D-olkaimet ovat melkein sattumalta, niiden välissä venyvien merkkijonojen kirjo tulee hyvin rikkaaksi. Yksi moodisarja tuottaa ei-abelialaisen mittareiden teorian maailman volyymista. Toinen moodien joukko on ulottuvuusmatriisi jokaiselle rungon poikittaiselle ulottuvuudelle. Jos nämä matriisit liikkuvat, ne voidaan diagonalisoida, ja ominaisarvot määrittelevät D-braneiden sijainnin avaruudessa. Yleisemmin sanoja kuvataan ei-kommutatiivisella geometrialla, joka sallii eksoottisen käyttäytymisen, kuten Myers-efektin , jossa kokoelma Dp-braneja laajenee D (p + 2) -sarjaksi. ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle N \ kertaa N}$ ${\ displaystyle N}$

Tachyonin kondensaatio on keskeinen käsite tällä alalla. Ashoke Sen on väittänyt, että tyypin IIB merkkijonoteoriassa tachyonikondensaatio sallii mielivaltaisen D-brane-konfiguraation (ilman Neveu-Schwarz-3- muodon virtausta) D9- ja anti-D9-leseiden pinosta. Edward Witten on osoittanut, että tällaiset kokoonpanot luokitellaan avaruusajan K-teorian mukaan . Tachyonin kondensaatio ymmärretään edelleen hyvin huonosti. Tämä johtuu tarkan merkkijonokenttäteorian puuttumisesta, joka kuvailisi takyonin kuoren ulkopuolista evoluutiota.

Braneworld-kosmologia

Tällä on vaikutuksia fyysiseen kosmologiaan . Koska Säieteorian merkitsee, että maailmankaikkeus on enemmän ulottuvuuksia kuin odotamme-26 bosonic merkkijonon teorioita ja 10 superstring teorioita -Meidän täytyy löytää syy, miksi ylimääräistä mitat eivät ilmene. Yksi mahdollisuus olisi, että näkyvä maailmankaikkeus on itse asiassa hyvin suuri D-aste, joka ulottuu kolmelle avaruusulottuvuudelle. Aineellisista esineistä, jotka on valmistettu avoimista jousista, on sidottu D-asteikko, eivätkä ne voi liikkua "suorassa kulmassa todellisuuden kanssa" tutkiaksesi maailmankaikkeutta rinteen ulkopuolella. Tätä skenaariota kutsutaan röyhkeäksi kosmologiaksi . Voima painovoima ei ole tarkoitus avata jouset; gravitonit jotka kuljettavat gravitaatiovoimia ovat värähtelevän valtioiden suljetun jousille. Koska suljettuja merkkijonoja ei tarvitse kiinnittää D-braneihin, gravitaatiovaikutukset voivat riippua ylimääräisistä ulottuvuuksista, jotka ovat kohtisuorassa kulmaan nähden.

D-brane sironta

Kun kaksi D-kaistaa lähestyy toisiaan, vuorovaikutus siepataan kahden silmukan välisen jousen yhden silmukan rengasamplitudilla. Skenaario kahdesta rinnakkaisesta kaistasta, jotka lähestyvät toisiaan vakionopeudella, voidaan yhdistää kahden paikallaan olevan kaaren ongelmaan, joita pyöritetään toistensa suhteen jonkin kulman verran. Rengasamplitudi tuottaa singulariteetteja, jotka vastaavat kahden säteen väliin venytettyjen avoimien kielien kuoren tuotantoa. Tämä on totta riippumatta D-braneiden varauksesta. Ei-relativistisilla sirontanopeuksilla avoimia merkkijonoja voidaan kuvata vähän energiaa käyttävällä tehokkaalla toiminnalla, joka sisältää kaksi kompleksista skalaarikenttää, jotka on kytketty termin kautta . Niinpä kentän (rungon erottaminen) muuttuessa kentän massa muuttuu. Tämä saa aikaan avoimen merkkijonotuotannon ja sen seurauksena kaksi sirontakaarta jää loukkuun. ${\ displaystyle \ phi ^ {2} \ chi ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ chi}$

Mittaa teorioita

D-braneiden järjestely kaventaa järjestelmässä mahdollisesti esiintyviä merkkijonotyyppejä. Esimerkiksi, jos meillä on kaksi rinnakkaista D2-kaistaa, voimme helposti kuvitella merkkijonoja, jotka ulottuvat rungosta 1 runkoon 2 tai päinvastoin. (Useimmissa teorioissa jouset ovat suuntautuneita esineitä: jokaisella on "nuoli", joka määrittää suunnan pituudeltaan.) Tässä tilanteessa sallitut avoimet merkkijonot jakautuvat sitten kahteen luokkaan tai "sektoriin": leseestä 1 peräisin oleviin ja päättyviin kieliin. leseessä 2 ja ne, jotka ovat peräisin leseestä 2 ja päättyvät asteeseen 1. Symbolisesti sanomme, että meillä on [1 2] - ja [2 1] -sektorit. Lisäksi merkkijono voi aloittaa ja päättyä samalla kaarella, jolloin [1 1] ja [2 2] sektorit. (Suluissa olevia numeroita kutsutaan Chan-Paton-indekseiksi , mutta ne ovat oikeastaan vain etikettejä tunnistavat etiketit.) Joko [1 2] - tai [2 1] -sektorin merkkijonolla on vähimmäispituus: se ei voi olla lyhyempi kuin ranteiden välinen etäisyys. Kaikilla kielillä on jonkin verran jännitystä, jota vasten on vedettävä pidentääkseen esinettä; tämä vetovoima toimii merkkijonossa lisäämällä sen energiaa. Koska merkkijonoteoriat ovat luonteeltaan relativistisia , energian lisääminen merkkijonoon vastaa massan lisäämistä Einsteinin suhteen E = mc ^{2 avulla} . Siksi D-braneiden välinen etäisyys säätelee avoimien merkkijonojen vähimmäismassaa.

Lisäksi merkkijonon päätepisteen kiinnittäminen rintakehään vaikuttaa merkkijonon liikkumiseen ja värähtelyyn. Koska hiukkastilat "syntyvät" merkkijonoteoriasta, kun merkkijono voi kokea erilaisia värähtelytiloja, D-kaistojen järjestely ohjaa teoriassa esiintyviä hiukkastyyppejä. Yksinkertaisimmassa tapauksessa on [1 1] alan D p -brane, toisin sanoen jouset, jotka alkavat ja päättyvät mitään erityistä D-brane on p mitat. Tutkimalla seuraukset Nambun-Goto toiminta (ja soveltamalla sääntöjä kvanttimekaniikan ja kvantisoida merkkijono), voidaan todeta, että joukossa spektri hiukkasten on yksi muistuttavan fotoni , perustavaa laatua kvantti sähkömagneettisen kentän. Samankaltaisuus on tarkka: sähkömagneettisen kentän p- ulotteinen versio, joka noudattaa Maxwellin yhtälöiden p- ulotteista analogia , on jokaisella D p -juoksulla.

Tässä mielessä voidaan sitten sanoa, että merkkijono teoria "ennustaa" sähkömagneettisuuden: D-olkaimet ovat välttämätön osa teoriaa, jos sallimme avoimien merkkijonojen olemassaolon, ja kaikissa D-kaistoissa on sähkömagneettinen kenttä tilavuudessaan.

Muut hiukkastilat alkavat merkkijonoista, jotka alkavat ja päättyvät samalla D-asteella. Jotkut vastaavat massattomia hiukkasia, kuten fotoni; myös tässä ryhmässä on joukko massattomia skalaarihiukkasia. Jos D p -ruutu on upotettu d: n avaruusmittausten avaruuteen, rintakehässä on (Maxwell- kentänsä lisäksi) joukko d - p: n massattomia skalaareja (hiukkasia, joilla ei ole polarisaatioita, kuten fotonit, jotka muodostavat valon). Mielenkiintoista on, että on vain yhtä paljon massattomia skalaareja kuin risteykseen kohtisuoria suuntauksia; geometria on brane järjestelyn liittyy läheisesti Kvanttikenttäteoria partikkelien olemassa sitä. Itse asiassa nämä massattomat skalaarit ovat Goldstone-herätteitä braneista, jotka vastaavat eri tapoja tyhjän tilan symmetria voidaan rikkoa. D-branen sijoittaminen universumiin rikkoo symmetrian sijaintien välillä, koska se määrittelee tietyn paikan ja antaa erityisen merkityksen tietylle sijainnille kussakin d-p- suunnassa, kohtisuorassa runkoon nähden.

Kvantti versio Maxwellin sähkömagnetismiin on vain yksi sellainen mittakenttäteoria , joka on U (1) mittakenttäteoria jossa mittari ryhmä on valmistettu yhtenäisen matriiseja järjestyksen 1. D-branes voidaan käyttää tuottamaan mittari teorioita korkeamman asteen, että seuraavalla tavalla:

Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi ryhmiteltyä N erillistä D- p- olkea, jotka on järjestetty rinnan. Rungot on merkitty mukavuuden vuoksi 1,2, ..., N. Vapaita kieliä tässä järjestelmässä esiintyä yhdessä monilla aloilla: jouset alkaa ja päättyy joissakin brane i antavat että brane Maxwellin kentän ja jotkut massattoman skalaarikentistä sen tilavuudesta. Ikkunoista i toiseen asteisiin j ulottuvilla jousilla on kiehtovampia ominaisuuksia. Ensinnäkin on syytä kysyä, mitkä merkkijonosektorit voivat olla vuorovaikutuksessa toistensa kanssa. Yksi suoraviivainen mekanismi merkkijonovaikutukselle on, että kaksi merkkijonoa yhdistää päätepisteet (tai päinvastoin, että yksi merkkijono "jakaa keskiosan" ja muodostaa kaksi "tytär" -merkkijonoa). Koska päätepisteet on rajoitettu olemaan D-kaistoilla, on ilmeistä, että [1 2] merkkijono voi olla vuorovaikutuksessa [2 3] merkkijonon kanssa, mutta ei [3 4] tai [4 17] yhden kanssa. Näiden merkkijonojen massaan vaikuttaa yllä olevien keskustelujen välinen etäisyys rungoista, joten yksinkertaisuuden vuoksi voimme kuvitella rintojen puristuvan lähemmäksi toisiaan, kunnes ne makaavat toistensa päällä. Jos pidämme kahta päällekkäistä rintaosaa erillisinä esineinä, meillä on edelleen kaikki sektorit, jotka meillä oli aikaisemmin, mutta ilman rintojen erotteluista johtuvia vaikutuksia.

Nollamassatilat avoimen merkkijonon hiukkasspektrissä N sattumanvaraisten D-braneiden järjestelmälle tuottavat joukon vuorovaikutuksessa olevia kvanttikenttiä, joka on täsmälleen U ( N ) -mittausteoria. (Merkkijonoteoria sisältää muita vuorovaikutuksia, mutta ne ovat havaittavissa vain hyvin korkeilla energioilla.) Mittareiden teoriaa ei keksitty aloittaen bosonisista tai fermionisista jousista; ne ovat peräisin toisesta fysiikan alueesta ja niistä on tullut varsin hyödyllisiä itsessään. Ellei mitään muuta, D-brane-geometrian ja mittareiden välinen suhde tarjoaa hyödyllisen pedagogisen työkalun mittarin vuorovaikutusten selittämiseen, vaikka merkkijonoteoria ei olisikaan "kaiken teoria".

Mustat aukot

Toinen tärkeä D-aaltojen käyttö on ollut mustien aukkojen tutkiminen . 1970-luvulta lähtien tutkijat ovat keskustelleet siitä, että mustilla aukoilla on entropia . Harkitse ajatuskokeiluna tiputtamalla määrä kuumaa kaasua mustaan aukkoon. Koska kaasu ei voi poistua reiän painovoimasta, sen entropia näyttäisi kadonneen maailmankaikkeudesta. Termodynamiikan toisen lain ylläpitämiseksi on oletettava, että musta aukko saavutti minkä tahansa entropian, jolla putoava kaasu alun perin oli. Yrittäessään soveltaa kvanttimekaniikkaa mustien aukkojen tutkimiseen, Stephen Hawking huomasi, että reiän tulisi lähettää energiaa lämpösäteilylle tyypillisellä spektrillä. Tämän Hawking-säteilyn ominaislämpötila saadaan

{\ displaystyle T _ {\ rm {H}} = {\ frac {\ hbar c ^ {3}} {8 \ pi GMk_ {B}}} \; \ quad (\ noin {1,227 \ kertaa 10 ^ {23} \; kg \ yli M} \; K)}

,

jossa G on Newtonin n gravitaatiovakio , M on musta aukko massa ja k _B on Boltzmannin vakio .

Käyttämällä tätä lausetta Hawkingin lämpötilalle ja olettaen, että nollamassan mustalla aukolla on nolla entropiaa, voidaan termodynaamisilla argumenteilla johtaa " Bekensteinin entropia":

{\ displaystyle S _ {\ rm {B}} = {\ frac {k_ {B} 4 \ pi G} {\ hbar c}} M ^ {2}.}

Bekensteinin entropia on verrannollinen mustan aukon massaan; koska Schwarzschildin säde on verrannollinen massaan, Bekensteinin entropia on verrannollinen mustan aukon pinta-alaan. Itse asiassa,

{\ displaystyle S _ {\ rm {B}} = {\ frac {Ak_ {B}} {4l _ {\ rm {P}} ^ {2}}},}

missä on Planckin pituus . ${\ displaystyle l _ {\ rm {P}}}$

Mustan reiän entropian käsite aiheuttaa mielenkiintoisia ongelmia. Tavallisessa tilanteessa järjestelmässä on entropia, kun suuri määrä erilaisia "mikrotiloja" voi tyydyttää saman makroskooppisen tilan. Esimerkiksi, kun otetaan huomioon laatikko, joka on täynnä kaasua, monilla eri kaasutyyppien järjestelyillä voi olla sama kokonaisenergia. Mustan aukon uskottiin kuitenkin olevan piirteetön esine ( John Wheelerin saalausekkeessä " mustilla aukoilla ei ole hiuksia "). Mitkä ovat sitten "vapauden asteet", jotka voivat aiheuttaa mustan aukon entropian?

Jousiteoreetikot ovat rakentaneet malleja, joissa musta aukko on hyvin pitkä (ja siten erittäin massiivinen) kieli. Tämä malli antaa karkean sopimuksen Schwarzschildin mustan aukon odotetun entropian kanssa, mutta tarkkaa todistetta ei ole vielä löydetty tavalla tai toisella. Suurin vaikeus on se, että kvanttijonojen vapausasteiden laskeminen on suhteellisen helppoa, jos ne eivät ole vuorovaikutuksessa toistensa kanssa. Tämä on analogista alkutermodynamiikassa tutkitun ihanteellisen kaasun kanssa: helpoin tilanne on mallintaa, kun kaasuatomilla ei ole vuorovaikutusta keskenään. Kaasujen kineettisen teorian kehittäminen tilanteessa, jossa kaasuatomit tai -molekyylit kokevat hiukkasten välisiä voimia (kuten van der Waalsin voima ), on vaikeampi. Maailma, jossa ei ole vuorovaikutusta, on kuitenkin mielenkiintoinen paikka: mustan aukon ongelman kannalta painopiste on vuorovaikutus, joten jos "merkkijonokytkentä" kytketään pois päältä, mustaa aukkoa ei voisi koskaan syntyä. Siksi mustan aukon entropian laskeminen edellyttää työskentelyä järjestelmässä, jossa merkkijonovaikutuksia on olemassa.

Ei-vuorovaikutuksessa olevien merkkijonojen yksinkertaisemman tapauksen laajentaminen järjestelmään, jossa voi olla musta aukko, vaatii supersymmetriaa . Tietyissä tapauksissa nollan kielikytkennälle tehty entropialaskelma pysyy voimassa, kun merkkijonot ovat vuorovaikutuksessa. Jousiteoreetikon haasteena on suunnitella tilanne, jossa voi esiintyä musta aukko, joka ei "rikkoa" supersymmetriaa. Viime vuosina tämä on tehty rakentamalla mustia aukkoja D-aisteista. Näiden hypoteettisten reikien entropioiden laskeminen antaa tuloksia, jotka sopivat odotetun Bekensteinin entropian kanssa. Valitettavasti tähän mennessä tutkitut tapaukset sisältävät kaikki korkeampiulotteisia tiloja - esimerkiksi D5-braneja yhdeksänulotteisessa tilassa. Ne eivät koske suoraan tuttua tapausta, Schwarzschildin mustia aukkoja, joita havaitaan omassa universumissamme.

Historia

Dirichletin rajaolosuhteilla ja D-braneilla oli pitkä "esihistoria", ennen kuin niiden täydellinen merkitys tunnistettiin. Bardeenin, Barsin, Hansonin ja Peccein 1975-76 -artikkelit käsittelivät varhaista konkreettista ehdotusta vuorovaikutuksessa olevista hiukkasista jousien päissä (kvarkit vuorovaikutuksessa QCD-vuoniputkien kanssa), dynaamisilla rajaehdoilla merkkijonojen päätepisteille, joissa Dirichlet-olosuhteet olivat dynaaminen eikä staattinen. Warren Siegel piti Dirichlet / Neumannin sekoitettuja rajaehtoja ensimmäisen kerran vuonna 1976 keinona alentaa avoimen kielen teorian kriittistä ulottuvuutta 26: sta 10: een 4: een (Siegel mainitsee myös Halpernin julkaisemattoman teoksen ja Chodosin ja Thornin vuonna 1974 julkaiseman, mutta jälkimmäisen paperin lukeminen osoittaa, että se koskee tosiasiallisesti lineaarisia dilatointitaustoja, ei Dirichletin rajaolosuhteita). Tämä paperi, vaikka se oli ennenaikainen, oli aikanaan vähän huomattu (Siegelin vuonna 1985 kirjoittama parodia "The Super-g String" sisältää melkein kuolleen kuvauksen braneworldsista). Dirichlet'n ehdot kaikille koordinaatit kuten euklidisen aika (määrittelemällä, mitä nyt kutsutaan D-instantons) otettiin käyttöön Michael Green vuonna 1977 keinona käyttöön pistemäinen rakenteesta tulee säieteorian, joka yrittää rakentaa merkkijono teoria vahvoja vuorovaikutus . Harvey ja Minahan, Ishibashi ja Onogi sekä Pradisi ja Sagnotti vuosina 1987–89 tutkineet merkkijonokomplikaatiot käyttivät myös Dirichletin rajaehtoja.

Vuonna 1989 Dai, Leigh ja Polchinski ja Hořava itsenäisesti, huomasi, että T-kaksinaisuus eritasoliittymää tavallista Neumann reunaehdot kanssa Dirichlet'n reunaehdot. Tämä tulos viittaa siihen, että tällaisten rajaehtojen on välttämättä esiintyttävä minkä tahansa avoimen merkkijonoteorian moduulitilan alueilla . Dai et ai. Paperi toteaa myös, että Dirichlet-rajaehtojen sijainti on dynaaminen, ja kolikoi sanan Dirichlet-brane (D-brane) tuloksena olevalle esineelle (tämä paperi kolikoi myös toiselle objektille, joka syntyy merkkijonossa T-kaksinaisuus). Leighin vuoden 1989 paperi osoitti, että D-brane-dynamiikkaa ohjaa Dirac – Born – Infeld-toiminta . D-instantons tutkittiin kattavasti Green 1990-luvun alussa, ja osoitettiin Polchinski vuonna 1994 tuottaa $e .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} -1 / g$ nonperturbative string vaikutuksia ennakoida Shenker . Vuonna 1995 Polchinski osoitti, että D-kehykset ovat sähköisten ja magneettisten Ramond – Ramond-kenttien lähteitä, joita merkkijonodualiteetti edellyttää , mikä johtaa nopeaan edistymiseen merkkijonoteorian häiriöttömässä ymmärtämisessä.

Katso myös

Huomautuksia

Viitteet

Bardeen, WA; Baarit, Itzhak; Hanson, Andrew J .; Peccei, RD (1976-04-15). "Merkkijonon pituussuuntaisten taittotilojen tutkimus" . Physical Review D . American Physical Society (APS). 13 (8): 2364–2382. Raamatun koodi : 1976PhRvD..13.2364B . doi : 10.1103 / physrevd.13.2364 . ISSN 0556-2821 . OSTI 1443701 .
Baarit, Itzhak; Hanson, Andrew J. (1976-03-15). "Kvarkit merkkijonon päissä". Physical Review D . American Physical Society (APS). 13 (6): 1744–1760. Raamatun koodi : 1976PhRvD..13.1744B . doi : 10.1103 / physrevd.13.1744 . ISSN 0556-2821 .
Baarit, Itzhak (1976-06-28). "Kromodynamiikan täsmällinen vastaavuus merkkijonoteoriaan". Fyysiset tarkastelukirjeet . American Physical Society (APS). 36 (26): 1521–1525. Raamatun koodi : 1976PhRvL..36.1521B . doi : 10.1103 / physrevlett.36.1521 . ISSN 0031-9007 .; ibid. Bars, I. (1976). "Hadronien kvanttijonoteoria ja sen suhde kvanttikromodynamiikkaan kahdessa ulottuvuudessa". Ydinfysiikka B . Elsevier BV. 111 (3): 413–440. Raamatun koodi : 1976NuPhB.111..413B . doi : 10.1016 / 0550-3213 (76) 90327-8 . ISSN 0550-3213 .
Bachas, CP "Luennot D-braneilla" (1998). arXiv : hep-th / 9806199 .
Giveon, Amit; Kutasov, David (1999-07-01). "Brane-dynamiikka ja ulottuman teoria". Arvostelut modernista fysiikasta . 71 (4): 983–1084. arXiv : hep-th / 9802067 . Raamatun koodi : 1999RvMP ... 71..983G . doi : 10.1103 / revmodphys.71.983 . ISSN 0034-6861 . S2CID 119460857 .
Hashimoto, Koji, D-Brane: Superkielet ja uusi näkökulma maailmallemme. Springer (2012). ISBN 978-3-642-23573-3
Johnson, Clifford (2003). D-branes . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-80912-6.
Polchinski, Joseph, TASI-luennot D-braneilla , arXiv : hep-th / 9611050 . Luennot pidettiin TASI '96: ssa .
Polchinski, Joseph (1995-12-25). "Dirichlet Branes ja Ramond-Ramond-maksut". Fyysiset tarkastelukirjeet . 75 (26): 4724–4727. arXiv : hep-th / 9510017 . Raamatun koodi : 1995PhRvL..75.4724P . doi : 10.1103 / physrevlett.75.4724 . ISSN 0031-9007 . PMID 10059981 . S2CID 4671529 .. Artikkeli, joka vahvisti D-braneiden merkityksen jousiteoriassa.
Zwiebach, Barton. Ensimmäinen jousiteorian kurssi. Cambridge University Press (2004). ISBN 0-521-83143-1 .

Languages

In other projects