Neumannin rajaehto - Neumann boundary condition

On matematiikka , Neumann (tai toisen tyypin ) reunaehto on eräänlainen reunaehdon , nimetty Carl Neumann . Kun asettavat jollekin tavallinen tai osittaisdifferentiaaliyhtälö , ehto täsmennetään arvot johdannaisen levitetään on raja on verkkotunnus .

Ongelmaa voidaan kuvata muilla reunaehdoilla: Dirichletin rajaehto määrittää itse ratkaisun arvot (toisin kuin sen johdannainen) rajalla, kun taas Cauchyn rajaehto , sekarajaehto ja Robinin rajaehto ovat kaikki erilaisia Neumannin ja Dirichletin raja -olosuhteiden yhdistelmien tyypit.

Esimerkkejä

OODI

Tavalliselle differentiaaliyhtälölle esim.

${\ displaystyle y ''+y = 0,}$

Neumannin raja -ehdot [ a , b ] ovat muodoltaan

${\ displaystyle y '(a) = \ alfa, \ quad y' (b) = \ beta,}$

jossa α ja β on annettu numeroita.

PDE

Osittaista differentiaaliyhtälöä varten esim.

${\ displaystyle \ nabla ^{2} y+y = 0,}$

jossa ∇ ² merkitsee Laplace -operaattoria , Neumannin rajaehdot alueella Ω ⊂ R ⁿ ovat muodoltaan

${\ displaystyle {\ frac {\ osittainen y} {\ osittainen \ mathbf {n}}} (\ mathbf {x}) = f (\ mathbf {x}) \ quad \ forall \ mathbf {x} \ osassa \ Omega,}$

jossa n tarkoittaa (tyypillisesti ulkoa) normaalia , että raja ∂Ω , ja f on tietyn skalaarifunktion .

Normaali johdannainen , joka näkyy vasemmalla puolella, on määritelty

${\ displaystyle {\ frac {\ osittainen y} {\ osittainen \ mathbf {n}}} (\ mathbf {x}) = \ nabla y (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {x}),}$

jossa ∇ y ( x ) edustaa kaltevuus vektori y ( x ) , n on yksikkö normaali, ja ⋅ edustaa sisätulon operaattori.

Tulee selväksi, että rajan on oltava riittävän tasainen, jotta normaalijohdannainen voi olla olemassa, koska esimerkiksi rajan kulmapisteissä normaali vektori ei ole hyvin määritelty.

Sovellukset

Seuraavat sovellukset sisältävät Neumannin reunaehtojen käytön:

• In termodynamiikka , ennalta määrätyn lämpövirta pinta toimisi reunaehto. Esimerkiksi täydellisellä eristimellä ei olisi virtausta, kun taas sähkökomponentti saattaa hajota tunnetulla teholla.
• In magnetostatiikkaa , magneettikentän voimakkuutta voidaan määrätty kuin reunaehto, jotta löydettäisiin magneettivuon tiheyden jakautumisen magneettijonolla avaruudessa, esimerkiksi kestomagneettimoottori. Koska magnetostatiikan ongelmiin kuuluu Laplacen yhtälön tai Poissonin yhtälön ratkaiseminen magneettisen skalaaripotentiaalin suhteen , rajaehto on Neumannin ehto.

Katso myös

• Rajaolosuhteet nesteen dynamiikassa

Viitteet